8.3.1 分类变量与列联表-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案word（人教A版2019）

8.3.1　分类变量与列联表 (教师独具内容) 课程标准：通过实例，理解2×2列联表的统计意义． 教学重点：1.分类变量的概念.2.2×2列联表的概念及其统计意义.3.用等高堆积条形图直观展示2×2列联表数据的频率特征． 教学难点：2×2列联表的统计意义． 核心素养：通过学习2×2列联表，提升数学抽象素养、直观想象素养和数据分析素养． 知识点一　分类变量 为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量． 知识点二　2×2列联表 在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表格加以保存．我们将如下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表． X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a b a＋b X＝1 c d c＋d 合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 由上表可知： P(Y＝1|X＝0)＝＝，P(Y＝1|X＝1)＝＝． 知识点三　等高堆积条形图 等高堆积条形图和表格相比，更能直观地反映两个分类变量间是否相互影响，常用等高堆积条形图展示列联表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果． 1．(与分类变量有关的数据收集问题)为了调查高中生的性别与是否喜欢踢足球之间有无关联，一般需要收集以下数据：____________________________________________________ ____________________. 答案：男、女生中喜欢和不喜欢踢足球的人数 2．(利用等高堆积条形图判断两变量有无关联)根据如图所示的等高堆积条形图可知吸烟与患肺癌是________关联的(填“有”或“没有”)． 答案：有 3．(利用2×2列联表求参数值)某校为了检验高中数学新课程改革的成果，在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下面2×2列联表所示(单位：人)，则其中m＝________，n＝________． 班级 成绩 80分以下 80分及以上 合计 试验班 18 32 50 对照班 m 24 50 合计 44 56 n 答案：26　100 题型一　2×2列联表　 　甲、乙两个学校高三年级分别有1200人、1600人，在某次联考中，统计得到甲校学生英语成绩及格的有900人，乙校学生英语成绩及格的有960人，请列出2×2列联表，并估计两个学校的英语成绩是否有差异． [解]　2×2列联表如下： 单位：人 学校 英语成绩 合计 不及格 及格 甲校 300 900 1200 乙校 640 960 1600 合计 940 1860 2800 因为甲校学生中，英语及格的占＝0.75，乙校学生中，英语及格的占＝0.6，0.75>0.6，且两个比例的值相差较大，故估计两个学校的英语成绩有差异． 感悟提升 频率分析法 利用2×2列联表中满足条件X＝0的个体中具有Y＝1的个体所占比例，与满足条件X＝1的个体中具有Y＝1的个体所占比例，两个比值相差越大，X与Y有关联的可能性越大． [跟踪训练1]　假设有两个分类变量X和Y，其2×2列联表如下： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 a 10 a＋10 X＝1 c 30 c＋30 合计 60 40 100 对于同一样本，以下数据能说明X与Y有关联的可能性最大的一组是(　　) A．a＝45，c＝15 B．a＝40，c＝20 C．a＝35，c＝25 D．a＝30，c＝30 答案：A 解析：比较与两个比值的差异，差异越大，则X与Y有关联的可能性越大．对于A，＝，＝；对于B，＝，＝；对于C，＝，＝；对于D，＝，＝.易知A中与两个值差异最大．故选A. 题型二　等高堆积条形图　 　某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张．作出列联表和等高堆积条形图，并利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关联． [解]　作列联表如下： 单位：人 考前心情 性格 合计 内向 外向 紧张 332 213 545 不紧张 94 381 475 合计 426 594 1020 相应的等高堆积条形图如图所示，图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例．从等高堆积条形图可以看出考前心情紧张与性格类别有关联． 感悟提升 图形分析法 等高堆积条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显，就判断两个分类变量之间有关系．这与通过列联表判断变量之间是否有关本质上是一样的． [跟踪训练2]　(1)观察下列各图，其中两个分类变量之间关联最强的是(　　) 答案：D 解析：在四幅图中，D图中两个白色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关联最强．故选D. (2)为考察某种药物预防疾病的效果进行动物试验，得到如下列联表： 单位：只 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用药 45 10 55 未服用药 30 20 50 合计 75 30 105 试用等高堆积条形图分析服用药和患病之间是否有关联． 解：根据列联表所给的数据可得出服用药患病的频率为≈0.18，未服用药患病的频率为＝0.4，作出等高堆积条形图如图，两者的差距是|0.18－0.4|＝0.22，两者相差很大，因此服用药与患病之间有关联． 1．下列变量中不属于分类变量的是(　　) A．性别 B．吸烟 C．宗教信仰 D．国籍 答案：B 解析：“吸烟”不是分类变量，“是否吸烟”才是分类变量． 2．下面的等高堆积条形图可以说明的问题是(　　) A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的 B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同 C．此等高堆积条形图看不出两种手术有什么不同的地方 D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握 答案：D 解析：由等高堆积条形图可知D正确． 3．(多选)在一次恶劣天气的飞行航程中调查男、女乘客在飞机上晕机的情况如下表所示： 单位：人 性别 乘飞机 合计 不晕机 晕机 男 31 24 55 女 26 8 34 合计 57 32 89 下列说法正确的是(　　) A．男乘客晕机的频率约为0.436 B．女乘客不晕机的频率约为0.235 C．男乘客晕机的频率比女乘客高 D．是否晕机一定与性别有关联 答案：AC 解析：男乘客晕机的频率为≈0.436，A正确；女乘客不晕机的频率为≈0.765，B错误；女乘客晕机的频率为≈0.235<0.436，C正确；依据频率稳定于概率的原理，可以推断男乘客晕机的概率大于女乘客晕机的概率，但是，由于样本的随机性，我们推断出的结论有可能是错误的，D错误．故选AC. 4．下面是一个2×2列联表： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 21 a 73 X＝1 16 17 33 合计 b 69 106 其中a，b的值分别为________，________． 答案：52　37 解析：a＝73－21＝52，b＝21＋16＝37. 5．为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下： 单位：人 组别 尿棕色素 阴性数 合计 阳性数 铅中毒病人 29 7 36 对照组 9 28 37 合计 38 35 73 试画出列联表的等高堆积条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？ 解：等高堆积条形图如图所示： 其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率，由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比，尿棕色素为阳性的频率差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ 对点 等高堆积条形图 等高堆积条形图 2×2列联表的应用 等高堆积条形图 完善2×2列联表 题号 6 7 8 9 10 11 12 13 难度 ★ ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 2×2列联表的应用 等高堆积条形图 2×2列联表的应用 2×2列联表的应用 2×2列联表与等高堆积条形图的综合应用 2×2列联表与等高堆积条形图的综合应用 2×2列联表与等高堆积条形图的综合应用 2×2列联表与等高堆积条形图的综合应用 一、选择题 1．可以粗略地判断两个分类变量是否有关联的是(　　) A．折线图 B．等高堆积条形图 C．残差图 D．以上均不对 答案：B 解析：可以粗略判断两个分类变量是否有关联的是等高堆积条形图． 2．为考察A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列说法中最佳的是(　　) A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果 B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果 C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果 D．药物A，B对该疾病均没有预防效果 答案：B 解析：从等高堆积条形图可以看出，服用药物A后未患病的比例比服用药物B后未患病的比例大得多，预防效果更好． 3．已知两个分类变量X和Y，其2×2列联表如下： X Y 合计 Y＝0 Y＝1 X＝0 200 800 1000 X＝1 180 a 180＋a 合计 380 800＋a 1180＋a 如果最后发现，这两个分类变量没有任何关系，那么a的值可能是(　　) A．200 B．720 C．100 D．180 答案：B 解析：由于X和Y没有任何关系，根据列联表可知和基本相等，计算可知，B满足条件．故选B. 4．现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图： 根据这两幅图中的信息，下列统计结论不正确的是(　　) A．样本中的女生数量多于男生数量 B．样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量 C．样本中的男生偏爱两理一文 D．样本中的女生偏爱两文一理 答案：D 解析：由条形图1知女生数量多于男生数量，故A正确；由条形图2知有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故B正确；由条形图2知男生偏爱两理一文，故C正确；由条形图2知女生中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故D不正确．故选D. 5．(多选)户外运动已经成为一种时尚，某单位为了了解员工喜欢户外运动是否与性别有关联，从本单位所有员工共计650人中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取50人进行问卷调查，得到了如下2×2列联表： 单位：人 性别 户外运动 合计 喜欢 不喜欢 男性 a 5 b 女性 10 c d 合计 e f 50 在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢户外运动员工的概率是0.6，则下列说法正确的是(　　) A．抽取的50人中喜欢户外运动的有30人 B．a＝20，c＝15 C．e＝30，f＝10 D．女性中喜欢户外运动的频率为0.4 答案：ABD 解析：从50人中随机抽取1人，抽到喜欢户外运动员工的概率是0.6，可得50人中喜欢户外运动的人数为50×0.6＝30，即e＝30，f＝20.因为喜欢户外运动的女性有10人，所以喜欢户外运动的男性有30－10＝20人，即a＝20，b＝25.因为不喜欢户外运动的男性有5人，所以不喜欢户外运动的女性有20－5＝15人，即c＝15，d＝25.女性中喜欢户外运动的频率为＝0.4.故选ABD. 二、填空题 6．为研究大气污染与人的呼吸系统疾病是否有关联，对重污染地区和轻污染地区跟踪调查，得到如下资料： 单位：人 污染地区 呼吸系统疾病 合计 未患呼吸系统疾病 患呼吸系统疾病 重污染地区 1397 103 1500 轻污染地区 1487 13 1500 合计 2884 116 3000 则人在重污染地区患呼吸系统疾病的频率约为________(精确到0.001)． 答案：0.069 解析：人在重污染地区患呼吸系统疾病的频率为≈0.069. 7．某校为研究该校学生性别与体育锻炼的经常性之间的联系，随机抽取100名学生(其中男生60名，女生40名)，并绘制得到如图所示的等高堆积条形图，则这100名学生中经常锻炼的人数为________． 答案：68 解析：由等高堆积条形图可知，这100名学生中经常锻炼的人数为60×0.8＋40×0.5＝68. 8．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示： 单位：人 年龄 电视节目 合计 文艺节目 新闻节目 20～40岁 40 18 58 大于40岁 15 27 42 合计 55 45 100 由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关联？________(填“是”或“否”)． 答案：是 解析：因为在20～40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，<，且两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关联的． 三、解答题 9．在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人．六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主，六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主．请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用与判断二者是否有关联． 解：2×2列联表如下： 单位：人 饮食习惯 年龄 合计 六十岁以下 六十岁以上 饮食以蔬菜为主 21 43 64 饮食以肉类为主 33 27 60 合计 54 70 124 将表中数据代入公式得 ＝＝0.671875，＝＝0.45. 显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关联． 10．当某矿石粉厂生产一种矿石粉时，在数天内就有部分工人患职业性皮肤炎．在生产季节开始时，随机抽取车间工人抽血化验，75名穿新防护服的车间工人中5例阳性，70例阴性，28名穿旧防护服的车间工人中10例阳性，18例阴性，根据以上数据作出列联表和等高堆积条形图，并用图形判定这种新防护服对预防工人职业性皮肤炎是否有效(注：显阴性即未患皮肤炎)． 解：由题目所给的数据，得2×2列联表如下： 单位：人 防护服 化验结果 合计 阳性 阴性 新 5 70 75 旧 10 18 28 合计 15 88 103 相应的等高堆积条形图如图所示： 图中两个深色条的高分别表示穿新、旧防护服样本中呈阳性的频率，从图中可以看出，穿旧防护服呈阳性的频率高于穿新防护服呈阳性的频率，且两者相差较大．因此，可以认为新防护服比旧防护服对预防这种皮肤炎更有效． 11．网络对现代人尤其是对青少年的生活影响较大，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了1000人调查，发现其中经常上网的有200人，这200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格．作出列联表和等高堆积条形图，并利用图形判断学生经常上网与学习成绩之间是否有关联？ 解：根据题目所给的数据得到如下2×2列联表： 单位：人 上网 成绩 合计 及格 不及格 经常 120 80 200 不经常 680 120 800 合计 800 200 1000 根据列联表所给的数据，可得出经常上网不及格的频率为＝0.4，不经常上网不及格的频率为＝0.15，故得出等高堆积条形图如图所示，比较图中阴影部分的高可以发现经常上网不及格的频率明显高于不经常上网不及格的频率，因此可以认为经常上网与学习成绩有关联． 12．研究人员选取170名青年男、女大学生，对他们进行一种心理测验．发现60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应中，作否定的有38名，肯定的有22名；110名男生在相同的项目上作否定的有88名，肯定的有22名．问：性别与态度之间是否有关联？作出列联表和等高堆积条形图，并利用图形进行判断． 解：建立性别与态度的2×2列联表如下： 单位：人 性别 态度 合计 否定 肯定 男生 88 22 110 女生 38 22 60 合计 126 44 170 根据列联表中所给的数据，可求出男生中作肯定态度的频率为＝0.2，女生中作肯定态度的频率为≈0.37.作等高堆积条形图如图所示，其中两个深色条形的高分别表示男生和女生中作肯定态度的频率，比较图中深色条形的高可以发现，女生中作肯定态度的频率明显高于男生中作肯定态度的频率．因此可以认为性别与态度有关联． 13．为了研究高三年级学生的性别和身高是否有关联的问题，得到某中学高三年级学生的性别和身高的所有观测数据所对应的列联表如下： 单位：人 性别 身高 合计 低于170 cm 不低于170 cm 女 81 16 97 男 28 75 103 合计 109 91 200 (1)请画出列联表的等高堆积条形图，判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联．如果结论是性别与身高有关联，请解释它们之间如何相互影响； (2)身高变量是数值型变量还是分类变量？为什么？ 解：(1)女学生身高低于170 cm、不低于170 cm的频率分别为≈0.835，≈0.165， 男学生身高低于170 cm、不低于170 cm的频率分别为≈0.272，≈0.728， 则列联表的等高堆积条形图如下： 通过比较发现，如果从女生、男生中各随机选取一名学生，女生中身高低于170 cm的概率大于男生中身高低于170 cm的概率，故该中学高三年级学生的性别和身高有关联， 又≈3.07，故女生中身高低于170 cm的频率是男生中身高低于170 cm的频率的3倍以上． (2)身高变量是数值型变量，因为身高可以取不同的数值． 8 学科网（北京）股份有限公司 $$