精品解析：河北石家庄市（藁城、新乐）七县2025-2026学年高一下学期4月期中学情分析监测数学试题

2025-2026学年高一年级第二学期期中学情分析监测 数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出，进而判断即可. 【详解】由，则， 则复数对应的点为，在第三象限. 故选：C. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以. 所以，故. 3. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得， 所以，所以． 4. 在平行四边形中，为的中点．记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算判断. 【详解】因为四边形是平行四边形，所以， 又因为为的中点，所以， 在平行四边形中，， . 故选：A. 5. 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设此铁塔高，在直角中，可得，再在中，利用正弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】设此铁塔高，根据题意，可得， 在直角中，可得， 在中，由，可得， 根据正弦定理，可得，解得． 故选：A. 6. 已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可结合二次式的性质求解. 【详解】以中点为坐标原点，以为正方向为轴，建立如图所示的直角坐标系， 设，则 故 ,当时取到等号， 故选：B 7. 如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得该方斗杯可盛该种酒的总容积. 【详解】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、， 则， 设棱台的高为，体积为， 则棱台的高为，设其体积为， 则，则， 所以，，所以，该方斗杯可盛该种酒的总容积为. 故选：B. 8. 已知，，，，满足，用S表示的面积，当最大时，的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件应用正弦定理结合基本不等式得出最大值，再应用二倍角公式及弦化切计算求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为， 所以当且仅当，即时等号成立，即取最大值， 又因为，所以， 所以， 由于，且， 所以. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则（ ） A. 的共轭复数的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内，复数所对应的点位于第一象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用复数的相关概念、模长公式、几何意义、运算法则一一分析选项即可. 【详解】易知， 对于A，易知，其虚部为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，为纯虚数，故C正确； 对于D，，对应的点为位于第四象限， 故D错误. 故选：ABC 10. 在中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（ ）. A. 若，，，则的面积为. B. 若，则为钝角. C. 若为锐角三角形，则. D. 若，，且有两解，则b的取值范围是. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A、B，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D. 【详解】A.在中，若，，， 则由正弦定理得，解得， 因为，所以或，故或， 所以的面积或，故A错误. B.在中，若，则， 因为，所以为钝角，故B正确. C.因为是锐角三角形，所以，故， 因为，所以， 又因为在上单调递增，所以，故C正确. D.如图所示， 若有两解，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在边长为3的等边三角形中，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 存在最小值 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立坐标系，写出向量坐标，根据向量线性运算即可判断A，根据向量数量积的坐标运算即可判断BCD. 【详解】如图，以为原点，所在直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立直角坐标系， 则,； , 所以，A正确. ，，B正确. 因为位于以为圆心，1为半径的半圆上，设，； , ， 因为，所以， 当时，即时，取到最小值，C正确. 因为，所以， 即，因为，所以，D不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是圆弧上的点如何表示，以为原点建立坐标系，能简化点的坐标. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，平面四边形的斜二测直观图是等腰梯形，，那么原平面四边形中的边的长是______． 【答案】. 【解析】 【分析】根据给定条件，结合斜二测画法规则还原平面四边形，再计算边长作答. 【详解】在等腰梯形中，，， 则， 由斜二测画法规则知，四边形的顶点A与原点O重合，点B，D分别在x轴、y轴上，，且，如图， 显然四边形为直角梯形，于是得. 故答案为： 13. 已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】由， 由， ，得， 所以向量在向量上的投影向量为， 故答案为： 14. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为______m． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知的边和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得. 【详解】因为，，所以，，所以， 又因为，所以，， 在中，由正弦定理得，即，解得， 在中，由余弦定理得， 所以，解得． 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 当m为何值时，复数,是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数． 【答案】（1）或 （2）且 （3） 【解析】 【分析】（1）根据实数的定义进行求解即可； （2）根据虚数的定义进行求解即可； （3）根据纯虚数的定义进行求解即可. 【小问1详解】 ， 当m满足，即或时，z为实数． 【小问2详解】 当m满足，即且时，z为虚数． 【小问3详解】 当m满足即时，z为纯虚数． 16. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求. （2）若，且边上的中线长为，求的面积. （3）若，且角的平分线长为，求的面积. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【小问1详解】 由正弦定理，得，，. 代入已知式，两边乘以得：，整理得：. 由余弦定理，代入：，解得：. 因为为三角形内角，所以. 【小问2详解】 已知，边上的中线长为，对应边为，即.设为中点，则为中线，.中线公式为：，其中为边上的中线长，代入，： 由余弦定理，代入，：，代入：，化简得：，解得或（舍）. 代入得，所以. 面积. 【小问3详解】 设角的平分线交于点，则，且. 在中，由正弦定理：；在中，由正弦定理：.又，且，所以. 由,,在中，，，，由余弦定理：，则，解得：. 同理，在中，，，设，由余弦定理：，则. 由角平分线性质：，所以，两边平方得，代入表达式：，解得或. 若，则三角形为等腰三角形，，，此时，三角形为等边三角形，角平分线长应为，与不符，舍去； 若，成立. 所以，，面积. 17. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解. （3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，得，所以. 【小问2详解】 在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 18. 在中，. （1）求的值； （2）若，求周长的最小值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由射影定理直接可得所求角的余弦值，进而可得正弦值； （2）先由余弦定理及基本不等式可得，进而可得周长的最小值； （3）将三角形的面积表示成关于角的三角函数，用函数的性质可得面积的取值范围. 【小问1详解】 因为在三角形中，由射影定理代入， 得，即，因为，所以. 【小问2详解】 在三角形中，由（1）知， 由余弦定理得， 又因为，由基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以，即，所以周长. 因此周长的最小值为. 【小问3详解】 因为是锐角三角形，由（1）知，且，得，， 所以，解得. 又由正弦定理得，所以， ， 因为，所以，因此. 所以面积. 19. 我国古代南北朝数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等． （1）如图1，左边是半径为R的半球，右边是底面半径和高都等于R的圆柱，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，求新几何体的体积． （2）如图2，一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”．该球台下底半径为10cm，上底半径为6cm，上下底面间的距离为8cm．根据祖暅原理，求该球台的体积． （3）如图3，一个球体被平面截下的部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高．根据祖暅原理，推导半径为R，高为H的球缺的体积公式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由祖暅原理即可求解； （2）由祖暅原理即可求解； （3）由祖暅原理即可求解. 【小问1详解】 如下图：左侧几何体的为半径为的半球，右侧几何体为底面半径和高都为的圆柱中挖掉了一个圆锥，其截面面积相等的图形是圆环（如阴影部分） 左侧截面圆的圆心为，易得截面圆的面积为， 易知右侧截面截圆锥得到的小圆的半径为，所以，圆环的面积为， 所以，截得的截面的面积相等， 所以新几何体的体积等于半球的体积， 即 【小问2详解】 球台下底半径为10cm，上底半径为6cm，上下底面间的距离为8cm． 构造建立一个底面半径为，高为8的圆柱， 那么根据祖暅原理，挖去一个与圆柱等高的小圆锥，其体积即为球台体积， 此时圆锥底面的半径 所以， 所以整个容器的容积为. 【小问3详解】 由（2）可知： 当球台下底半径为，上底半径为cm，上下底面间的距离为， 那么根据祖暅原理，挖去一个与圆柱等高的小圆锥，其体积即为球台体积， 此时圆锥底面的半径， 所以球台体积为：， 再加个半个球的体积即为球缺的体积： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一年级第二学期期中学情分析监测 数学 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 3. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. 在平行四边形中，为的中点．记，则（ ） A. B. C. D. 5. 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，，满足，用S表示的面积，当最大时，的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则（ ） A. 的共轭复数的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内，复数所对应的点位于第一象限 10. 在中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（ ）. A. 若，，，则的面积为. B. 若，则为钝角. C. 若为锐角三角形，则. D. 若，，且有两解，则b的取值范围是. 11. 如图，在边长为3的等边三角形中，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 存在最小值 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，平面四边形的斜二测直观图是等腰梯形，，那么原平面四边形中的边的长是______． 13. 已知向量，满足，，，则向量在向量上的投影向量为______. 14. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛_上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为______m． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 当m为何值时，复数,是： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数． 16. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求. （2）若，且边上的中线长为，求的面积. （3）若，且角的平分线长为，求的面积. 17. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 18. 在中，. （1）求的值； （2）若，求周长的最小值； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 19. 我国古代南北朝数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等． （1）如图1，左边是半径为R的半球，右边是底面半径和高都等于R的圆柱，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，求新几何体的体积． （2）如图2，一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”．该球台下底半径为10cm，上底半径为6cm，上下底面间的距离为8cm．根据祖暅原理，求该球台的体积． （3）如图3，一个球体被平面截下的部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高．根据祖暅原理，推导半径为R，高为H的球缺的体积公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $