8.1.2 样本相关系数-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案word（人教A版2019）

8.1.2　样本相关系数 (教师独具内容) 课程标准：1.结合实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系.2.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性． 教学重点：1.样本相关系数的概念及其统计意义.2.利用相关系数比较多组成对数据的相关性． 教学难点：推导样本相关系数与标准化数据向量夹角关系的过程． 核心素养：通过学习样本相关系数，提升数学抽象素养和数据分析素养． 知识点一　样本相关系数的概念 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别为和，我们称r＝为变量x和变量y的样本相关系数． 知识点二　样本相关系数的性质 (1)样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负性可以反映成对样本数据的变化特征： 当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关． (2)样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度： 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． [注意]　当r＝0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系． 知识点三　样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系 设“标准化”处理后的成对数据(x′1，y′1)，(x′2，y′2)，…，(x′n，y′n)的第一分量构成n维向量x′＝(x′1，x′2，…，x′n)，第二分量构成n维向量y′＝(y′1，y′2，…，y′n)，|x′|＝|y′|＝，则有r＝x′·y′＝|x′||y′|cosθ＝cosθ(其中θ为向量x′和向量y′的夹角)． 1．(样本相关系数的性质)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　) A．－1 B．0 C. D．1 答案：D 2．(样本相关系数的性质)甲、乙、丙、丁四位同学各自对x，y两变量的线性相关性做试验，并分别求得样本相关系数r，如下表： 甲 乙 丙 丁 r －0.82 0.78 0.69 0.87 则哪位同学的试验结果体现两变量有更强的线性相关性？(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案：D 3．(样本相关系数的计算)若已知 (yi－)2是 (xi－)2的4倍， (xi－)(yi－)是 (xi－)2的1.5倍，则样本相关系数r的值为________． 答案：0.75 题型一　样本相关系数的性质　 　(1)在一次试验中，测得(x，y)的五组数据分别为(1，3)，(2，4)，(4，5)，(5，13)，(10，12)，去掉一组数据(5，13)后，下列说法正确的是(　　) A．样本数据由正相关变成负相关 B．样本的相关系数不变 C．样本的相关性变弱 D．样本的相关系数变大 [解析]　由题意，去掉离群点(5，13)后，仍然为正相关，样本的相关性变强，相关系数变大，故A，B，C错误，D正确． [答案]　D (2)(2024·山西长治高二下期中)根据变量x，y的观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，15)，绘制成散点图1，根据变量u，v的观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，15)，绘制成散点图2.若用线性回归进行分析，设r1表示变量x，y的样本相关系数，r2表示变量u，v的样本相关系数，则(　　) A．－1<r1<r2<0 B．－1<r2<r1<0 C．0<r1<r2<1 D．0<r2<r1<1 [解析]　由图可得y随x增大而减小，v随u增大而减小，所以y与x呈负相关关系，v与u呈负相关关系，故－1<r1<0，－1<r2<0，又由图可知图1相关性更强，故r1更接近－1，所以－1<r1<r2<0. [答案]　A 感悟提升 当r>0时，称成对样本数据正相关．这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大． 当r<0时，称成对样本数据负相关．这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小． [跟踪训练1]　(1)给出下列两组数据，用r1，r2分别表示X与Y，M与N的样本相关系数，则下列说法正确的是(　　) X 2 4 6 7 9 Y 3 4 7 9 11 M 2 4 6 7 9 N 10 9 8 5 2 A.r1>r2>0 B．r1<r2<0 C．r2<0<r1 D．r1<0<r2 答案：C 解析：根据两组数据可知，变量X与Y呈现出正相关，变量M与N呈现出负相关，故r2<0<r1. (2)(多选)2024年1月2日，人社部官网发布全国各地区最低工资标准情况，从月最低工资标准来看，上海、深圳、北京位列前三．某学生为了研究居民收入与幸福指数的相关关系，查询到如下数据，后来发现其中一个数据(3000，88.75)记录有误，去掉该数据，则(　　) A．样本相关系数r变大 B．幸福指数与居民收入呈现负相关 C．样本相关系数r＝1 D．幸福指数与居民收入的线性相关程度变强 答案：AD 解析：由散点图知，去掉(3000，88.75)后，幸福指数与居民收入的线性相关程度变强，且为正相关，r变大，故A，D正确，B错误；又该四组数据所对应的点不在一条直线上，故r≠1，故C错误． 题型二　样本相关系数的计算　 　许多先进国家对驾驶员的培训，大多采用室内模拟教学和训练，而后再进行实地训练并考试，这种方法可以大大节约训练的费用．问题是这种方法有效吗？下表是12名学员的模拟驾驶成绩x(单位：分)与实际考试成绩y(单位：分)的记录： x 98 55 50 87 77 89 79 98 94 83 74 73 y 95 60 45 85 75 87 75 97 92 80 71 72 试问：x与y是否线性相关？如果线性相关，求出y与x间的样本相关系数，并推断它们的相关程度． [解]　画出散点图，如图所示： 观察散点图可知样本点都集中在一条直线附近， 所以变量x与y线性相关． 由表中数据计算可得 ＝×(98＋55＋…＋73)＝79.75， ＝×(95＋60＋…＋72)≈77.83. 由样本相关系数的计算公式可得 r＝ ＝ ＝ ≈ ≈≈0.99. 由样本相关系数r≈0.99，可以推断学员的模拟驾驶成绩与实际考试成绩这两个变量正线性相关，且相关程度很强． 感悟提升 在直接利用样本相关系数公式r＝计算样本相关系数比较困难时，可以利用其变形形式，即r＝ ＝，分别计算出，，x，y，xiyi，然后代入公式计算即可． [跟踪训练2]　某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表所示： 年收入x/万元 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 年饮食支出y/万元 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3 试推断该地家庭的年收入和年饮食支出是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度． 解：画出散点图如图所示： 由散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此可以推断该地家庭的年收入和年饮食支出线性相关． 由表中数据计算可得＝6，＝1.83，x＝406，y＝35.13，xiyi＝117.7. 所以样本相关系数 r＝ ＝ ＝ ≈0.91. 由样本相关系数r≈0.91，可以推断该地家庭的年收入和年饮食支出这两个变量正线性相关，且相关程度很强． 题型三　样本相关系数的应用　 　一个生物研究性学习小组，为了研究平均气温与一天内某豆类胚芽生长之间的关系，他们分别记录了4月6日至4月11日的平均气温x(单位：℃)与该豆类胚芽一天生长的长度y(单位：mm)，得到如下数据： 日期 4月6日 4月7日 4月8日 4月9日 4月10日 4月11日 平均气温x/℃ 10 11 13 12 8 6 一天生长的长度y/mm 22 25 29 26 16 12 画出散点图，推断成对数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断平均气温x与该豆类胚芽一天生长的长度y的相关程度和变化趋势的异同． [解]　画出成对样本数据的散点图，如图所示： 从散点图看，平均气温x与该豆类胚芽一天生长的长度y的样本数据呈现出线性相关关系．由样本数据计算得样本相关系数 r＝≈0.996.由此可以推断，平均气温x与该豆类胚芽一天生长的长度y正线性相关，即平均气温x与该豆类胚芽一天生长的长度y有相同的变化趋势，且相关程度很强． 感悟提升 判断两个变量x和y是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图．如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就具有线性相关关系．然后通过计算样本相关系数来推断这两个变量的相关程度及变化趋势的异同． [跟踪训练3]　某知名中学高三年级甲班班主任近期对班上每位同学的成绩作相关分析时，得到某同学的某些成绩数据如下： 第一次考试 第二次考试 第三次考试 第四次考试 数学总分x/分 118 119 121 122 总分年级排名y/名 133 127 121 119 画出散点图，由样本数据推断该同学的数学总分与该同学的总分年级排名是否线性相关，并通过样本相关系数推断该同学的数学总分与该同学的总分年级排名的相关程度和变化趋势的异同． 解：画出成对数据的散点图，如图所示： 从散点图看，该同学的数学总分与该同学的总分年级排名的样本数据呈现出线性相关关系． 由样本数据计算得＝120，＝125， (xi－)·(yi－)＝－34， (xi－)2＝10， (yi－)2＝120， 则样本相关系数r＝≈－0.98. 由此可以推断，该同学的数学总分与该同学的总分年级排名负线性相关，即该同学的数学总分与该同学的总分年级排名的变化趋势相反，但相关程度很强． 1．关于相关关系，下列说法不正确的是(　　) A．相关关系是一种非确定关系 B．当两个变量相关且样本相关系数r＝1时，表明这两个变量呈函数关系 C．当两个变量相关且样本相关系数r>0时，表明这两个变量正相关 D．样本相关系数r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关程度越弱 答案：D 解析：对于A，相关关系不同于函数关系，它是一种非确定关系，A正确；对于B，样本相关系数r＝1时，两个变量呈确定的函数关系，B正确；对于C，当两个变量相关且样本相关系数r>0时，表明两个变量正相关，C正确；对于D，样本相关系数r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关程度越强，D不正确．故选D. 2．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)，变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，r1表示变量Y与X之间的样本相关系数，r2表示变量U与V之间的样本相关系数，则(　　) 参考公式：样本相关系数r＝＝. A．r2<r1<0 B．0<r2<r1 C．r2<0<r1 D．r1＝r2 答案：C 解析：由题中的数据可知，变量X与Y正相关，则r1>0；变量U与V负相关，则r2<0.故选C. 3．(多选)在某地区随机抽取了8对母女的身高数据，如下表： 母亲身高x/cm 154 157 158 159 160 161 162 163 女儿身高y/cm 155 156 159 162 161 164 165 166 下列说法正确的是(　　) A．8个成对样本数据呈正相关 B．成对样本数据中变量x和变量y的样本相关系数r约为0.963 C．用每个变量的观测数据减去其均值后的成对样本数据(x1－，y1－)，(x2－，y2－)，…，(x8－，y8－)与原始成对样本数据的相关性不完全相同 D．用样本相关系数r可以估计总体两个变量的相关系数 答案：ABD 解析：由成对样本数据可得，＝(154＋157＋…＋163)÷8＝159.25，＝(155＋156＋…＋166)÷8＝161，x－82＝59.5，y－82＝116，xiyi－8＝80，所以r＝＝≈0.963，B正确；由r≈0.963>0，得8个成对样本数据呈正相关关系，A正确；每个变量的观测数据减去其均值后的成对样本数据所对应平面直角坐标系中的散点图与原始的成对样本数据所对应的散点图形状完全一致，故相关性完全相同，C错误；根据统计学思想，知D正确．故选ABD. 4．对四对变量y和x进行线性相关检验，已知n是观测值组数，r是样本相关系数，且已知： ①n＝7，r＝0.9533；②n＝15，r＝0.3012； ③n＝17，r＝0.4991；④n＝13，r＝0.9950. 则变量y和x线性相关程度最高的两组是________． 答案：①④ 解析：样本相关系数r的绝对值越接近于1，变量x，y的线性相关程度越高．故①④中变量y和x的线性相关程度最高． 5．最近《交通安全法》实施后，某市交通管理部门以周为单位，记录的每周查处的酒驾人数与该周内出现的交通事故数量如下： 酒驾人数x 80 147 121 100 96 103 87 交通事故数量y 19 31 30 23 25 24 20 根据表中的样本数据，推断酒驾人数与交通事故数量这两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度． 解：画出散点图，如图所示： 从散点图可以看出样本点从左向右呈带状分布，且在一条直线附近，由此推断酒驾人数与交通事故数量这两个变量线性相关． 由样本数据计算，得样本相关系数 r＝≈0.94. 由此可以推断酒驾人数与交通事故数量这两个变量正线性相关，且相关程度很强． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 样本相关系数的性质 对样本相关系数的理解；相关关系、正相关、负相关的判断 样本相关系数的性质 样本相关系数的正负、大小判断 样本相关系数的应用 线性相关强弱的判断 题号 7 8 9 10 11 12 13 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 对点 样本相关系数的应用 正相关、负相关的判断；样本相关系数的计算 样本相关系数的计算；线性相关的判断；样本相关系数的性质 样本相关系数的应用 样本相关系数的应用 样本相关系数的应用 样本相关系数的应用；超几何分布的分布列与均值 一、选择题 1．下列有关样本相关系数r的说法中，正确的是(　　) A．r越大，表示线性相关程度越弱 B．r越小，表示线性相关程度越强 C．|r|≤1，且|r|越接近0，表示线性相关程度越弱 D．|r|≥1，且|r|越大，表示线性相关程度越弱 答案：C 解析：样本相关系数r的取值范围为[－1，1]，当|r|越接近1时，表示成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，表示成对样本数据的线性相关程度越弱，故A，B，D错误，C正确．故选C. 2．调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示．其中相关系数r＝0.8245，下列说法正确的是(　　) A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245 答案：C 解析：因为相关系数r＝0.8245>0.75，所以花瓣长度和花萼长度的相关性较强，并且呈正相关，所以A，B错误，C正确；因为相关系数与样本的数据有关，所以当样本发生变化时，相关系数也可能会发生变化，所以D错误．故选C. 3．对两个变量x，y进行线性相关分析，得样本相关系数r1＝0.7859，对两个变量u，v进行线性相关分析，得样本相关系数r2＝－0.9568，则下列判断正确的是(　　) A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关程度比变量u与v的线性相关程度强 B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关程度比变量u与v的线性相关程度强 C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关程度比变量x与y的线性相关程度强 D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关程度比变量x与y的线性相关程度强 答案：C 解析：由样本相关系数r1＝0.7859>0，知变量x与y正相关．由样本相关系数r2＝－0.9568<0，知变量u与v负相关．又|r1|<|r2|，∴变量u与v的线性相关程度比变量x与y的线性相关程度强．故选C. 4．某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，下列关于样本相关系数的比较，正确的是(　　) A．r4<r2<0<r1<r3 B．r2<r4<0<r1<r3 C．r2<r4<0<r3<r1 D．r4<r2<0<r3<r1 答案：C 解析：根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条直线附近，说明相关性越强，|r|越接近于1.由题中数据可知①③为正相关，②④为负相关．故r1>0，r3>0，r2<0，r4<0.又①与②中散点图更接近于一条直线，故r1>r3，r2<r4.因此，r2<r4<0<r3<r1.故选C. 5．(多选)如图是某市2023年4月至2024年3月每月最低气温(单位：℃)与最高气温(单位：℃)的折线统计图，已知每月最低气温与最高气温的样本相关系数r＝0.83，则下列结论正确的是(　　) A．每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为正线性相关 B．月温差(月最高气温－月最低气温)的最大值出现在10月 C．9～12月的月温差相对于5～8月，波动性更大 D．每月最高气温与最低气温的平均值在前6个月逐月增加 答案：ABC 解析：每月最低气温与最高气温的样本相关系数r＝0.83，可知每月最低气温与最高气温有较强的线性相关性，且二者为正线性相关，A正确；由所给的折线图可以看出月温差(月最高气温－月最低气温)的最大值出现在10月，B正确；9～12月的月温差相对于5～8月，波动性更大，C正确；前6个月中每月的最高气温与最低气温的平均值依次为20.5，23，26.5，29，30，27，在前5个月逐月增加，第6个月开始减少，D错误．故选ABC. 二、填空题 6．用样本相关系数公式求得甲、乙、丙3组不同成对数据的样本相关系数分别为0.81，－0.98，0.63，则________组数据的线性相关程度最强． 答案：乙 解析：因为样本相关系数r的绝对值越接近1，表示成对数据的线性相关程度越强，而1>|－0.98|>|0.81|>|0.63|，所以乙组数据的线性相关程度最强． 7．已知两个变量x与y线性相关，相关系数r<0，则在以(，)为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第________象限． 答案：二、四 解析：由r＝<0，则 (xi－)·(yi－)<0，所以大多数点xi－与yi－异号，又(，)为坐标原点，故大多数的点都落在第二、四象限． 8．某单位为了了解用电量y(单位：千瓦时)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下表格： 气温x/℃ 18 13 10 －1 用电量y/千瓦时 24 34 38 64 由表中数据可知，气温与用电量这两个变量________(填“正”或“负”)相关，样本相关系数r约为________(精确到0.001)． 答案：负　－0.997 解析：由表中数据可知，随着气温的降低，用电量逐渐增加，故气温与用电量这两个变量负相关．由表中数据可得样本相关系数r＝＝≈－0.997. 三、解答题 9．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如下表： 记忆力x 6 8 10 12 判断力y 2 3 5 6 根据上表提供的数据，推断高三学生的记忆力和判断力这两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度． 解：画出散点图，如图所示： 从散点图可以看出样本点都集中在一条直线附近，由此推断高三学生的记忆力和判断力这两个变量线性相关．由表中数据计算可得＝9，＝4，x＝344，y＝74，xiyi＝158. 所以样本相关系数 r＝＝≈0.99. 由样本相关系数r≈0.99，可以推断高三学生的记忆力和判断力这两个变量正线性相关，且相关程度很强． 10．某大学生利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至11月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，得到销售单价x(单位：元)和销售量y(单位：件)之间的一组数据如下表所示： 月份 7 8 9 10 11 销售单价x/元 9 9.5 10 10.5 11 销售量y/件 11 10 8 6 5 画出散点图，推断销售单价与销售量之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的异同． 解：画出成对样本数据的散点图，如图所示， 从散点图可以看出销售单价与销售量之间呈现出线性相关关系，且是负线性相关． 由样本数据计算得＝10，＝8，xiyi＝392，x＝502.5，y＝346， 则样本相关系数 r＝≈－0.99. 由此可以推断销售单价与销售量变化趋势相反，但相关程度很强． 11．PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5浓度的数据如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量x/万辆 100 102 108 114 116 PM2.5的浓度y/(微克/立方米) 78 80 84 88 90 画出散点图，推断成对数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断车流量与PM2.5的浓度的相关程度和变化趋势的异同． 解：画出成对样本数据的散点图，如图所示： 从散点图看，车流量与PM2.5的浓度的样本数据呈现出线性相关关系． 由样本数据计算得样本相关系数 r＝≈0.998. 由此可以推断，车流量与PM2.5的浓度正线性相关，即车流量与PM2.5的浓度有相同的变化趋势，且相关程度很强． 12．近几年，在缺“芯”困局之下，国产替代的呼声愈发高涨，在国家的政策扶持下，国产芯片厂商呈爆发式增长．为估计某地芯片企业的营业收入，随机选取了10家芯片企业，统计了每家企业的研发投入(单位：亿)和营业收入(单位：亿)，得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 研发投入xi 2 2 4 6 8 10 14 16 18 20 营业收入yi 14 16 30 38 50 60 70 90 102 130 并计算得xi＝100，yi＝600，x＝1400，y＝49200，xiyi＝8264. (1)求该地芯片企业的研发投入与营业收入的样本相关系数r，并判断这两个变量的相关性强弱(若0.30≤|r|<0.75，则线性相关程度一般，若|r|≥0.75，则线性相关程度较高，r精确到0.01)； (2)现统计了该地所有芯片企业的研发投入，并得到所有芯片企业的研发投入总和为268亿，已知芯片企业的研发投入与营业收入近似成正比．利用以上数据给出该地芯片企业的总营业收入的估计值． 附：相关系数r＝，≈5.745. 解：(1)因为xi＝100，yi＝600， 所以＝10，＝60， 又xiyi＝8264，x＝1400，y＝49200， 所以 (xi－)(yi－)＝xiyi－10 ＝8264－10×10×60＝2264， (xi－)2＝x－102＝1400－10×10×10＝400， (yi－)2＝y－102＝49200－10×602＝13200， 所以r＝ ＝＝≈≈0.99>0.75， 故两个变量线性相关程度较高． (2)设该地芯片企业的总营业收入的估计值为m， 则＝， 解得m＝1608， 所以该地芯片企业的总营业收入的估计值为1608亿元． 13．(2024·内蒙古赤峰月考)直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2024年前5个月的带货金额的统计表． 月份 1月 2月 3月 4月 5月 月份编号x 1 2 3 4 5 金额y/万元 7 12 13 19 24 (1)根据统计表， ①求该公司带货金额的平均值； ②求该公司带货金额y与月份编号x的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有线性相关关系(0.75≤|r|≤1，则认为y与x的线性相关性较强；|r|<0.75，则认为y与x的线性相关性较弱)； (2)该公司现有一个直播间销售甲、乙两种产品．为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两种产品中分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到甲产品的件数为X，试求X的分布列与数学期望． 附：相关系数公式r＝，参考数据：≈41.7， (xi－)(yi－)＝41，＝，＝. 解：(1)①由统计表数据可得， ＝＝15. ②由于 (xi－)(yi－)＝41， ＝， ＝， 所以相关系数r＝≈≈0.98>0.75， 所以两个变量具有很强的线性相关性． (2)由题意知，X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 18 学科网（北京）股份有限公司 $$