8.1.2 样本相关系数 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第八章 成对数据的统计分析 8.1 成对数据的统计相关性 8.1.2 样本相关系数 【学习目标】 1. 了解样本相关系数公式的推导过程，掌握样本相关系数的计算公式. 1. 理解样本相关系数的意义，掌握其正负与相关方向、绝对值与相关程度的关系. 1. 能根据样本相关系数判断两个变量线性相关的强弱，并能结合散点图进行综合分析. 【学习重点】 1. 样本相关系数 的定义、计算公式及取值范围 . 2. 表示正相关， 表示负相关； 越接近 1，线性相关程度越强. 3. 样本相关系数的计算与解释. 【学习难点】 1. 理解“中心化”思想及 与向量夹角的关系. 2. 区分样本相关系数与总体相关系数，理解样本相关系数的随机性. 学习任务一 从定性到定量——样本相关系数的引入 【合作探究】 1. 问题引入： · 通过散点图可以直观判断两个变量是否相关、是正相关还是负相关，但无法精确描述相关程度的大小.例如，两组数据散点图都呈线性趋势，但一组点更集中，另一组更分散.如何量化这种“相关程度”？ 1. 中心化（零均值化）： · 对于成对样本数据 ，分别计算 ，.将每个样本点平移，得到 . (1) 若变量正相关，平移后大部分点落在第一、三象限（横纵坐标同号）； (2) 若变量负相关，平移后大部分点落在第二、四象限（横纵坐标异号）. 1. 构造量化指标： · 定义 . (1) 表示正相关趋势， 表示负相关趋势. (2) 但 的大小受数据尺度影响，无法直接比较不同组数据的相关程度. 1. 标准化： · 引入样本相关系数 ： · 该式消除了尺度影响，且可以证明 . 【自主梳理】 1. 样本相关系数定义： 1. 取值范围：. 1. 性质： (1) ：正相关；：负相关. (2) 越接近 1，线性相关程度越强；越接近 0，线性相关程度越弱. (3) 时，所有点共线（函数关系）. (4) 表示没有线性相关关系（但可能存在非线性相关）. 学习任务二 样本相关系数的性质与判断 【合作探究】 1. 根据散点图估计 ： (1) 如果点集中在左下到右上的直线附近 → 接近 1，强正相关. (2) 如果点集中在左上到右下的直线附近 → 接近 -1，强负相关. (3) 如果点较分散但有线性趋势 → 约 0.5 左右. (4) 如果点杂乱无章 → 接近 0. 1. 计算实例： · 某城市居民年收入 （亿元）与 A 商品销售额 （亿元）的 10 年数据如下（示例）： · ：12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 · ：10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20 · 计算得 ，， · ，，， · ，说明强正线性相关. 1. 样本相关系数的随机性： · 样本相关系数是通过抽样得到的，会随样本不同而变化.样本容量越大，用 估计总体相关系数的可靠性越高. · 例如，若样本量 ，则无论实际关系如何，，据此推断完全线性相关是不合理的. 【自主梳理】 相关系数强弱参考标准（实际应用时可结合散点图）： 1. ：高度线性相关 2. ：中度线性相关 3. ：低度线性相关 4. ：基本不相关 注意：此标准仅供参考，需结合实际问题背景. 学习任务三 样本相关系数的应用 【合作探究】 1. 例1（脂肪含量与年龄）： 编号/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/％ 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 · 根据教材中脂肪含量与年龄的样本数据，计算 ，推断脂肪含量与年龄呈强正线性相关. 1. 例2（居民收入与商品销售额）： 第n年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 居民年收入/亿元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 A商品销售额/万元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 · 由计算得 ，说明居民年收入与 A 商品销售额高度正相关，变化趋势相同. 1. 例3（身高与体重、臂展）： · 某校 25 名男生的身高与体重、身高与臂展的样本相关系数分别为 和 ，均呈强正相关，其中臂展与身高的相关程度更强. 1. 例4（广告支出与销售额）： 超市 A B C D E F G 广告支出/万元 1 2 4 6 10 14 20 销售额/万元 19 32 44 40 52 53 54 · 随机抽取 7 家超市的广告支出 （万元）与销售额 （万元）数据，散点图显示线性关系，计算 ，表明广告支出与销售额高度正相关，且当广告支出超过 10 万元后，销售额增加幅度变缓. 【自主梳理】 应用样本相关系数的步骤： 1. 收集成对样本数据. 1. 画出散点图，初步判断相关性. 1. 计算 ，，，，. 1. 代入公式求 . 1. 根据 的符号和绝对值，结合散点图，得出变量间线性相关关系的结论. 【自查自纠】（正误判断） 1. 样本相关系数 的取值范围是 . （ ） 1. 若 ，则两个变量一定存在线性相关关系且为正相关. （ ） 1. 越接近 1，成对数据的线性相关程度越强. （ ） 1. 表示两个变量之间没有任何关系. （ ） 1. 样本相关系数 的计算与数据的单位无关. （ ） 1. 样本容量越大，用样本相关系数估计总体相关系数的效果通常越好. （ ） 答案：1.× 2.√ 3.√ 4.× 5.√ 6.√ 【典例分析】 例1：已知某组成对数据的 ，，，求样本相关系数 . 解： ，说明数据完全正线性相关. 例2：已知成对数据 满足 ，，，求 . 解： ，说明数据完全负线性相关. 【习题巩固】 1. 对于样本相关系数 ，下列说法正确的是（ ） · A. 越大，线性相关程度越强 · B. 的取值范围是 · C. 越接近 1，线性相关程度越强 · D. 表示两个变量不相关 1. 若两个变量的样本相关系数 ，则下列描述正确的是（ ） · A. 两个变量正相关，相关程度很强 · B. 两个变量负相关，相关程度很强 · C. 两个变量正相关，相关程度很弱 · D. 两个变量负相关，相关程度很弱 1. 已知成对数据的 ，，，则 的值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 某公司为了解广告支出 （万元）与销售额 （万元）的关系，随机抽取 6 个月的数据，计算得 ，，，则样本相关系数 ______（保留三位小数）. 1. （选做）随机抽取 7 家超市的广告支出 （万元）与销售额 （万元）数据如下： · ：2, 4, 5, 6, 8, 10, 12 · ：5, 8, 10, 11, 14, 16, 18 · (1) 画出散点图（用文字描述点的分布趋势）； · (2) 计算样本相关系数 ； · (3) 判断广告支出与销售额的相关类型和程度. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. C 1. B 1. A（） 1. (1) 点大致从左下角到右上角分布，呈上升趋势； · (2) 计算：，， · ， · ， · ， · ， · (3) 广告支出与销售额高度正相关. 学科网（北京）股份有限公司 $