8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时）（导学案）数学人教A版选择性必修第三册

8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时） 导学案 1. 结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义； 2. 了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法； 3. 针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 1． 创设情境，引入新知 特殊的相关关系 思考：以上四图中散点均分布在某一条直线的附近，怎样找到一条最贴近这些点的直线？找的这条直线的方程是多少？ 2．探究新知 引言：在一元线性回归模型中，表达式Y=bx+a+e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计. 由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近. 探究：利用散点图找出一条直线，使各散点在整体上与此直线尽可能接近. 预设：方法一：采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置. 然后测量出此时的斜率和截距，就可得到一 条直线，如下图所示. 方法二：在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线，如下图所示. 方法三：在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距，如下图所示. 任务: 从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”. 预设：通常，我们会想到利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度.然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度我们设满足一元线性回归模型的两个变量的对样本数据为，，…，，由，得．显然越小，表示点与点的“距离”越小，即样本数据点离直线的竖直距离越小，如图8.2-5所示．特别地，时，表示点在这条直线上． 因此，可以用这n个竖直距离之和来刻画各样本观测数据与直线的“整体接近程度”． 在上式中，是已知的成对样本数据，所以Q由a和b所决定，即它是a和b的函数．因为Q还可以表示为，即它是随机误差的平方和，这个和当然越小越好，所以我们取使Q达到最小的a和b的值，作为截距和斜率的估计值． 问题：如何求a，b的值，使 最小？、 预设：下面利用成对样本数据求使Q取最小值的a，b． 记，．因为 ， 注意到 所以． 上式右边各项均为非负数，且前n项与a无关．所以，要使Q取到最小值，后一项的值应为0，即此时． 上式是关于b的二次函数，因此要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为 ． 综上，当a，b的取值为 （2） 时，Q达到最小． 我们将称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计(least squares estimate)． 注意:（1）经验回归直线必过样本中心 ; （2） 与相关系数r符号相同. 牛刀小试： 练1：两个变量X和Y的线性回归方程为，样本相关系数为r，则（    ） A．与r同号 B．与r同号 C．与r异号 D．与r异号 解析：由线性相关关系可知，若，等价于两个变量正相关，等价于； 若，等价于两个变量负相关，等价于， 所以与同号，故B项正确，D项错误； 与的符号没有关系，故A，C项错误. 练2：用最小二乘法求回归方程是为了使（    ） A． B． C．最小 D．最小 解析：根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小， 即残差平方和最小. 故选：D 练3：观测两相关变量得如下数据：则两变量间的回归直线方程为（     ）. X Y A． B． C． D． 预设;由表中数据可得，，所以样本中心点为，代入选项中检验B正确. 故选：B. 练4：商家项目投资的利润产生是一个复杂的系统结果．它与项目落地国的商业环境，政府执政能力，法律生态等都有重大的关联．如表所示是某项目在中国和南亚某国投资额和相应利润的统计表． 项目落地国 中国 南亚某国 投资额x（亿元） 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14 利润y（亿元） 11 12 14 16 19 12 13 13 14 15 请选择平均利润较高的落地国，用最小二乘法求出回归直线方程为___________．参考数据和公式：，中国，南亚某国， ，． 预设：两国的平均利润分别为和， 故中国的平均利润较高. 根据题设数据，有，. 故答案为：. 问题：利用下表的数据，依据用最小二乘估计一元线性回归模型参数的公式，求出儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程。 预设： 问题：当时，．如果一位父亲的身高为176 cm，他儿子长大成人后的身高一定是177 cm吗?为什么? 预设：显然不一定，因为还有其他影响儿子身高的因素，父亲身高不能完全决定儿子身高．不过，我们可以作出推测，当父亲身高为176 cm时，儿子身高一般在177 cm左右． 实际上，如果把这所学校父亲身高为176 cm的所有儿子身高作为一个子总体，那么177 cm是这个子总体的均值的估计值． 这里的经验回归方程，其斜率可以解释为父亲身高每增加1 cm，其儿子身高平均增加0.839 cm. 定义：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 思考：对于前面表中的第6个观测，父亲身高为172 cm，其儿子身高的观测值为y6=176(cm)，求其残差. 预设：对于表8.2-1中的第6个观测，父亲身高为172 cm，其儿子身高的观测值为 ， 预测值为 ， 残差为 ． 要求：根据以上方法，根据表中每个观测值计算对应的残差，得出残差表. 要求：用父亲身高作为横坐标，残差作为纵坐标，描出以上表格中的每个点. 预设 ： 要求：观察残差图，有何发现？ 预设：观察表8.2-2可以看到，残差有正有负，残差的绝对值最大是4.413．观察残差的散点图可以发现，残差比较均匀地分布在横轴的两边．说明残差比较符合一元线性回归模型的假定，是均值为0、方差为的随机变量的观测值．可见，通过观察残差图可以直观判断模型是否满足一元线性回归模型的假设． 一般地，建立经验回归方程后，通常需要对模型刻画数据的效果进行分析．借助残差分析还可以对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策． 思考：观察下列四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定? 预设：通过观察发现，图(4)的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内. 所以在四幅残差图中，只有图(4)满足一元线性回归模型对随机误差的假设. 牛刀小试： 练5：为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（   ） A． B． C． D． 预设：时的预测值，时的真实为值， 样本点的残差为. 练6：已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则_____. 预设：根据题意得，解得. 故答案为： 练7：下列残差图满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（   ） A． B． C． D． 预设:对于选项A，观察选项A的残差图，可以看到残差均匀地分布在以横轴为中心的水平带状区域内.残差没有明显的上升、下降趋势，也没有呈现出某种曲线形状等规律性.这表明随机误差满足均值为0，相互独立且方差为常数的假定，所以选项A符合一元线性回归模型中对随机误差的假定.   对于选项B，选项B的残差图中，残差呈现出明显的上升趋势.这意味着残差不是相互独立的，且其均值也不是稳定的0，不满足一元线性回归模型中随机误差相互独立且均值为0的假定，所以选项B不符合要求.   对于选项C，选项C的残差图呈现出“U”型曲线的形状.这种形状说明残差具有明显的规律性，不是随机分布的，不满足随机误差相互独立且方差为常数的假定，所以选项C不符合要求.   对于选项D，选项D的残差图虽然看起来大致分布在一定区域内，但仔细观察可以发现，残差在横轴两侧的分布并不是均匀的，在某些区间内残差的波动较大，而在另一些区间内波动较小，这说明方差不是常数，不满足一元线性回归模型中对随机误差方差为常数的假定，所以选项D不符合要求. 故选：A. 3．能力提升 类型一： 最小二乘法的概念及辨析 例题1 （多选）由变量和变量组成的10个成对样本数据得到的经验回归方程为，设过点的直线方程为，记，则（    ） A．变量正相关 B．若，则 C．经验回归直线至少经过中的一个点 D． 预设：对于A:回归方程一次项系数大于零是正相关，A正确； 对于B:代入回归直线可得，B正确； 经验回归直线可以不经过任意一个点，C错误； 根据回归直线的求法最小二乘法值，回归直线的残差平方和最小，D正确. 故选：ABD. 总结：这类概念辨析题，只需要根据回归直线的相关性质逐一判断. 题型二：求回归直线方程及其应用 例题2 2023年9月23日—10月8日，亚运会在杭州举行，“碳中和”是本届亚运会一大亮点.为了打造碳中和亚运会，杭州亚运会上线了“亚运碳中和-减污降碳协同”数字化管理平台.该平台将数字化技术运用到碳排放采集､核算､减排､注销､评价管理全流程，探索建立了一套科学完整的碳排放管理体系.值此机会，某家公司重点推出新型品牌新能源汽车，以下是其中五个月的销售单： 2023月份 5 6 7 8 9 月份代码 1 2 3 4 5 新能源车销售（万辆） 1.6 2.1 2.7 3.7 4.6 (1)根据表中数据，求出关于的线性回归方程； (2)随着亚运会的火热，新能源汽车也会一直持续下去，试估计2023年12月份该公司出售多少辆新能源汽车？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 预设：（1） ，， 关于的线性回归方程为. （2）根据表中数据可知，12月份月份代码为8 （万辆）， 估计2023年12月份该公司出售6.74万辆新能源汽车. 归纳总结：求经验回归方程的基本步骤 (1)列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系； (2)计算：，，x，xiyi； （3）代入公式，求出＝x＋中参数，的值； （4）写出经验回归方程并对实际问题作出估计. 【注意】只有在散点图大致呈线性相关关系时，求出的经验回归方程才有实际意义，否则求出的经验回归方程毫无意义. 题型三：计算残差及残差图分析拟合效果 例题3 （1）高中女学生的身高预报体重的回归方程是（其中，的单位分别是cm，kg），则此方程在样本点处的残差是 . 预设：由样本数据得到，女大学生的身高预报体重的回归方程是， 当时，， 此方程在样本处残差为：. 故答案为：1.5. （2）根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图. 对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（    ） A． B． C． D． 预设：根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为、方差为的随机变量的观测值. 对于A选项，残差与有线性关系，故A错误； 对于B选项，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变小，故B错； 对于C选项，残差与有非线性关系，故C错； 对于D选项，残差比较均匀地分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内，故D正确. 故选：D. 总结：残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 残差分析：残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析． 利用残差图判断模型拟合效果的方法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适． 题型四：一元线性回归模型的实际应用 例题4 《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据： 单价（元/件） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量（万件） 90 84 83 80 75 68 (1)根据以上数据，求关于的线性回归方程； (2)若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润，最大利润是多少. 参考数据：，. 预设：（1）因为， ， 所以. 则， 因此回归直线方程为. （2）设工厂获得的利润为万元， 则， 所以该产品的单价定为元时，工厂获得利润最大，最大利润为万元. 4．课堂小结 作业1：完成教材： 第113页 练习第2、3题. 作业2：配套辅导资料对应的《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》. 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时） 导学案 1. 结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义； 2. 了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法； 3. 针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 1． 创设情境，引入新知 特殊的相关关系 思考：以上四图中散点均分布在某一条直线的附近，怎样找到一条最贴近这些点的直线？找的这条直线的方程是多少？ 2．探究新知 引言：在一元线性回归模型中，表达式Y=bx+a+e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计. 由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近. 探究：利用散点图找出一条直线，使各散点在整体上与此直线尽可能接近. 任务: 从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”. 问题：如何求a，b的值，使 最小？、 我们将称为Y关于x的 方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为 ．这种求经验回归方程的方法叫做 ，求得的，叫做b，a的 (least squares estimate)． 注意:（1）经验回归直线必过 ; （2） 与相关系数r符号 . 牛刀小试： 练1：两个变量X和Y的线性回归方程为，样本相关系数为r，则（    ） A．与r同号 B．与r同号 C．与r异号 D．与r异号 练2：用最小二乘法求回归方程是为了使（    ） A． B． C．最小 D．最小 练3：观测两相关变量得如下数据：则两变量间的回归直线方程为（     ）. X Y A． B． C． D． 练4：商家项目投资的利润产生是一个复杂的系统结果．它与项目落地国的商业环境，政府执政能力，法律生态等都有重大的关联．如表所示是某项目在中国和南亚某国投资额和相应利润的统计表． 项目落地国 中国 南亚某国 投资额x（亿元） 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14 利润y（亿元） 11 12 14 16 19 12 13 13 14 15 请选择平均利润较高的落地国，用最小二乘法求出回归直线方程为___________．参考数据和公式：，中国，南亚某国， ，． 问题：利用下表的数据，依据用最小二乘估计一元线性回归模型参数的公式，求出儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程。 问题：当时，．如果一位父亲的身高为176 cm，他儿子长大成人后的身高一定是177 cm吗?为什么? 定义：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为 ，通过经验回归方程得到的y称为 ， 观测值 预测值称为 ． 思考：对于前面表中的第6个观测，父亲身高为172 cm，其儿子身高的观测值为y6=176(cm)，求其残差. 要求：根据以上方法，根据表中每个观测值计算对应的残差，得出残差表. 要求：用父亲身高作为横坐标，残差作为纵坐标，描出以上表格中的每个点. 要求：观察残差图，有何发现？ 思考：观察下列四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定? 牛刀小试： 练5：为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本点的残差为（   ） A． B． C． D． 练6：已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则_____. 练7：下列残差图满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（   ） A． B． C． D． 3．能力提升 类型一： 最小二乘法的概念及辨析 例题1 （多选）由变量和变量组成的10个成对样本数据得到的经验回归方程为，设过点的直线方程为，记，则（    ） A．变量正相关 B．若，则 C．经验回归直线至少经过中的一个点 D． 总结：这类概念辨析题，只需要根据 的相关性质逐一判断. 题型二：求回归直线方程及其应用 例题2 2023年9月23日—10月8日，亚运会在杭州举行，“碳中和”是本届亚运会一大亮点.为了打造碳中和亚运会，杭州亚运会上线了“亚运碳中和-减污降碳协同”数字化管理平台.该平台将数字化技术运用到碳排放采集､核算､减排､注销､评价管理全流程，探索建立了一套科学完整的碳排放管理体系.值此机会，某家公司重点推出新型品牌新能源汽车，以下是其中五个月的销售单： 2023月份 5 6 7 8 9 月份代码 1 2 3 4 5 新能源车销售（万辆） 1.6 2.1 2.7 3.7 4.6 (1)根据表中数据，求出关于的线性回归方程； (2)随着亚运会的火热，新能源汽车也会一直持续下去，试估计2023年12月份该公司出售多少辆新能源汽车？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 归纳总结：求经验回归方程的基本步骤 (1)列出 ，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系； (2)计算：___________________________； （3）代入公式，求出＝x＋中参数 , 的值； （4）写出经验回归方程并对实际问题作出 . 【注意】只有在散点图大致呈线性相关关系时，求出的经验回归方程才有实际意义，否则求出的经验回归方程毫无意义. 题型三：计算残差及残差图分析拟合效果 例题3 （1）高中女学生的身高预报体重的回归方程是（其中，的单位分别是cm，kg），则此方程在样本点处的残差是 . （2）根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型，求得残差图. 对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（    ） A． B． C． D． 总结：残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值， 减去 称为残差． 残差分析：残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为 ． 利用残差图判断模型拟合效果的方法：残差点比较均匀地 说明选用的模型比较合适． 题型四：一元线性回归模型的实际应用 例题4 《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴.为助力乡村振兴，某电商平台为某地的农副特色产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如下数据： 单价（元/件） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量（万件） 90 84 83 80 75 68 (1)根据以上数据，求关于的线性回归方程； (2)若该产品成本是7元/件，假设该产品全部卖出，预测把单价定为多少时，工厂获得最大利润，最大利润是多少. 参考数据：，. 4．课堂小结 作业1：完成教材： 第113页 练习第2、3题. 作业2：配套辅导资料对应的《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》. 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $