8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时）（导学案） 数学人教A版选择性必修第三册

8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时） 导学案 1. 进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件. 2. 了解非线性回归模型. 3. 会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果. 1．复习回顾，引入新知 1. 经验回归方程： 我们将称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法. 2. 最小二乘估计：经验回归方程中的参数计算公式为： 思考1：以上最小二乘估计能计算经验回归直线的方程，如果遇到非线性的相关关系，又该如何处理？ 思考2：以上最小二乘估计能计算得到一元线性回归模型参数，如何精确的判定该模型的拟合效果是否好？ 能否像相关系数判断相关关系强弱程度一样，能够定量分析出拟合效果的好坏？ 教师：这就是本节课将要学习的 非线性模型与决定系数 2．探究新知 例题：经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高，在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据（表8.2-3），试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程． 要求：以胸径为横坐标、树高为纵坐标，画出散点图 要求：用d表示胸径，表示树高，借助计算器，利用最小二乘法，计算出经验回归方程 经验回归方程：，相应的经验回归直线如下图所示 要求：根据经验回归方程，借助计算器，由胸径的数据可以计算出树高的预测值（精确到0.1）以及相应的残差，列出表格. 预设： 要求：以胸径为横坐标，残差为纵坐标，作出残差图.并观察残差图，得出怎样的结论 预设： 观察残差表和残差图，可以看到，残差的绝对值最大是0.8，所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内．可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系，我们可以根据经验回归方程由胸径预测树高． 牛刀小试： 练1：某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据： 单价𝑥(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量𝑦(件) 90 84 83 80 75 68 (1)求经验回归方程 ̂，其中， (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润=销售收入−成本) 预设：(1)据题意，得： ，所以经验回归方程为. (2)工厂获得的利润， 由二次函数知识可知当时，(元).故该产品的单价应定为8.25元. 问题：人们常将男子短跑100 m的高水平运动员称为“百米飞人”．表8.2-5给出了1968年之前男子短跑100 m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据，试依据这些成对数据，建立男子短跑100 m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程． 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 要求：以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标，世界纪录为纵坐标作散点图，并观察散点图的特点. 预设： 在图中，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程. 要求：根据经验回归方程公式，借助计算器，求出经验回归方程. 预设： ① 要求：将以上回归方程对应的图象， 画入以上散点图中. 预设：将经验回归直线叠加到散点图，得到下图. 观察：从图8.2-13中可以看到，经验回归方程①较好地刻画了散点的变化趋势，请再仔细观察图形，你能看出其中存在的问题吗？ 预设：由图形可知，第一点远离经验回归直线，并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方，中间时间段的散点都在经验回归直线的下方. 这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围，而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律，即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征. 思考：如何修改模型，以使其更好地反映散点的分布特征吗？ 预设：仔细观察图8.2-12，可以发现散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近．回顾已有的函数知识，可以发现函数的图象具有类似的形状特征．注意到100 m短跑的第一个世界纪录产生于1896年，因此可以认为散点是集中在曲线的周围，其中，为未知的参数，且． 为了利用一元线性回归模型估计参数和，我们引进一个中间变量x，令．通过，将年份变量数据进行变换，得到新的成对数据： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 x 0.00 2.83 3.26 3.56 3.71 4.11 4.17 4.29 Y/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 要求：通过换元，得到新的线性回归模型：，利用以上数据表，求出参数和.. 预设： 要求：将代入式，得到由创纪录年份预报世界纪录的经验回归方程 预设： ② 教师：借助计算机，在同一坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程②的图象（蓝色）以及经验回归方程①的图象（红色），如下图所示，观察新的图象得出结论. 结论：表明非线性经验回归方程②对于原始数据的拟合效果远远好于经验回归方程①． 牛刀小试： 练2：经观测，某种昆虫的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如下图的散点图及一些统计量表. 275 731.1 21.7 150 2368.36 30 表中， (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中数据.试求y关于x回归方程. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 预设：（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为y与x之间的回归方程模型； （2）令，则，； ，∴； ∴y关于x的回归方程为. 要求：通过残差来比较这两个经验回归方程对数据刻画的好坏.计算两个方程对应残差表 预设： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 t 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 0.591 -0.284 -0.301 -0.218 -0.196 0.111 0.092 0.205 -0.001 0.007 -0.012 0.015 -0.018 0.052 -0.021 -0.022 要求：计算残差平方和，并且比较大小得出结论 预设：，． 结论：可知小于．因此在残差平方和最小的标准下，非线性回归模型 的拟合效果要优于一元线性回归模型的拟合效果． 也可以用决定系数来比较两个模型的拟合效果，的计算公式为 在表达式中，与经验回归方程无关，残差平方和与经验回归方程有关．因此越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好；越小，表示残差平方和越大，即模型的拟合效果越差． 要求：根据决定系数的定义，求得以上两个回归方程的决定系数.比较大小得出结论. 预设：由表8.2-7容易算出经验回归方程①和②的分别约为0.7325和0.9983，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①的好很多． 总结：在使用经验回归方程进行预测时,需注意以下问题 1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体； 2.我们所建立的回归方程一般都有时间性； 3.样本采集的范围会影响回归方程的适用范围； 4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值. 事实上, 它是预报变量的可能取值的平均值. 牛刀小试： 练3：对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（    ） A．平均数 B．相关系数 C．决定系数 D．方差 预设：平均数与方差是用来反馈数据集中趋势与波动程度大小的统计量； 变量y和x之间的相关系数的绝对值越大，则变量y和x之间线性相关关系越强； 用决定系数来刻画回归效果，越大说明拟合效果越好. 故选：C 练4：两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，其中拟合效果最好的模型是（    ） A．模型1的决定系数 B．模型2的决定系数 C．模型3的决定系数 D．模型4的决定系数 预设：决定系数越大（接近1），模型的拟合效果越好；决定系数越小，模型的拟合效果越差．模型4的决定系数最大、最接近1，其拟合效果最好. 故选：D. 练5：已知一系列样本点满足，，由最小二乘法得到与的回归方程，现用决定系数来判断拟合效果（越接近1，拟合效果越好），若，则______________．（参考公式：决定系数） 预设：因为．故答案为：. 3．能力提升 类型一： 利用决定系数R2刻画回归效果 例题1 已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏. (若R2>0.9，则认为回归模型拟合效果很好) 预设：(14＋16＋18＋20＋22)＝18，(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4， ＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620， 所以，＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求回归直线方程是＝－1.15x＋28.1. 列出残差表： yi－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4 所以，，＝53.2，R2＝1－≈0.994>0.9， 所以回归模型的拟合效果很好. 总结：“R2、残差图”在回归分析中的作用 (1)R2是用来刻画回归模型拟合效果的，由R2＝1－可知R2越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果就越好． (2)残差图也是用来刻画回归模型拟合效果的，判断依据是残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高． 题型二：非线性回归分析 例题2红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图l所示的散点图，现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；； 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)求出关于的回归方程．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 预设：（1）模型①更合适． 模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄， 所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适． （2）令与温度x可以用线性回归方程来拟合，则． 于是， ， 因此关于的线性回归方程为，即， 所以产卵数y关于温度x的回归方程为 归纳总结：解决非线性经验回归问题的方法及步骤 (1)确定变量：确定解释变量为x，响应变量为y； (2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数、反比例函数等)作比较，选取拟合效果好的函数模型； (3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题； (4)分析拟合效果：通过计算决定系数来判断拟合效果； (5)写出非线性经验回归方程． 4．课堂小结 作业1：完成教材： 第121页 习题8.2第4题 作业2：配套辅导资料对应的《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时） 导学案 1. 结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义； 2. 了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法； 3. 针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 1．复习回顾，引入新知 1. 经验回归方程： 我们将称为Y关于x的 方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做 . 2. 最小二乘估计：经验回归方程中的参数计算公式为： _________________________________________ 思考1：以上最小二乘估计能计算经验回归直线的方程，如果遇到非线性的相关关系，又该如何处理？ 思考2：以上最小二乘估计能计算得到一元线性回归模型参数，如何精确的判定该模型的拟合效果是否好？ 能否像相关系数判断相关关系强弱程度一样，能够定量分析出拟合效果的好坏？ 2．探究新知 例题：经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高，在研究树高与胸径之间的关系时，某林场收集了某种树的一些数据（表8.2-3），试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程． 要求：以胸径为横坐标、树高为纵坐标，画出散点图 要求：用d表示胸径，表示树高，借助计算器，利用最小二乘法，计算出经验回归方程 要求：根据经验回归方程，借助计算器，由胸径的数据可以计算出树高的预测值（精确到0.1）以及相应的残差，列出表格. 要求：以胸径为横坐标，残差为纵坐标，作出残差图.并观察残差图，得出怎样的结论 牛刀小试： 练1：某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据： 单价𝑥(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量𝑦(件) 90 84 83 80 75 68 (1)求经验回归方程 ̂，其中， (2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润=销售收入−成本) 问题：人们常将男子短跑100 m的高水平运动员称为“百米飞人”．表8.2-5给出了1968年之前男子短跑100 m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据，试依据这些成对数据，建立男子短跑100 m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程． 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 年份 1896 1912 1921 1930 1936 1956 1960 1968 记录/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 要求：以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标，世界纪录为纵坐标作散点图，并观察散点图的特点. 要求：根据经验回归方程公式，借助计算器，求出经验回归方程. 要求：将以上回归方程对应的图象， 画入以上散点图中. 观察：从图8.2-13中可以看到，经验回归方程①较好地刻画了散点的变化趋势，请再仔细观察图形，你能看出其中存在的问题吗？ 思考：如何修改模型，以使其更好地反映散点的分布特征吗？ 为了利用一元线性回归模型估计参数和，我们引进一个中间变量x，令．通过，将年份变量数据进行变换，得到新的成对数据： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 x 0.00 2.83 3.26 3.56 3.71 4.11 4.17 4.29 Y/s 11.80 10.60 10.40 10.30 10.20 10.10 10.00 9.95 要求：通过换元，得到新的线性回归模型：，利用以上数据表，求出参数和.. 要求：将代入式，得到由创纪录年份预报世界纪录的经验回归方程 教师：借助计算机，在同一坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程②的图象（蓝色）以及经验回归方程①的图象（红色），如下图所示，观察新的图象得出结论. 牛刀小试： 练2：经观测，某种昆虫的产卵数y与温度x有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如下图的散点图及一些统计量表. 275 731.1 21.7 150 2368.36 30 表中， (1)根据散点图判断，与哪一个适宜作为y与x之间的回归方程模型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中数据.试求y关于x回归方程. 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 要求：通过残差来比较这两个经验回归方程对数据刻画的好坏.计算两个方程对应残差表 要求：计算残差平方和，并且比较大小得出结论 也可以用决定系数来比较两个模型的拟合效果，的计算公式为 _____________________________ 在表达式中，与经验回归方程无关，残差平方和与经验回归方程有关．因此越 ，表示残差平方和越 ，即模型的拟合效果越 ；越 ，表示残差平方和越 ，即模型的拟合效果越差． 要求：根据决定系数的定义，求得以上两个回归方程的决定系数.比较大小得出结论. 总结：在使用经验回归方程进行预测时,需注意以下问题 1.回归方程只适用于我们所研究的 的总体； 2.我们所建立的回归方程一般都有 性； 3.样本采集的范围会影响回归方程的适用范围； 4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值. 事实上, 它是预报变量的可能取值的 . 牛刀小试： 练3：对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据，下列统计量的数值能够刻画其经验回归方程的拟合效果的是（    ） A．平均数 B．相关系数 C．决定系数 D．方差 练4：两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，其中拟合效果最好的模型是（    ） A．模型1的决定系数 B．模型2的决定系数 C．模型3的决定系数 D．模型4的决定系数 练5：已知一系列样本点满足，，由最小二乘法得到与的回归方程，现用决定系数来判断拟合效果（越接近1，拟合效果越好），若，则______________．（参考公式：决定系数） 3．能力提升 类型一： 利用决定系数R2刻画回归效果 例题1 已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏. (若R2>0.9，则认为回归模型拟合效果很好) 总结：“R2、残差图”在回归分析中的作用 (1)R2是用来刻画回归模型拟合效果的，由R2＝1－可知R2越 ，意味着残差平方和越 ，也就是说模型的拟合效果就越 ． (2)残差图也是用来刻画回归模型拟合效果的，判断依据是 ，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高． 题型二：非线性回归分析 例题2红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图l所示的散点图，现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；； 25 2.9 646 168 422688 50.4 70308 (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？ (2)求出关于的回归方程．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，， 归纳总结：解决非线性经验回归问题的方法及步骤 (1)确定变量：确定解释变量为x，响应变量为y； (2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数、反比例函数等)作比较，选取拟合效果好的函数模型； (3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题； (4)分析拟合效果：通过计算决定系数来判断拟合效果； (5)写出非线性经验回归方程． 4．课堂小结 作业1：完成教材： 第121页 习题8.2第4题 作业2：配套辅导资料对应的《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $