8.2.1 一元线性回归模型 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第八章 成对数据的统计分析 8.2 一元线性回归模型 8.2.1 一元线性回归模型 【学习目标】 1. 结合实例，了解一元线性回归模型的含义，理解模型参数的统计意义. 1. 了解最小二乘原理（下一课时），掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法. 1. 能针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测. 【学习重点】 1. 一元线性回归模型的结构：，理解 （截距）、（斜率）的含义. 2. 随机误差 的来源及模型假设（）. 3. 用样本数据估计回归方程. 【学习难点】 1. 理解随机误差项的统计意义，区分函数关系与回归关系. 2. 理解参数 的含义：解释变量 每增加一个单位，响应变量 的均值增加 个单位. 学习任务一 从相关关系到回归模型 【合作探究】 1. 问题引入： · 父亲身高与儿子身高的关系：调查 14 名男大学生的身高及其父亲身高，得到数据. (1) 画出散点图（描述：点大致分布在从左下到右上的直线附近）. (2) 计算样本相关系数 ，说明两者正线性相关，程度较强. (3) 但父亲身高相同（如 172 cm）时，儿子身高有 176 cm 和 174 cm 等不同值，说明儿子身高不是父亲身高的函数.两者之间存在随机性. 1. 一元线性回归模型的定义： · 设 为父亲身高（解释变量）， 为儿子身高（响应变量）， 为随机误差，则模型为 (1) · 其中： (1) （截距参数），（斜率参数）； (2) 是随机误差，满足 ，（常数，与 无关）. · 此时 是一个随机变量，其均值 . 1. 为什么假设 ？ (1) 随机误差取正负的可能性大致相等，均值理想为 0. (2) 若均值非零常数 ，可将 合并到截距 中，否则模型无法唯一确定. (3) 不希望存在系统误差. 1. 随机误差的来源： (1) 其他影响因素（母亲身高、生活习惯、营养等）. (2) 测量误差. (3) 模型本身的近似误差. 【自主梳理】 1. 一元线性回归模型： · ， 为自变量（解释变量）， 为因变量（响应变量）， 为未知参数， 为随机误差，. 1. 参数 的含义： · 每增加 1 个单位， 的均值增加 个单位.注意不是 的取值一定增加 ，而是均值的改变. 1. 参数 的含义： · 当 时， 的均值.但在实际问题中 可能无实际意义. 1. 模型与函数模型的区别： · 函数模型是确定性的，回归模型是随机性的（含误差项）. 学习任务二 参数 的估计与回归方程 【合作探究】 1. 最小二乘法思想（初步了解）： · 希望找到一条直线 ，使得所有样本点 到该直线的竖直距离的平方和最小，即 · 最小 · 解得（公式推导下一课时）： 1. 例题（教材或课件中数据）： · 已知父亲身高与儿子身高的样本数据，计算回归方程. · 例如，，，，，则 · 回归方程为 . · 解释：父亲身高每增加 1 cm，儿子身高的均值增加 0.8 cm. 1. 预测： · 若父亲身高为 180 cm，预测儿子身高为 cm. 【自主梳理】 1. 最小二乘估计公式： 1. 回归直线：. 1. 预测：给定 ，预测值 . 学习任务三 模型辨析与简单应用 【合作探究】 1. 概念辨析： 下列变量间关系，哪些可以用一元线性回归模型刻画？ · (1) 圆的半径与面积 → 函数关系，不用回归. · (2) 施肥量与农作物产量 → 相关关系，可用回归. · (3) 某商品价格与需求量 → 负相关，可用回归. · (4) 匀速直线运动中的路程与时间 → 函数关系. 1. 参数理解： · 在一元线性回归模型 中，下列解释正确的是（ ） · A. 是截距参数，表示 时 的均值 · B. 是斜率参数，表示 每增加 1 单位， 的均值增加 单位 · C. 是随机误差，其均值为 0 · D. 是一个随机变量 · 答案：ABCD 1. 随机误差的影响： · 对于同一 值， 的取值会波动，这是因为 的随机性. 【自主梳理】 使用一元线性回归模型时需要注意： 1. 先判断变量间是否有线性相关关系（散点图、相关系数）. 2. 模型仅表示均值关系，实际观测值会偏离回归直线. 3. 预测值是在给定 下 的均值估计，不是精确值. 【自查自纠】（正误判断） 1. 一元线性回归模型 中， 的均值为 0. （ ） 1. 参数 表示 每增加 1 单位， 一定增加 单位. （ ） 1. 回归直线必过点 . （ ） 1. 散点图中的点全部落在回归直线上时，相关系数 . （ ） 1. 回归模型中的 和 可以通过样本数据精确计算得到. （ ） 答案：1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√（给定样本，计算是精确的，但总体参数未知） 【典例分析】 例1：某研究小组对 10 名学生的数学成绩 与物理成绩 进行调查，得到数据如下（部分）： ，，，. (1) 求 关于 的回归方程； (2) 若某学生数学成绩为 80 分，预测其物理成绩. 解： (1) ，， 回归方程为 . (2) 时，（分）. 例2：已知回归方程为 ，且 ，求 . 解：回归直线过 ，故 . 【习题巩固】 1. 下列关于一元线性回归模型的叙述，错误的是（ ） · A. 模型中的 称为截距参数 · B. 模型中的 称为斜率参数 · C. 模型中的 是常数 · D. 模型中的 是随机变量 1. 已知回归直线方程为 ，且 ，则 （ ） · A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 1. 在回归模型 中，随机误差 的作用是（ ） · A. 表示除 外其他因素对 的影响 · B. 表示观测误差 · C. 反映模型近似的不精确性 · D. 以上都是 1. 某工厂生产某种产品，产量 （千件）与单位成本 （元）的数据如下： · ，，，. · (1) 求 关于 的回归方程； · (2) 预测产量为 8 千件时的单位成本. 1. （选做）已知某商品价格 （元）与需求量 （件）的样本数据回归方程为 ，若价格从 20 元上涨到 25 元，预测需求量变化多少？ 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. C（ 是随机误差，不是常数） 1. A（回归直线过 ，故 ） 1. D 1. (1) ，，； · (2) 时，（元）. 1. ，需求量减少 10 件. 学科网（北京）股份有限公司 $