8.3.2 独立性检验 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第八章 成对数据的统计分析 8.3 列联表与独立性检验 8.3.2 独立性检验 【学习目标】 1. 理解独立性检验的基本思想，知道零假设（原假设）的含义. 1. 掌握 统计量的计算公式，能根据小概率值 的临界值进行独立性检验. 1. 能够运用独立性检验解决实际问题，并理解推断可能犯错的概率. 【学习重点】 1. 独立性检验的步骤：提出零假设、计算 、比较临界值、得出结论. 2. 公式的应用. 3. 理解小概率事件原理及犯错误的概率. 【学习难点】 1. 区分独立性检验与反证法的异同. 2. 根据实际问题正确提出零假设并解释结论. 学习任务一 独立性检验的基本思想 【合作探究】 1. 问题引入： · 上一节课，通过等高堆积条形图和频率分析，我们初步认为“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”. · 但样本具有随机性，这种差异可能是偶然导致的.如何量化“犯错误的概率”？ 1. 零假设： · 设 和 为两个分类变量（取值为 0 或 1）.我们想判断事件 和 之间是否有关联. · 零假设 ：，即 与 独立（无关联）. 1. 检验原理： · 如果 成立，则列联表中的实际频数与期望频数应该非常接近. · 构造 统计量来度量实际频数与期望频数的差异. · 当 很大时，说明差异显著，应拒绝 ，认为两变量有关联. 1. 小概率事件： · 在 成立的前提下， 很大的概率很小（如小于 0.05）.若计算出的 大于临界值，则小概率事件发生了，拒绝 ，犯错的概率不超过该小概率值. 【自主梳理】 1. 独立性检验的步骤： · (1) 写出 列联表. · (2) 提出零假设 ：两分类变量独立. · (3) 计算 ，其中 . · (4) 根据给定的显著性水平 （小概率值），查表得临界值 . · (5) 若 ，则拒绝 ，认为两变量有关联；否则接受 ，认为无关联. 1. 临界值表（常见）： · 时临界值约 2.706， 约 3.841， 约 6.635， 约 7.879， 约 10.828. 1. 犯错误的概率：当拒绝 时，犯错误的概率不超过 . 学习任务二 独立性检验的应用实例 【合作探究】 1. 例1（疗法效果比较）： · 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良.数据如下： (1) 甲疗法：67 名患儿，治愈 52 名，未治愈 15 名. (2) 乙疗法：69 名患儿，治愈 63 名，未治愈 6 名. · 试根据小概率值 的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好. · 解： · (1) 列联表（单位：人）： 疗法 治愈 未治愈 合计 甲 52 15 67 乙 63 6 69 合计 115 21 136 · (2) 零假设 ：疗法与疗效独立（即两种疗法效果无差异）. · (3) 计算 . · ，，，平方得 400689. · 分母：，，乘积 （可先近似估算）. · 继续精确计算：，，. · 分子：. · . · (4) 的临界值为 7.879.由于 ，不能拒绝 ，即没有充分证据表明两种疗法的效果有差异. · 注意：此处原课件中可能数据不同，实际计算应确保正确.此处仅演示过程. 1. 思考： · 如果对调列联表中的行或列， 的值会改变吗？ · 解：不会，因为公式对称，只与 的绝对值有关. 【自主梳理】 独立性检验与反证法的比较： 1. 相同点：都采用“假设—矛盾”的思路. 2. 不同点：反证法在逻辑正确时不会犯错；独立性检验基于概率，可能犯随机性错误，但犯错概率可控. 学习任务三 独立性检验的实际决策 【合作探究】 1. 例2（吸烟与肺癌）： · 某调查得到 列联表：吸烟与患肺癌的数据. · 计算 约为 56.632，远大于 的临界值 10.828，因此拒绝 ，认为吸烟与患肺癌有关联，且犯错误的概率不超过 0.001. 1. 练习： · 为考察药物 对预防疾病 的效果，得到列联表如下（数据略）.请完成独立性检验并解释结论. 1. 注意事项： (1) 独立性检验的结论只说明是否有关联，不说明因果方向. (2) 样本量较小时， 近似可能不准确，需谨慎. 【自主梳理】 独立性检验的结论表述： 1. 若 ，则“在犯错误概率不超过 的前提下，认为 与 有关联”. 2. 若 ，则“没有充分证据表明 与 有关联”. 【自查自纠】（正误判断） 1. 独立性检验的零假设是两变量独立. （ ） 1. 的值越大，说明两变量越可能独立. （ ） 1. 独立性检验可能犯错误，且错误概率可以控制. （ ） 1. 若 大于临界值，则两变量一定有因果关系. （ ） 1. 独立性检验适用于分类变量. （ ） 答案：1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.√ 【典例分析】 例1：某校调查了 200 名学生，得到性别与是否喜欢运动的列联表如下（单位：人）： 性别 喜欢运动 不喜欢运动 合计 男 80 40 120 女 30 50 80 合计 110 90 200 试问：在犯错误概率不超过 0.05 的前提下，能否认为性别与喜欢运动有关？ 解： ：性别与喜欢运动独立. ， . 分母：，，. 分子：. . 临界值 3.841，16.50 > 3.841，拒绝 ，认为性别与喜欢运动有关. 例2：已知 ， 临界值 3.841， 临界值 6.635.问：能否在犯错误概率不超过 0.05 的前提下认为两变量有关？能否在不超过 0.01 的前提下认为有关？ 解：5.2 > 3.841，所以可在 0.05 水平下认为有关；但 5.2 < 6.635，不能在 0.01 水平下认为有关. 【习题巩固】 1. 在独立性检验中，若 的值很大，则说明（ ） · A. 两个变量独立 · B. 两个变量可能有关联 · C. 拒绝零假设的证据强 · D. 接受零假设的证据强 1. 对于 列联表，若 ，则 的值为（ ） · A. 1 B. 0 C. 可能很大 D. 无法确定 1. 某机构调查了 300 人，得到吸烟与患肺癌的列联表如下： 吸烟 患肺癌 未患肺癌 合计 是 30 120 150 否 10 140 150 合计 40 260 300 · 计算 的值，并判断在 下是否认为吸烟与患肺癌有关. 1. 独立性检验中，小概率值 的含义是（ ） · A. 接受 时犯错的概率 · B. 拒绝 时犯错的概率 · C. 样本量不足的概率 · D. 两变量无关的概率 1. （选做）某校调查了 100 名学生，得到数学成绩与物理成绩的列联表如下： 数学 物理优秀 物理不优秀 合计 优秀 30 10 40 不优秀 20 40 60 合计 50 50 100 · (1) 计算 . · (2) 根据 的临界值 3.841，判断数学与物理成绩是否有关联. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. B、C（ 大说明差异大，倾向于拒绝独立假设） 1. B（分子为 0） 1. ， · ， · ，大于 6.635，认为有关. 1. B 1. (1) ， · . · (2) 16.67 > 3.841，认为数学与物理成绩有关联. 学科网（北京）股份有限公司 $