8.1.1 变量的相关关系 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第八章 成对数据的统计分析 8.1 成对数据的统计相关性 8.1.1 变量的相关关系 【学习目标】 1. 结合实例，体会两个变量间的相关关系，理解相关关系的概念. 1. 能区分函数关系与相关关系，掌握相关关系的判断方法. 1. 能根据散点图对线性相关关系进行判断（正相关、负相关、线性相关、非线性相关）. 【学习重点】 1. 相关关系的概念及其与函数关系的区别. 2. 用散点图判断两个变量之间的相关关系（正相关、负相关、线性相关、非线性相关）. 【学习难点】 1. 通过散点图的分布特征准确判断相关关系的类型. 2. 理解相关关系的不确定性. 学习任务一 相关关系的概念与辨析 【合作探究】 1. 情境引入： · 某小卖部夏季一周的最高气温 （℃）与冷饮日销量 （杯）的数据如下（示例）： 气温/℃ 25 28 30 32 35 36 38 销量/杯 30 35 40 45 50 55 60 · 观察数据：气温越高，销量是否一定越高？是否存在确定的函数关系？ · 答：气温越高，销量整体呈上升趋势，但并非严格对应（如同样气温下销量可能不同），这种关系称为相关关系. 1. 相关关系的定义： · 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. · 相关关系是一种不确定性关系；与之相对的是函数关系（确定性关系）. 1. 两者区别： (1) 函数关系：确定性的数量关系，对自变量每个取值，因变量有唯一确定的值. (2) 相关关系：非确定性的数量关系，对自变量每个取值，因变量可能有多个不同取值. 1. 举例： (1) 正相关例子：身高与体重（一般身高越高体重越大）；受教育程度与收入水平. (2) 负相关例子：汽车行驶速度与耗油量（一定范围内速度越快耗油越多？实际需具体分析）. · 请再举出生活中两个变量具有相关关系的例子. 【自主梳理】 1. 相关关系：两个变量之间具有某种关联，但不能用一个函数精确表示的关系. 1. 与函数关系的区别：函数关系是确定的，相关关系是不确定的. 1. 研究相关关系的常用工具：散点图. 学习任务二 散点图与相关关系的直观判断 【合作探究】 1. 散点图的制作： · 以年龄为横坐标，脂肪含量为纵坐标，将样本数据（年龄，脂肪含量）描点，得到散点图. · 例如，给定成对数据（年龄，脂肪含量）：(23, 9.5), (27, 17.8), (39, 21.2), (41, 25.9), (45, 27.5), (49, 26.3), (50, 28.2), (53, 29.6), (54, 30.2), (56, 31.4) 等. · · 观察散点图（描述）：点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明年龄增加，脂肪含量有增高趋势. 1. 根据散点图判断相关关系类型： (1) 正相关：散点大致从左下角到右上角分布，一个变量增大时另一个变量也增大. (2) 负相关：散点大致从左上角到右下角分布，一个变量增大时另一个变量减小. (3) 线性相关：散点大致分布在一条直线附近. (4) 非线性相关：散点分布在某条曲线（如抛物线、指数曲线等）附近，而不是直线附近. 【自主梳理】 1. 散点图：用直角坐标系中的点表示成对样本数据的图形. 1. 相关关系分类： (1) 正相关与负相关（根据变化趋势）. (2) 线性相关与非线性相关（根据是否集中在某条直线附近）. 1. 判断方法：观察散点图的整体分布趋势，避免受个别点影响. 学习任务三 相关关系的实际应用 【合作探究】 1. 例1（辨析）：下列两个变量之间的关系中，哪些是相关关系？ · (1) 正方形的边长与面积； · (2) 某户家庭的用电量与电费； · (3) 人的身高与视力； · (4) 某工厂生产产品的产量与单位成本. · 解： · (1) 函数关系（）； · (2) 函数关系（电费=单价×用电量）； · (3) 无明显关系（可能不相关）； · (4) 相关关系（产量增加通常单位成本下降，但不确定）. 1. 例2（根据散点图判断相关关系）： · 给定四个散点图（文字描述）： (1) 点从左下至右上呈直线状 → 正相关、线性相关. (2) 点从左上至右下呈直线状 → 负相关、线性相关. (3) 点杂乱分布 → 不相关. (4) 点呈抛物线形状 → 非线性相关. · 请指出每个图对应的相关关系类型. 1. 例3（画散点图）： · 某地区鸟的种类数与海拔高度的数据如下（部分）： · 海拔（m）：500, 800, 1000, 1200, 1500, 2000 · 鸟种类数：12, 15, 20, 22, 28, 35 · 请描述散点图特征，并判断相关关系. · 解：画出散点图如下： · 散点随海拔升高而增加，大致呈上升趋势，为正相关；但可能不是严格的线性，需看分布是否集中在直线附近. 【自主梳理】 分析相关关系的一般步骤： 1. 收集成对样本数据； 1. 画散点图； 1. 观察散点分布趋势，判断正相关/负相关、线性/非线性； 1. 结合实际背景解释. 【自查自纠】（正误判断） 1. 函数关系是一种确定性的关系，相关关系是一种不确定性的关系. （ ） 1. 若两个变量正相关，则一个变量增大时另一个变量一定增大. （ ） 1. 散点图中的点如果大致分布在一条直线附近，则两个变量具有线性相关关系. （ ） 1. 非线性相关是指散点没有任何规律. （ ） 1. 散点图可以直观地判断两个变量是否相关. （ ） 答案：1.√ 2.×（“整体趋势”而非“一定”） 3.√ 4.×（有规律但非直线） 5.√ 【典例分析】 例1：判断下列各组变量是函数关系还是相关关系？ (1) 圆的半径与面积； (2) 某同学的数学成绩与物理成绩； (3) 匀速直线运动中路程与时间. 解： (1) 函数关系（）. (2) 相关关系（成绩间有一定关联，但不完全确定）. (3) 函数关系（）. 例2：根据下面散点图的描述，判断相关关系类型. 描述1：点从左下到右上，散布在一条直线周围 → 正线性相关. 描述2：点从左上到右下，散布在一条直线周围 → 负线性相关. 描述3：点的分布无方向，无明显规律 → 不相关. 解：略. 【习题巩固】 1. 下列两个变量之间的关系是相关关系的是（ ） · A. 正方形的边长与面积 · B. 匀速直线运动中路程与时间 · C. 人的身高与体重 · D. 圆的周长与半径 1. 对于散点图，下列说法正确的是（ ） · A. 散点图中的点越集中，两个变量的相关性越强 · B. 散点图中的点越分散，两个变量的相关性越强 · C. 散点图中的点大致在一条直线附近，说明两个变量具有线性相关关系 · D. 散点图中的点大致在一条曲线附近，说明两个变量不具有相关关系 1. 某研究小组调查了某地 10 户家庭的年收入 （万元）与年支出 （万元），得到散点图（描述：点从左下到右上，但散布较宽）.据此可以判断，年收入与年支出之间（ ） · A. 存在正相关关系 · B. 存在负相关关系 · C. 不存在相关关系 · D. 存在函数关系 1. 下列两个变量中，负相关的是（ ） · A. 施肥量与农作物产量 · B. 汽车行驶速度与刹车距离 · C. 商品价格与需求量（一般情况下） · D. 学习时间与考试成绩 1. （选做）某地区鸟的种类数与海拔高度的数据如下（部分）： · 海拔（m）：300, 600, 900, 1200, 1500 · 种类数：8, 11, 15, 18, 22 · (1) 画出散点图（用文字描述点的位置）； · (2) 判断鸟的种类数与海拔高度之间的相关关系类型. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. C（A、B、D均为函数关系） 1. C 1. A（点从左下到右上，为正相关） 1. C（一般情况下，价格升高需求量降低，为负相关） 1. (1) 点大致从左下角向右上角分布，位置逐渐升高； · (2) 正相关，且接近线性相关. 学科网（北京）股份有限公司 $