陕西西北大学附属中学2025-2026学年下学期期中检测高二数学试题

西北大学附中25-26下学期期中检测 高二数学试题 一、选择题（合计8小题，每题4分，共32分） 1. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列的前项和为，且，则的公比为（ ） A. 3或 B. 3或 C. 或 D. 或 3. 已知，若在之间插入3个数，使这5个数构成等比数列，则（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或2 4. 已知，，成等差数列，，，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 移动互联网给人们的沟通交流带来了方便．如微信，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群”里的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流．如果某人在微信上发了朋友圈，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到．现有一个10人的“群”，其中1人在朋友圈上发了一条信息，“群”里有3人看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有（ ）种． A. 256 B. 255 C. 128 D. 84 6. 若，且，则（ ） A. -10 B. C. 10 D. 7. 定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题4分，共18分） 8. 赓续绵延秦川情，携手共谱新篇章．2026年“十五五”筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游一新陕西”主题宣传文案，共收到300篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于分为优秀，若征文得分（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为，则下列说法正确的是（ ） A. 随机取1篇征文，则评分在内的概率为0.6 B. 已知优秀率为10%，则 C. 越大，的值越大 D. 越小，评分在的概率越大 9. 已知函数，使得有三个零点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. C. 若，则 D. 函数在三个零点处的切线斜率的倒数之和为1 10. 对于一个方格图，定义“连续完美分割”：当且仅当方格图可被互不重叠且连通的四个形状相同的区域完全分割，且每个区域恰含有1个M和1个N．给出下列方格图，可“连续完美分割”的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 11. 杜甫在《绝句》中写道：“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天．”从这十四个字中任取两个字，则声母相同的概率是______． 12. 若直线是曲线的一条切线，则________． 13. 已知正项等比数列的前n项和为，，是关于x的方程的两个不等实根，则的最小值为___________． 四、解答题（本题共5小题，15-17题10分，18-19题14分，共58分） 14. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程． （2）若函数有两个不同的零点，求实数b的取值范围． 15. 某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： （1）求甲第2天选择羽毛球的概率； （2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； （3）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 16. 甲、乙、丙三人进行远程射击，命中目标的概率分别为，，．现按甲、乙、丙的顺序循环，由甲先射击，规则如下：若当次射击命中，则下一次由接下来的第1个人进行射击；若当次射击未命中，则跳过1个人，下一次由接下来的第2个人进行射击． （1）前3次射击结束，求丙未进行射击的概率； （2）若第次由甲、乙、丙射击的概率分别为，，． ①求； ②若前次射击中，丙射击的次数记为，求． 17. 已知函数对任意的，，都有成立，且. （1）求，. （2）若令，求证：数列是等差数列. （3）求证：当时，. 18. 已知，函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值为，求的值； （3）当时，函数在上的零点按从小到大排列构成一个数列，记为，求证：. 西北大学附中25-26下学期期中检测 高二数学试题 一、选择题（合计8小题，每题4分，共32分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 二、多选题（本题共3小题，每小题4分，共18分） 【8题答案】 【答案】AD 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，15-17题10分，18-19题14分，共58分） 【14题答案】 【答案】（1） （2） 【15题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）. 【16题答案】 【答案】（1） （2）①，② 【17题答案】 【答案】（1）， （2） 已知，对，将代入原函数式得， 即（），两边同除以得，即. 首项，因此是首项为、公差为的等差数列，得证. （3） 由（2）可得：，即，从而. 首先用数学归纳法证明当时，： 时，，成立； 假设时，则时，，成立. 因此对，，两边乘，得. 对求和式放缩：， 右边是首项为1、公比为的等比数列前项和，计算得： ， 因此，得证. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明：因为，令，即， 因为，所以等价于，令，其中， 当，时，恒成立，此时无零点， 当，时，， 令，则， （i）若，则，由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而，，， 故存在，使， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 而，，，存在，使得， 故的零点； （ii）当，， 当时，因为， 由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， ， 故存在，使， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 由，当时，， 所以在上单调递增，， 所以， 又因为，， 故的零点，， 由（i）（ii）有，， 因为是的零点，即，所以， 令，因为，当，， 所以在上单调递减， 又因为，所以，即， 因为， 而，， 所以，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $