8.3.1 分类变量与列联表 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第八章 成对数据的统计分析 8.3 列联表与独立性检验 8.3.1 分类变量与列联表 【学习目标】 1. 了解分类变量的概念，能区分数值变量与分类变量. 1. 理解 2×2 列联表的构造与意义，会用频率分析法、图形分析法（等高堆积条形图）探究两个分类变量之间的关系. 1. 能够对统计数据进行整理、初步分析，提升数据建模与数据分析素养. 【学习重点】 1. 分类变量的定义及与数值变量的区别. 2. 2×2 列联表的制作与解读. 3. 利用频率、条件概率和等高堆积条形图判断两个分类变量之间是否存在关联. 【学习难点】 1. 理解“样本随机性可能导致推断错误”这一思想. 2. 从等高堆积条形图中直观判断两个变量是否独立. 学习任务一 分类变量的概念与列联表的构造 【合作探究】 1. 问题引入： · 玩手机时间长短会不会影响数学考试成绩？如何用数据而不是感觉来判断？ · 这里的“玩手机时间长短”可以分成“长时间” “短时间”等类别，“数学成绩”可以分成“好” “差”等类别.这种取值为“类别”的变量称为分类变量. 1. 变量分类： (1) 数值变量：取值为实数，大小和运算有实际意义（如身高、成绩分数、时间）. (2) 分类变量：取值表示不同类别，数值仅作为代号（如性别：0/1，班级：1,2,3）. 1. 列联表的构造： · 研究性别与体育锻炼经常性的关系，得到普查数据： · 女生 523 人中经常锻炼 331 人，男生 601 人中经常锻炼 473 人. · 整理成 2×2 列联表： 性别 经常锻炼 不经常锻炼 合计 女 331 192 523 男 473 128 601 合计 804 320 1124 · 该表称为 2×2 列联表，用于交叉分类频数统计. 1. 分析： (1) 女生经常锻炼的比例：； (2) 男生经常锻炼的比例：. · 两者差异明显，初步认为性别与锻炼经常性相关. 【自主梳理】 1. 分类变量：取值为有限个类别，数值仅作标签，无大小运算含义. 1. 2×2 列联表：按两个分类变量的两种取值交叉分类得到的频数表，形式为： 合计 合计 1. 频率分析法：比较两个类别的条件频率（比例）是否相等. 学习任务二 直观判断——等高堆积条形图 【合作探究】 1. 等高堆积条形图的绘制： · 以性别为例，画两个条形（女、男），高度均为 1，内部按经常锻炼与不经常锻炼的比例分割. · 如果两个条形的内部结构相似（即经常锻炼的比例相同），则说明两个变量可能独立；如果差异较大，则可能存在关联. 1. 实例（例1）： · 甲校 43 名学生中 10 人数学成绩优秀，乙校 45 名学生中 7 人优秀. (1) 甲校优秀率：； (2) 乙校优秀率：. · 频率差异约为 0.077，画出等高堆积条形图（描述：甲校的“优秀”段比乙校稍高）. · 问：这个差异是否足以推断两校优秀率有本质差异？ · 答：样本具有随机性，可能只是因为抽样偶然导致差异，不一定反映总体真实情况.下一节将学习如何量化这种犯错概率. 1. 功能：等高堆积条形图能直观展示两个分类变量间是否存在关系，但只能作为初步判断，不能作为最终结论. 【自主梳理】 等高堆积条形图： 1. 横轴：一个分类变量的不同取值（如男、女）. 2. 每个条形高度为 1，内部按另一个分类变量的比例分割. 3. 若各条形的分割比例差异明显，则两个变量可能相关. 学习任务三 条件概率视角与样本随机性 【合作探究】 1. 用条件概率判断： · 设 为“女生”， 为“经常锻炼”. · ，. · 若性别与锻炼无关，则 应等于 .现两者不等，提示有关联. 1. 样本随机性与推断错误： · 样本只是总体的一个子集，频率具有随机性.即使总体中两变量独立，样本也可能出现较大差异. · 因此，仅凭样本频率差异就下结论可能犯错.后续将学习 独立性检验 来量化犯错概率. 【自主梳理】 1. 条件概率 与 的差异可以反映 与 的关联程度. 2. 由于样本随机性，观察到的差异不一定代表总体真实情况，需借助统计检验. 【自查自纠】（正误判断） 1. 分类变量的取值可以进行加减运算. （ ） 1. 2×2 列联表是用于整理两个分类变量数据的表格. （ ） 1. 等高堆积条形图中，若两个条形的内部比例相同，则两变量一定独立. （ ） 1. 样本频率的差异可以直接作为总体结论的依据. （ ） 1. 从列联表可以计算条件频率来比较不同组间的差异. （ ） 答案：1.× 2.√ 3.×（样本随机性，可能只是巧合） 4.× 5.√ 【典例分析】 例1：某校调查了 200 名学生，其中男生 120 人，女生 80 人.喜欢篮球的男生有 90 人，喜欢篮球的女生有 40 人. (1) 完成 2×2 列联表. (2) 分别计算男生和女生的喜欢篮球的比例，并判断性别与喜欢篮球是否可能存在关联. 解： (1) 列联表： 性别 喜欢篮球 不喜欢篮球 合计 男 90 30 120 女 40 40 80 合计 130 70 200 (2) 男生喜欢比例：；女生喜欢比例：. 差异较大，表明性别与喜欢篮球可能存在关联. 例2：某机构调查了 300 人，分为“吸烟”与“不吸烟”，调查他们是否患肺病.吸烟组 150 人中有 30 人患肺病，不吸烟组 150 人中有 10 人患肺病. (1) 构建 2×2 列联表. (2) 判断吸烟与患肺病是否可能有关. 解： (1) 吸烟 患肺病 未患肺病 合计 是 30 120 150 否 10 140 150 合计 40 260 300 (2) 吸烟者患病率 ，不吸烟者患病率 ，差异明显，说明吸烟可能与患肺病有关. 【习题巩固】 1. 下列变量中，属于分类变量的是（ ） · A. 身高 B. 体重 C. 性别 D. 温度 1. 在 2×2 列联表中，若 ，则样本总数为（ ） · A. 50 B. 60 C. 70 D. 100 1. 等高堆积条形图的主要作用是（ ） · A. 精确计算两个变量的相关系数 · B. 直观展示两个分类变量间的关联 · C. 检验两个变量是否独立 · D. 绘制两个数值变量的散点图 1. 某校调查了 500 名学生，其中男生 300 人，女生 200 人.喜欢数学的男生有 210 人，喜欢数学的女生有 110 人. · (1) 完成 2×2 列联表. · (2) 分别计算男生和女生的喜欢数学比例，并判断性别与喜欢数学是否可能存在关联. 1. （选做）根据例1（甲、乙两校数学优秀）的数据，画出等高堆积条形图的文字描述，并说明你的初步结论. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. C 1. D（总数 = 20+30+40+10 = 100） 1. B 1. (1) 列联表： 性别 喜欢数学 不喜欢数学 合计 男 210 90 300 女 110 90 200 合计 320 180 500 (2) 男生喜欢比例 ，女生喜欢比例 ，差异明显，可能存在关联. 1. 描述：横轴为甲校、乙校两个条形，高度均为1.甲校内部优秀部分约占 0.233，乙校优秀部分约占 0.156，两者存在差距，初步认为甲校优秀率可能高于乙校.但由于样本随机性，需进一步检验. 学科网（北京）股份有限公司 $