8.1.1 变量的相关关系-【金版教程】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册创新导学案word（人教A版2019）

8.1.1　变量的相关关系 (教师独具内容) 课程标准：了解变量的相关关系． 教学重点：1.两个变量相关关系的概念.2.利用散点图判断两个变量的相关关系． 教学难点：变量相关关系的判断． 核心素养：通过对两个变量相关关系的学习，提升数学抽象素养和数据分析素养． 知识点一　相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 知识点二　散点图 将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)描在平面直角坐标系中，以表示成对样本数据的变化特征，我们把这样的统计图叫做散点图．例如下图． 知识点三　正相关、负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量负相关． 知识点四　线性相关与非线性相关 (1)一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关． (2)一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关． [拓展]　相关关系与函数关系的区别与联系 类别 区别 联系 函数关系 函数关系中两个变量间是一种确定性关系．例如，圆的半径由1增大为2，其面积必然由π增大到4π 相关关系在现实生活中大量存在，从某种意义上讲，函数关系是一种理想的关系模型，而相关关系是一种更为一般的情况 相关关系 相关关系是一种非确定性关系．例如，吸烟与患肺癌之间的关系，两者之间虽然没有确定的函数关系，但吸烟多的人患肺癌的风险会大幅增加，即两者之间是一种非确定性的关系 1．(相关关系的判断)下列关系中为相关关系的是(　　) ①学生的学习态度和学习成绩之间的关系； ②老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④学生的体重与学生的学习成绩之间的关系． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 答案：A 2．(正相关、负相关的判断)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图图2.由这两个散点图可以判断，变量x与y________相关，u与v________相关． 答案：负　正 题型一　相关关系的判断　 　在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？ ①正方形的边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系；③人的年龄与受教育程度之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． [解]　①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；②作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系；③人的年龄与受教育程度之间不具有相关关系；④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系． 综上，②④中的两个变量具有相关关系． 感悟提升 (1)函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系． (2)判断两个变量是不是相关关系的关键是看这两个变量之间是否具有不确定性． [跟踪训练1]　下列两个变量间的关系是相关关系的是(　　) A．正方体的棱长与体积 B．角的度数与它的正弦值 C．单位面积产量为常数时，土地面积与粮食总产量 D．日照时间与水稻的单位产量 答案：D 解析：对于A，正方体的棱长与体积是函数关系；对于B，角的度数与它的正弦值之间是函数关系；对于C，当单位面积产量为常数时，土地面积与粮食总产量之间是函数关系；对于D，日照时间与水稻的单位产量相关，但日照时间并不是决定水稻单位产量的唯一因素，因为水稻的单位产量还受土壤质量、施肥量等因素的影响，因此，日照时间与水稻的单位产量之间是相关关系．故选D. 题型二　由散点图判断相关关系　 　5名学生的数学和物理成绩(单位：分)如下： 学生 成绩 A B C D E 数学成绩 80 75 70 65 60 物理成绩 70 66 68 64 62 画出散点图，并判断数学成绩和物理成绩之间是否具有线性相关关系． [解]　以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示： 由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故数学成绩和物理成绩之间具有线性相关关系． 感悟提升 利用散点图判断不同变量的相关性时，其关键是正确画出散点图，然后观察分布规律：是在一条直线附近波动还是在一条曲线附近波动，还是没有任何规律，从而得出线性相关、非线性相关或不相关的结论． [跟踪训练2]　如图所示的两个变量不具有相关关系的是________(填序号)． 答案：①④ 解析：①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线附近，说明两个变量具有相关关系；③中的点大都分布在一条直线附近，说明两个变量具有相关关系；④中点的分布没有任何规律可言，说明两个变量不具有相关关系． 题型三　正相关、负相关的判断　 　对两个变量x，y的几组观测数据统计如下表，则这两个相关变量的关系是(　　) x 10 9 8 7 6 5 y 2 3 3.5 4 4.8 5 A．负相关 B．正相关 C．先正后负相关 D．先负后正相关 [解析]　从表中数据可知变量x的值在减小时，变量y的值反而在增大，它们具有相关关系，并且应是负相关． [答案]　A 感悟提升 两个相关变量是正相关还是负相关，主要根据变量的取值判断．若纵坐标代表的变量随着横坐标代表的变量的增大而增大，则两个相关变量呈正相关关系；若纵坐标代表的变量随着横坐标代表的变量的增大而减小，则两个相关变量呈负相关关系． [跟踪训练3]　(多选)某中学的兴趣小组在某座山测得了海拔高度、气压和沸点的若干个数据，并绘制成如图1、图2所示的散点图，则下列说法正确的是(　　) A．沸点与气压正相关 B．沸点与海拔高度正相关 C．沸点与海拔高度负相关 D．沸点与海拔高度、沸点与气压都线性相关 答案：ACD 解析：由图1知气压随海拔高度的增加而减小，由图2知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压正相关，沸点与海拔高度负相关．由图易得两个散点图中的点都落在一条直线附近，所以沸点与海拔高度、沸点与气压都线性相关．故选ACD. 1．下列关系中，属于函数关系的是(　　) A．球的半径与体积 B．红富士苹果的施肥量与产量 C．人的胖瘦与眼睛近视的度数 D．姐姐的英语成绩与弟弟的英语成绩 答案：A 解析：球的半径与体积是函数关系，所以A正确；红富士苹果的施肥量与产量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系，所以排除B；人的胖瘦与眼睛近视的度数之间既不是函数关系也不是相关关系，所以排除C；姐姐的英语成绩与弟弟的英语成绩既不是函数关系也不是相关关系，所以排除D.故选A. 2．(多选)下列两个变量之间的关系是相关关系的是(　　) A．人的体重与视力 B．圆心角的大小与所对的圆弧长 C．收入水平与购买能力 D．小麦的亩产量与土壤质量 答案：CD 解析：A中人的体重与视力之间没有相关关系；B中圆心角的大小与所对的圆弧长之间是确定的函数关系；C中收入水平与购买能力之间有相关关系；D中小麦的亩产量不仅仅由土壤质量所决定，还与其他很多因素有关，如日照时间、施肥量、灌溉次数等，故小麦的亩产量与土壤质量是相关关系．故选CD. 3．对于变量x，y有以下四个散点图，可以判断变量x与y存在相关关系的是(　　) 答案：C 解析：A，B中两个变量是函数关系；C中两个变量先正相关，后负相关；D中两个变量不存在相关关系．故选C. 4．某化妆品公司2019～2024年的年利润y(单位：百万元)与年广告支出x(单位：百万元)的统计资料如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年广告支出x 0.62 0.74 0.81 0.89 1.00 1.11 年利润y 12.2 14.6 16.2 18.4 20.4 22.3 根据统计资料，可知x与y之间呈________相关关系(填“正”或“负”)． 答案：正 解析：由表格可知，当x增加时，y也随之增加，所以x与y之间呈正相关关系． 5．从某地区12～30岁的居民中随机抽测了10个人的身高和体重，所得数据如下表所示： 身高/cm 143 156 159 172 165 171 177 161 164 160 体重/kg 41 49 61 79 68 69 74 69 68 54 根据上述数据，画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否具有相关关系． 解：作出的散点图如图所示： 由散点图，可知居民的身高和体重之间具有相关关系，且为正相关． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 相关关系的判断 相关关系、正相关、负相关的判断 由散点图判断正相关、负相关 正相关、负相关的判断 相关关系、正相关、负相关的判断 相关关系的概念 题号 7 8 9 10 11 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★★ 对点 相关关系的判断 相关关系、正相关、负相关的判断 绘制散点图；相关关系、正相关、负相关的判断 绘制散点图；相关关系的判断 绘制散点图；相关关系的判断 一、选择题 1．下列变量之间具有相关关系的是(　　) A．出租车费与行驶的里程 B．自由下落的物体的质量与落地时间 C．商品的销售额与营业时间 D．实心铁块的大小与质量 答案：C 解析：出租车费与行驶的里程是确定的函数关系，故A错误；自由下落的物体的质量与落地时间无关，它们之间不具有相关关系，故B错误；商品的销售额受营业时间、商品质量、服务态度等因素控制，所以商品的销售额与营业时间之间具有相关关系，故C正确；实心铁块的大小与质量是确定的函数关系，故D错误．故选C. 2．下列关于两个变量所具有的相关关系的描述中，正确的是(　　) A．圆的面积与半径具有相关性 B．纯净度与净化次数不具有相关性 C．作物的产量与人的耕耘是负相关 D．学习成绩与学习效率是正相关 答案：D 解析：对于A，圆的面积与半径是确定的关系，是函数关系，不是相关关系，故A错误；对于B，一般地，净化次数越多，纯净度就越高，所以纯净度与净化次数是正相关关系，故B错误；对于C，一般地，作物的产量与人的耕耘是一种正相关关系，故C错误；对于D，学习成绩与学习效率是一种正相关关系，故D正确． 3．下列各图中，两个变量之间是正相关的是(　　) 答案：B 解析：A中两个变量之间是函数关系，不是相关关系；B中样本点落在一条直线附近，且从左到右是上升的，所以B中两个变量之间是正相关；C中样本点落在一条直线附近，且从左到右是下降的，所以C中两个变量之间是负相关；D中样本点的分布没有任何规律，相关关系不明显．故选B. 4．某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下： 月份 1 2 3 4 5 6 人均销售额/千元 6 5 8 3 4 7 利润率(%) 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.3 根据表中数据，下列说法正确的是(　　) A．利润率与人均销售额成正比例函数关系 B．利润率与人均销售额成反比例函数关系 C．利润率与人均销售额成正线性相关关系 D．利润率与人均销售额成负线性相关关系 答案：C 解析：根据题意，画出利润率与人均销售额的散点图，如图所示，由散点图，知利润率与人均销售额成正线性相关关系．故选C. 5．(多选)对某高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如图所示的散点图．下列关于这位同学的数学成绩的分析中，正确的是(　　) A．该同学的数学成绩总的趋势是逐步提高 B．该同学在这连续九次测试中的最高分与最低分的差超过40分 C．该同学的数学成绩与测试次号之间没有相关关系 D．该同学的数学成绩与测试次号之间具有线性相关关系，且为正相关 答案：ABD 解析：散点图从左向右看呈上升趋势，所以该同学的数学成绩总的趋势是逐步提高，A正确；该同学在这连续九次测试中的最高分大于130分，最低分小于90分，极差超过40分，B正确；该同学的数学成绩与测试次号之间具有比较明显的线性相关关系，且为正相关，C不正确，D正确．故选ABD. 二、填空题 6．下列对相关关系的理解： ①变量与变量之间只有函数关系，不存在相关关系； ②两个变量之间存在相关关系的原因是受许多不确定因素的影响； ③需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系； ④相关关系是一种因果关系，具有确定性． 其中正确的是________(填序号)． 答案：②③ 解析：变量与变量之间的常见关系有函数关系和相关关系，故①不正确；相关关系是一种非确定性关系，故④不正确． 7．下列各图中，两个变量之间具有相关关系的是________(填序号)． 答案：②③ 解析：图①中，所有的点都在曲线上，所以图①中的两个变量之间具有函数关系；图②中，所有的点都分布在一条直线的附近，所以图②中的两个变量之间具有相关关系；图③中，所有的点都分布在一条曲线的附近，所以图③中的两个变量之间具有相关关系；图④中，所有的点杂乱无章，没有规律，所以图④中的两个变量之间没有相关关系． 8．下表是某设备的使用年限(单位：年)和所支出的维修费用(单位：万元)的统计数据： 使用年限/年 2 3 4 5 6 维修费用/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 根据表中的统计数据可以判断该设备的使用年限和维修费用这两个变量之间________(填“是”或“不是”)相关关系．如果是，是________相关(填“正”或“负”)． 答案：是　正 解析：观察表格中的数据可知，该设备的维修费用随着使用年限的增加而增加，因此该设备的使用年限和维修费用之间是相关关系，且是正相关． 三、解答题 9．以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据： 房屋面积x/m2 115 110 80 135 105 销售价格y/万元 248 216 194 294 220 (1)画出数据对应的散点图； (2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？如果具有相关关系，是正相关还是负相关？ 解：(1)数据对应的散点图如图所示． (2)通过以上数据对应的散点图可以判断，新房屋的销售价格和房屋面积之间具有相关关系，且是正相关． 10．下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据： 施化肥量 15 20 25 30 35 40 45 水稻产量 320 330 360 410 460 470 480 (1)将上述数据制成散点图； (2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量成什么关系吗？水稻产量会一直随着施化肥量的增加而增加吗？ 解：(1)散点图如图所示． (2)从图中可以发现当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量成线性相关关系，且是正相关．但水稻产量只是在一定范围内随着施化肥量的增加而增加，不会一直随着施化肥量的增加而增加． 11．下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表： 气温/℃ 25 18 12 10 4 0 卖出的热茶杯数 18 30 37 35 50 54 (1)根据表中的数据画出散点图； (2)你能从散点图中发现气温与卖出的热茶杯数成什么关系吗？ 解：(1)根据表中的数据画出某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的散点图，如图所示． (2)从散点图上可以看出气温与卖出的热茶杯数成线性相关关系，且是负相关．说明当气温越高时，所卖出的热茶杯数就越少． 12 学科网（北京）股份有限公司 $$