广东汕头市潮阳实验学校2025-2026学年第二学期4月复习检测高三数学试卷

**基本信息** 聚焦高三复习检测，融合数学史（正矢余矢概念）与实际情境（微生物繁殖模型），通过基础题（复数、集合）与综合题（导数极值证明、双曲线离心率）的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、向量、数列|第5题引入正矢余矢概念，渗透数学文化| |多选|3/18|椭圆性质、立体几何翻折|第11题结合翻折动态问题，考查空间观念| |填空|3/15|函数求导、概率递推、解三角形|第13题红包概率模型，体现应用意识| |解答|5/77|抛物线、立体几何、导数、概率应用|第19题微生物繁殖问题，综合考查数学建模与逻辑推理|

高三月考数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C B C C C D ACD BD 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】. 则其在复平面内所对应的点的坐标为， 则对应的点在第二象限. 2．A 【详解】已知集合，，， 则或. 若，因式分解为，解得或. 两种解都满足集合元素互异性. 若，整理得，判别式，无实数解. 故实数的所有取值之和为. 3．C 【分析】由已知数量积求出，代入夹角公式计算可得. 【详解】由，得， 则. 4．B 【分析】借助与关系计算可得，则可由等比数列定义求出数列的通项公式，即可得. 【详解】当时，，则， 故，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，故. 5．C 【分析】根据题中定义，结合同角的三角函数关系式的商关系、正弦二倍角公式进行求解即可. 【详解】. . 6．C 【分析】利用正态分布得到的关系式，从而消元，变形，利用基本不等式求出最值 【详解】，， 由正态分布的对称性可知，故， 因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 7．C 【分析】利用双曲线定义与垂直平分线性质，确定核心线段关系，联立方程求点横坐标，利用直线与双曲线右支交于两点，建立离心率不等式，确定最终范围. 【详解】设，不妨设，, 设，则， 得，解得, 的垂直平分线与右支交于点且直线过点，等价于直线与双曲线右支交于另一点， 则，即， 进一步推导：，得， 代入，解得，又，所以. 8．D 【分析】根据因式分解，将问题转化为或共有4个解，利用导数求的单调性，进而可作出的图象，即可求解. 【详解】解：因为恰好有4个不相等的实数解， 所以恰好有4个不相等的实数解， 所以或共有4个解， 设，，则， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 且，， 当时，，所以； 设，， 则，为单调减函数， 且时，，， 作出函数的图象如图所示： 由图可知只有一解， 要恰好有4个不相等的实数解， 即要恰有3解， 所以， 即， 9．ACD 【分析】令通过换元得，通过通项公式可得A选项的正确，通过赋值可判断BC选项，通过对二项式展开式求导并赋值可判断D选项. 【详解】令，则，所以， 所以展开式的通项公式为，其中． 所以，故A正确； 令，则，故B错误； 令，则，故C正确； 两边对求导得 ， 令得，故D正确． 10．BD 【分析】由点在椭圆内部求得的范围，结合离心率的意义求解判断AB；由椭圆半焦距与的大小判断C；利用椭圆定义及均值不等式求出最小值判断D. 【详解】由椭圆的长轴长为4，得，由点在内部，得，又，则， 对于A，由，得，则离心率，A错误； 对于B，由，得椭圆的半焦距，由， 得，因此的最大值为，B正确； 对于C，由，得，而，则， 以原点为圆心，为半径的圆在椭圆内，因此不存在使得，C错误； 对于D，由椭圆的离心率不小于，得，则， 于是，， 因此 ，当且仅当时取等号，符合题意，D正确. 11．ACD 【分析】直接利用勾股定理即可判断A；当时，可证平面，进而得到平面平面即可判断B；过作交于，则当平面时，三棱锥体积最大，接着求出判断存在性，再得到体积即可判断C；当点在平面上的射影落在上时，可推出平面平面，则，再利用等体积法求出三棱锥的高，进而得到直接与平面所成角即可判断D． 【详解】解：根据题意，， 若，则，即， 解得，符合题意，故A对； 当时，，又平面， 平面，又平面， 平面平面，故B错； 过作交于， 由题易知，， ，解得， 又， 所以当平面时，三棱锥体积最大， 此时，， ，又， ， ，符合题意， 三棱锥体积最大值为，故C正确； 当点在平面上的射影落在上时，平面平面， 又，平面平面，平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故， 又，所以， ， ， 设三棱锥的高为，直线与平面所成角为， ，解得， ，又，所以， 直线与平面所成角为，故D正确． 12．2 【分析】利用求导法则可求答案. 【详解】由题得， 则. 13． 【分析】设第n次发出红包的人是乙为事件，，根据全概率公式可得，分析可知数列是以首项为，公比为的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】设第n次发出红包的人是乙为事件，， 则，且， 因为，， 由全概率公式可得， 即，可得， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以， 14． 【分析】根据题意，利用正弦定理和余弦定理，求得，得到，设的外接圆半径为，得到，求得，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由， 可得 所以， 由正弦定理得，再由余弦定理得， 因为，所以， 设的外接圆半径为，由为的外心， 则，且，即， 因为，且， 所以， ， 则 ， 所以当，即时和面积之差的最大值为. 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据列出关于的方程，即可求解； （2）充分考虑直线的斜率是否存在，易得斜率不存在时满足题意，当斜率存在时，设直线，与抛物线方程联立得出韦达定理，再根据抛物线焦半径公式即可证明； 【详解】（1）由题意得，因为点满足， 则，解得． 故，准线方程：． （2）当直线的斜率不存在时，此时轴， 由（1）得，将代入到，解得， 则，， 此时，符合题意. 当直线的斜率存在且不为0时，设直线，如图： 联立，消元得， 设，则， 由抛物线定义有， 则，问题得证． 16．(1) (2)当时，平面 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解； （2）求平面的法向量为，设，由求出即可. 【详解】（1）由题意得：以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 由，，所以， 所以， 所以； （2）由题意得四边形为矩形，所以点为的中点， 所以，所以， 设，所以， 所以， 设平面的法向量为， 由， 所以，令，得， 由平面，所以， 解得， 所以当时，平面. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，将正切化成正余弦，再逆用和角正弦公式求解. （2）利用正弦定理及三角形面积公式，结合和差角的正弦化简，再利用余弦函数性质求出值域即可. 【详解】（1）在锐角中，由，得， 即， 由，得，，所以. （2）由正弦定理得，则， 而，令，则，由锐角，得， 因此 ，由，得，， 所以的取值范围是. 18．(1)证明见解析 (2)当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为 (3)证明见解析 【分析】（1）构造函数，利用导数求解的单调性和最值，从而证得结论； （2）将问题转化为与位置关系的讨论问题，通过导数可求解出的单调性和最值，结合图象进行分析可得正负，进而得到极值点个数； （3）将所证不等式转化为证明，令，则只需证；根据极值点偏移的证明逻辑，构造函数，利用导数可证得，结合分析法可得到结论. 【详解】（1）当时，， 令，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，即. （2）由题意知：定义域为，， 令，则， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，且当时，；当时，； 由此可得大致图象如下图所示， ①当，即时，与有唯一交点， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， 有唯一的极小值点，无极大值点； ②当，即时，与交于两点， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， 有一个极小值点，一个极大值点； ③当，即时，恒成立，即恒成立， 在上单调递减，无极值点； 综上所述：当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为. （3）由（2）知：若有两个极值点，则，此时； ， ， 要证，只需证， 即证， 只需证，即证， ，， 令，则与交于两点，其中，则， ，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； 要证，只需证，即证， ，，在上单调递减，只需证， 又，只需证， 令，则， ，，，在上单调递增， ，又，， 即，原不等式得证，即. 【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 19．(1)； (2)证明见详解； (3)证明见详解. 【分析】（1）分直接死亡、保持一个、分裂为2个求概率，然后根据互斥事件的概率公式求解可得； （2）分直接死亡、保持一个、分裂为2个求出的递推公式，将条件代入化简即可得证； （3）利用数学归纳法，结合函数的单调性即可得证. 【详解】（1）由题知， 经过个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止有三种互斥情况： 经过1个单位时间后生物直接死亡，概率为； 经过1个单位时间后生物保持一个后，再经过1个单位时间繁殖过程终止，概率为； 经过1个单位时间后分裂为2个微生物，再经过1个单位时间繁殖过程终止，概率为. 所以. （2）经过个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止有三种互斥情况： 经过1个单位时间后生物直接死亡，概率为； 经过1个单位时间后生物保持一个，再经过个单位时间繁殖过程终止，概率为； 经过1个单位时间后分裂为2个微生物，再经过个单位时间繁殖过程终止，概率为. 所以， 因为，所以， 整理即得. （3）当时，，此时，不等式成立； 假设时，成立. 证右边： 设函数，易知在上单调递增， 因为，所以， 即， 因为，所以， 所以，右边成立； 证左边： 因为，所以， 即， 因为， 所以，所以， 综上，当时，不等式成立. 所以对任意正整数，都有. 第 2 页 共 17 页 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汕头市潮阳实验学校2025-2026学年度第二学期4月复习检测 高三数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1．在复平面内，复数所对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，，若，则实数的所有取值之和为 A．2 B． C．4 D． 3．已知，则和的夹角的余弦值为 A． B． C． D． 4．记为数列的前项和，已知，，则 A．18 B．54 C．81 D．162 5．在数学史上，为了三角计算的简便和精确，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作.若，则 A． B． C． D． 6．已知随机变量服从正态分布，若，其中，则的最小值为 A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上有一点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是 A． B． C． D． 8．设函数，若关于的方程 恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 10．已知椭圆：的左、右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是 A．离心率的取值范围为(0,] B．当离心率为时，的最大值为3 C．存在点，使得 D．当离心率不小于时，的最小值为 11．如图所示，矩形中，，将沿翻折至，使得，则 A．存在的值使 B．不存在的值使平面平面 C．三棱锥体积的最大值为 D．当点在平面上的射影落在上时，直线与平面所成角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若函数，则__________. 13．2026年春节，甲，乙等5个人在一个微信群里发红包（每次发的红包只有1个人能抢到）．甲先发了一个红包，规定抢到红包的人必须立即再发一个新红包，且自己不能领，群里另外4个人等可能地领到．记第n次发出红包的人是乙的概率为．则______，______． 14．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，点O为的外心，且，，则和面积之差的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于A，B两点． (1)求的准线方程； (2)证明：； 16.（15分）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点． (1)求与所成角的余弦值： (2)记是与的交点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由． 17．（15分）在锐角中，角的对边分别为. (1)求角； (2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围. 18．（17分）已知函数，是的导函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的极值点个数； (3)若有两个极值点，证明：. 19．（17分）某种微生物的繁殖规则如下：初始时刻有1个该微生物，每经过1个单位时间，每个现存的微生物独立地发生三种变化之一：①死亡，概率为；②保持1个，不繁殖也不死亡，概率为；③分裂为2个微生物，概率为.当微生物的数量为0时，繁殖过程终止.设为经过个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止的概率. (1)求的值； (2)令，证明：； (3)在（2）的条件下，证明：对任意正整数，都有. 第 2 页 共 17 页 高三数学 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $