8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时） 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第八章 成对数据的统计分析 8.2 一元线性回归模型 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时） 【学习目标】 1. 结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，理解模型参数的统计意义. 1. 了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法. 1. 能针对实际问题，用最小二乘法求经验回归方程，并进行预测. 【学习重点】 1. 最小二乘法的思想：使残差平方和最小. 2. 参数 和 的最小二乘估计公式： · ，. 3. 经验回归方程 的求法与预测. 【学习难点】 1. 理解“点到直线的竖直距离”与“残差平方和”的直观意义. 2. 理解最小二乘估计的合理性. 3. 区分残差与随机误差，理解残差图的作用. 学习任务一 最小二乘法的思想与参数估计 【合作探究】 1. 问题引入： · 研究两个变量 和 的成对样本数据，散点图显示它们大致分布在一条直线附近.我们想找到一条直线 ，使得所有散点“整体上”离这条直线最近. (1) 怎样定义“整体上最近”？ (2) 通常用 残差 表示第 个样本点到直线的竖直距离.我们希望所有残差的平方和最小，即 · 最小 (3) · 这种方法称为 最小二乘法. 1. 参数估计公式的推导（结果）： · 通过求偏导（或代数变形）可得： (1) (2) 其中 ，. (3) 经验回归直线必过点 . 1. 实例： · 某地调查了 6 名学生的数学周测复习时长 （小时）与成绩 （分），数据如下： · ：2, 3, 4, 5, 6, 7 · ：65, 70, 75, 80, 85, 90 · (1) 计算 ，. · (2) 计算 ，. · (3) ，. · 回归方程 . · (4) 预测：若复习 8 小时，成绩约为 分. 1. 思考： 为什么用“竖直距离”而不用“垂直距离”？ · 答：因为回归模型假设 无误差，误差体现在 上，因此用竖直距离. 【自主梳理】 1. 最小二乘法：使残差平方和 最小的参数估计方法. 1. 经验回归方程：，其中 为斜率， 为截距. 1. 公式： 1. 预测：给定 ，预测值 . 学习任务二 残差分析与模型诊断 【合作探究】 1. 残差：. (1) 残差反映了实际值与回归直线的偏差. (2) 所有残差之和近似为 0（理论上精确为 0）. 1. 残差图： · 以自变量 （或预测值 ）为横坐标，残差 为纵坐标作图. (1) 若残差点随机分布在横轴两侧，无趋势，说明模型合适. (2) 若残差点呈现曲线形或漏斗形，说明模型可能需要改进（如非线性）. 1. 判断：观察下列四种残差图（文字描述）： (1) 残差点从左到右逐渐分散 → 异方差，不满足假设. (2) 残差点呈曲线形状 → 可能存在非线性关系. (3) 残差点逐渐集中 → 可能存在异常点. (4) 残差点随机均匀分布在横轴两侧，无明显趋势 → 满足假设. · 只有(4)符合一元线性回归模型对随机误差的假定. 【自主梳理】 1. 残差：，残差平方和 . 1. 残差图的作用：直观判断模型假设是否合理（线性、方差齐性、独立性）. 1. 理想残差图特征：点随机分布在水平带状区域，无趋势，宽度稳定. 【自查自纠】（正误判断） 1. 最小二乘法的目标是使残差之和最小. （ ） 1. 经验回归直线必过点 . （ ） 1. 残差图中，若残差点呈现出曲线形状，说明线性模型可能不合适. （ ） 1. 参数 的计算公式中，分子是 与 的离差乘积和. （ ） 1. 残差的总和一定等于 0. （ ） 答案：1.×（是残差平方和最小） 2.√ 3.√ 4.√ 5.√（理论上精确为0，计算四舍五入可能略有偏差） 【典例分析】 例1：已知 5 个样本点 的 ，，，.求经验回归方程，并预测 时的 值. 解： ，， 经验回归方程 . 当 时，. 例2：某公司在 6 个月内的广告费 （万元）与销售额 （万元）数据如下： ：1, 2, 3, 4, 5, 6 ：2, 4, 5, 7, 8, 10 (1) 求经验回归方程. (2) 计算当 时的残差. 解： (1) ，， ， ， ，， . (2) 当 时，，实际 需用插值？实际数据中没有 的观测值，本题只是举例.可对 计算：，实际 ，残差 . 【习题巩固】 1. 在一元线性回归模型中，最小二乘估计得到的经验回归直线（ ） · A. 通过点 · B. 与所有样本点等距 · C. 使残差平方和最小 · D. 使残差之和最小 1. 已知 ，，，，则经验回归方程的斜率 （ ） · A. 0.8 B. 1.25 C. 0.5 D. 1.6 1. 残差图的主要作用是（ ） · A. 计算残差平方和 · B. 判断模型的拟合效果 · C. 计算相关系数 · D. 估计参数 1. 某工厂生产某产品的月产量 （千件）与单位成本 （元）的 5 组数据如下： · ：2, 3, 4, 5, 6 · ：73, 72, 71, 70, 69 · (1) 求 关于 的经验回归方程. · (2) 预测当月产量为 7 千件时的单位成本. 1. （选做）已知 10 对数据，计算得 ，，，. · (1) 求经验回归方程. · (2) 若 ，求 . 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. A、C 1. A（） 1. B 1. (1) ，，，，，，. · (2) ，（元）. 1. (1) ，，. · (2) ，. 学科网（北京）股份有限公司 $