8.3.2 独立性检验 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦“独立性检验”核心内容，涵盖零假设、卡方统计量、临界值及检验规则等知识点。通过法官判案类比导入，承接上节频率比较推断的局限性，构建从直观推断到概率论证的学习支架。 其亮点在于以类比迁移培养数学眼光，用逻辑推理深化数学思维，借数据建模发展数学语言。结合医疗效果、吸烟与肺癌等实例，步骤归纳清晰，助力学生提升数据分析能力与理性精神，教师可高效开展统计教学。

8.3.2 独立性检验 第八章 成对数据的统计分析 作者编号：32100 1 新课引入 需要找到一种更为合理的推断方法，同时也希望能对出现错误推断的概率有一定的控制或估算． 问题：在上节例1中，通过频率比较，推断：“两校学生的数学成绩优秀率存在差异”，但由于数据的随机性，这一推断有可能是错误的.犯错误的概率有多大？如何避免呢？如何从概率的角度去研究两个分类变量 X 与 Y 是否有关联？ 作者编号：32100 新课引入 问题1 你知道法官是如何凭证据进行判案的吗？ 先做一个无罪假设 找无罪假设下不可能出现的物证和人证。 找到了，假设不成立，嫌疑人有罪。 没找到，没有充分证据证明假设不成立，暂且认为无罪。 假设X，Y相互独立，无关联 找假设下不可能发生的事件。(利用小概率原理) 发生了，假设不成立，X，Y不独立，从而证明二者有关联。 没发生，没有充分证据证明假设不成立，暂且认为X，Y相互独立。 类比 我们是否可以类比法官判案的方式去判断两个分类变量X，Y是否有关联？ 作者编号：32100 零假设H0：分类变量X和Y独立 我们需要判断下面的假定关系是否成立 H0：P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1) 通常称H0为零假设或原假设 问题2 设 X 和 Y 为定义在以Ω为样本空间上，且取值于{0，1}的成对分类变量，如何判断事件{X＝1}和{Y＝1}之间是否有关联？ 用概率语言，将零假设改述为 新知学习 作者编号：32100 问题3 如何基于列联表中的数据，构造适当的统计量，对成对分类变量 X 和 Y 是否相互独立作出推断? 新知学习 卡方统计量： X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 上述表达式是 χ2的计算公式， χ2读作“卡方”. 作者编号：32100 新知学习 如果零假设H0成立，则χ2应该很小. 如果零假设H0不成立，则χ2应该很大. 统计学家建议，用随机变量χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据. 思考1：卡方统计量有什么用呢？ 作者编号：32100 新知学习 根据小概率事件在一次试验中不大可能发生的规律，上面的想法可以通过确定一个与H0相矛盾的小概率事件来实现. 思考2：如何确定判断χ2大小的标准呢？ 在假定H0的条件下，对于有放回简单随机抽样，当样本容量充分大时，统计学家得到了χ2的近似分布，忽略卡方的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数，使得下面关系成立： 作者编号：32100 新知学习 我们称 xα 为 α 的临界值， 这个临界值可以作为判断χ2大小的标准. 概率值α越小，临界值xα越大. P(X ≥xα)＝α 成立意味着小概率事件发生，从而推断零假设H0不成立， 不过这个推断有可能犯错误，但犯错误的概率不会超过α. P(χ2≥xα)＝α 作者编号：32100 概念生成 基于小概率值α的检验规则： 用χ2取值的大小作为判断零假设H0是否成立的依据，当它比较大时推断H0不成立，否则认为H0成立。 这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. 当χ2≥xα时，推断H0不成立，即认为 X 和 Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过α； 当χ2＜xα时，没有充分证据推断H0不成立，可以认为 X 和 Y 独立. 作者编号：32100 新知学习 下表给出了χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 我们推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05； (2)当χ2＜x0.05＝3.841时， 我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立. 例如：对于小概率值α＝0.05，我们有如下的具体检测规则： (1)当χ2≥x0.05＝3.841时， 作者编号：32100 典例剖析 例1 某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良. 采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据: 抽到接受甲种疗法的患儿67名，其中未治愈15名，治愈52名；抽到接受乙种疗法的患儿69名，其中未治愈6名，治愈63名. 试根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析乙种疗法的效果是否比甲种疗法好. 零假设H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异， 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 由已知数据列出2×2列联表： 解析： 典例剖析 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据小概率值α＝0.005的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两种疗法效果没有差异. 方法归纳 (1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释. (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较. (3)根据检验规则得出推断结论. (4)在 X 和 Y 不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析 X 和 Y 间的影响规律. 应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节： 作者编号：32100 典例剖析 例2 为研究吸烟是否与肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了9965人，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示. 依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险. 零假设为H0：吸烟和患肺癌 之间没有关联. 根据列联表中的数据，计算得到 解析： 吸烟 肺癌 合计 非肺癌患者 肺癌患者 非吸烟者 7775 42 7817 吸烟者 2099 49 2148 合计 9874 91 9965 典例剖析 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验，推断H0不成立(数学结论)，即认为吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 (实际结论). 变式训练 练习1 为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得χ2＝7.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为( ) A．0.1% B．1% C．99% D．99.9% C α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 变式训练 练习2 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 顾客性别与满意评价列联表 附： α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 满意 不满意 合计 男顾客 40 10 50 女顾客 30 20 50 合计 70 30 100 变式训练 顾客性别与满意评价列联表 附： α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 满意 不满意 合计 男顾客 40 10 50 女顾客 30 20 50 合计 70 30 100 解析： 我们推断H0不成立，即认为性别与满意评价有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故有95%的把握认为男女顾客对该商场服务的评价有差异。 零假设H0：假设性别与满意评价无关 = x0.05 根据小概率值α=0.05的独立性检验， 变式训练 练习3 为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，根据105个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表： 依据α＝0.05的独立性检验，分析药物A对预防疾病B的有效性. 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 29 15 44 服用 47 14 61 合计 76 29 105 无关联，即药物A对预防疾病B没有效果，根据列联表中数据，经计算得到 解析： 零假设H0：药物A与预防疾病B 变式训练 依据α＝0.05的独立性检验，分析药物A对预防疾病B的有效性. 解析： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即可以认为药物A对预防疾病B没有效果. 变式训练 练习4 从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下： 依据α＝0.05的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联? 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 212 61 273 优秀 54 73 127 合计 266 134 400 解析： 零假设H0：数学成绩与语文 成绩没有关联，根据列联表中数据，经计算得到 变式训练 依据α＝0.05的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联? 解析： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，我们可以推断H0不成立，即认为数学成绩与语文成绩有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05. 变式训练 练习5 某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，得出以下2×2列联表： 如果随机抽查该班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率 是12/5. (1)求a，b，c，d的值； 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 总计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般 a b 25 总计 c d 50 变式训练 如果随机抽查该班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率 是12/25. (1)求a，b，c，d的值； 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 总计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般 a b 25 总计 c d 50 (1)积极参加班级工作的学生有c人，总人数为50， 由抽到积极参加班级工作的学生的概率P1＝c/50＝12/25， 解得c＝24，所以a＝6．所以b＝25－a＝19，d＝50－c＝26． 解析： 变式训练 (2)试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？并说明理由． 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 总计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般 6 19 25 总计 24 26 50 解析： (2)由列联表知，， 可得有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系． 课堂总结 根据今天所学，回答下列问题： 1.总结应用χ2独立性检验解决实际问题时大致包括几个主要环节？ 2.你能说说独立性检验的本质吗？ 通过比较观测值和期望值之间的差异，来判断事件发生的概率大小. 具体的，由χ2所代表的这种差异大小是通过确定的小概率值进行判断的. 作者编号：32100 $