精品解析：河北省晋州市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

河北省晋州市第一中学2024-2025学年高一下学期数学期中考试试题 一、单选题 1. 已知集合，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，再结合元素与集合的关系判断即得. 【详解】依题意，，结合元素与集合关系知，ABD错误，C正确. 故选：C 2. 已知是非零平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义和运算律，结合充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由，得，故必要性成立； 由，得，得， 不一定成立，故充分性不成立. 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B 3. 下列结论中正确的是（ ）． A. 所有的集合都可以用列举法表示 B. 集合表示空集 C. 集合，，则 D. 已知，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例可判断A；根据集合的定义可判断B；根据集合的性质可判断C；根据可判断D. 【详解】对于A，不能用列举法表示，故A错误； 对于B，集合表示含有元素的集合，不是空集，故B错误； 对于C，集合表示上的点构成的集合， 表示的实数构成的集合，则，故C错误； 对于D，因为，所以，则，故D正确. 故选：D. 4. 已知，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质可判断ABC选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则，可得，即，A错； 对于B选项，因为，则，B对； 对于C选项，因为，由不等式的性质可得，C对； 对于D选项，因为，则， 所以，，D对. 故选：A. 5. 已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次不等式恒成立问题的解法，分，两种情况，结合判别式法即可得解. 【详解】因为，不等式恒成立， 所以当时，若不等式恒成立，若无意义； 当时，即或，则， 解得 综上：实数取值范围是， 故选：D. 6. 下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可. 【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误； 选项B：定义域不是，值域为，故错误； 选项C：定义域和值域均为，故正确； 选项D：不满足函数的定义，故错误； 故选：C. 7. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A不是奇函数；BD在定义域上不单调，C满足要求. 【详解】A选项，的定义域为，故不是奇函数，A错误； B选项，的定义域为， 其中在上单调递增，但在定义域上不单调递增，B错误； C选项，的定义域为R，且， 所以在定义域内为奇函数， 又R上单调递增，C正确； D选项，定义域为R，且在R上不单调，D错误. 故选：C. 8. 已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（ ） A. （0，1） B. （0，） C. [，） D. （，） 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的递减性可知两个函数段上的函数为减函数,且交界处也满足递减的关系列式即可. 【详解】由分段函数为减函数可知. 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据分段的增减性求参数范围的问题.属于基础题. 二、多选题 9. 下列四个命题：其中不正确的命题为（ ） A. 是空集 B. 若，则； C. 集合中只有一个元素 D. 集合是有限集. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数集的概念、空集的概念、集合的分类以及元素与集合的关系进行判断. 【详解】对于A，含有一个元素，所以不是空集，故A错误； 对于B：当时，，则，故B错误； 对于C：只有一个元素，故C正确； 对于D：表示有理数，包括整数和分数，比如为正整数的倒数时，都有，所以集合是无限集，故D错误. 故选：ABD. 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断. 【详解】由正实数满足，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故A选项错误； 由，则，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，故B选项正确； 由 ，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故C选项正确； 由，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故D选项正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于轴对称 D. 函数在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，结合函数关于轴对称定义、单调性的性质逐一判断即可. 【详解】对A：由恒成立，故函数定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为增函数， 则为减函数，则在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 设命题，.若为假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知命题的否定为真命题，可得出，即可解得的取值范围. 【详解】命题的否定为：，， 由题意可知，命题的否定为真命题，所以，，解得. 故答案为：. 13. 已知函数定义域为且满足①为偶函数；②任意都有成立；③，都有，请给出满足上述三个性质的一个函数为__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由三个条件依次分析出函数具有对称性、单调性等性质，可从熟悉的函数中找到符合条件的函数. 【详解】由性质①为偶函数知，函数关于直线对称； 由性质②任意都有成立，可设， 待定系数可得当时，； 由性质成立③，都有 可知函数在上单调递增， 因此可写出满足上述三个性质的一个函数为. 故答案为：（答案不唯一） 14. 一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 ____米． 【答案】2080 【解析】 【分析】设小明原速度为x每分钟，则拿到书后的速度为1.25x米/分钟，家校距离为．设爸爸行进速度为y米/分钟，由题意及图形得方程组，求出x、y的值即可解答． 【详解】解：设小明原速度为x（米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x（米/分钟），则家校距离为 ， 设爸爸行进速度为y（米/分钟），由题意及图形得：， 解得： ∴小明家到学校的路程为：（米）. 故答案为：2080． 四、解答题 15 已知集合． （1）若，求实数m的取值范围； （2）当集合A变为时，求A的非空真子集的个数； （3）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）254； （3）或. 【解析】 【分析】（1）因为，所以A，分类讨论和即可得出答案； （2）当时，A中共有8个元素，即可求出A的非空真子集的个数； （3）若，分类讨论和，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以. 当时，由，得，符合题意； 当时，根据题意，可得 解得 综上，实数的取值范围是． 【小问2详解】 ，共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为． 【小问3详解】 当时，由（1）知， 当时， 可得或，解得． 综上，实数的取值范围是或． 16. 已知幂函数的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入解析式求出，得解； （2）问题转化为恒成立，令，求出的最小值得解. 【小问1详解】 由题意可得，，. 【小问2详解】 由（1）可得，恒成立，， 令，，， 实数的取值范围为. 17. 已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求： （1）xy的最小值； （2）x+y的最小值.. 【答案】（1）64 （2）18 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得结果； （2）将变形为分式型，利用“1”的代换和基本不等式可得结果. 【小问1详解】 ∵， ， ， ∴ ，当且仅当时取等号， ∴ ∴，当且仅当时取等号， 故的最小值为64. 小问2详解】 ∵，则 ， 又∵， ， ∴， 当且仅当时取等号， 故的最小值为18. 18. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”． （1）请证明：函数不存在“黄金区间”． （2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”． （3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）由为上的增函数和方程的解的情况可得证； （2）由可得出，再由二次函数的对称轴和方程，可求出函数的“黄金区间”； （3）化简得函数的单调性，由已知是方程的两个同号的实数根，再由根的判别式和根与系数的关系可表示，由或，可得的最大值． 【详解】解：（1）证明：由为上的增函数，则有， ∴，无解，∴不存在“黄金区间”； （2）记是函数的一个“黄金区间”， 由及此时函数值域为，可知 而其对称轴为，∴在上必为增函数， 令，∴，∴ 故该函数有唯一一个“黄金区间”； （3）由在和上均为增函数， 已知在“黄金区间”上单调，所以或，且在上为单调递增， 则同理可得，，即是方程的两个同号的实数根，等价于方程有两个同号的实数根， 又，则只要，∴或， 而由韦达定理知，， 所以，其中或，所以当时，取得最大值． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，对于解决此类问题的关键在于紧扣函数的新定义，注意将值域问题转化为方程的根的情况得以解决. 19. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求，的值； （2）证明：在上为减函数； （3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围． 【答案】（1），； （2）为定义在上的减函数，证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）由可求得；根据奇函数定义知，由此构造方程求得； （2）将函数整理为，设，可证得，由此可得结论； （3）根据单调性和奇偶性可将不等式化为，结合的范围可求得，由此可得结果. 【小问1详解】 是定义在上的奇函数，且， ，解得：， ， ， ，解得：； 当，时，， ，满足为奇函数； 综上所述：，； 【小问2详解】 由（1）得：； 设，则， ，，， ， 是定义在上的减函数； 【小问3详解】 由得：， 又为上的奇函数，， ， 由（2）知：是定义在上的减函数， ，即， 当时，， ，即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北省晋州市第一中学2024-2025学年高一下学期数学期中考试试题 一、单选题 1. 已知集合，则必有（ ） A. B. C D. 2. 已知是非零平面向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列结论中正确的是（ ）． A. 所有的集合都可以用列举法表示 B 集合表示空集 C. 集合，，则 D. 已知，，，则 4. 已知，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（ ） A. （0，1） B. （0，） C. [，） D. （，） 二、多选题 9. 下列四个命题：其中不正确的命题为（ ） A. 是空集 B. 若，则； C. 集合中只有一个元素 D. 集合是有限集. 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 11. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数的图象关于轴对称 D. 函数上单调递增 三、填空题 12. 设命题，.若为假命题，则实数的取值范围是______. 13. 已知函数定义域为且满足①为偶函数；②任意都有成立；③，都有，请给出满足上述三个性质的一个函数为__________. 14. 一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 ____米． 四、解答题 15. 已知集合． （1）若，求实数m的取值范围； （2）当集合A变为时，求A的非空真子集的个数； （3）若，求实数m的取值范围． 16. 已知幂函数的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 17 已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求： （1）xy的最小值； （2）x+y的最小值.. 18. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”． （1）请证明：函数不存在“黄金区间”． （2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”． （3）如果是函数一个“黄金区间”，请求出的最大值． 19. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求，的值； （2）证明：在上为减函数； （3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$