湖南岳阳市平江县颐华高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学模拟试卷

颐华学校2026年高二下学期期中考试数学模拟试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．已知等差数列的前项和为,若,且,则(      ) A.60 B.72 C.120 D.144 2．在等差数列中,,则(      ) A.4 B.5 C.6 D.10 3．已知为样本空间中的两个随机事件,其中,则(      ) A. B. C. D. 4．用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(      ) A.24 B.48 C.60 D.72 5．已知直线与直线,若,则(      ) A.1或 B.或5 C.1 D. 6．若二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大,则展开式的的系数为(      ) A.20 B. C. D.15 7．已知函数和的导函数､图象分别如图所示,则关于函数的判断正确的是(      ) A.有3个极大值点 B.有3个极小值点 C.有1个极大值点和2个极小值点 D.有2个极大值点和1个极小值点 8．已知点A在函数的图象上,点B在直线上,则A,B两点之间距离的最小值是(      ) A. B.4 C. D.8 二、多项选择题 9．若随机变量,则(      ) A. B. C. D. 10．给出下列说法,其中正确的有(      ) A.两个变量线性相关性越强,则相关系数r就越接近于1 B.离散型随机变量X服从两点分布,且,则 C.随机变量,若,则 D.用数字0,1,2,3,4组成的无重复数字的四位数中,偶数的个数为60 11．已知函数,则(      ) A.有两个零点 B.的极大值与极小值异号 C.的图象关于直线对称 D.的导函数的图象关于点对称 三、填空题 12．已知函数,若函数有3个零点,则实数a的取值范围是______________________． 13．已知等差数列的首项为,前n项和为,若,且,则的取值范围为______________. 14．有5个不同的人进行传球游戏,一开始球在甲的手中,球从某人传给另外一个人记为一次传球,每次传给不同的人是不同的传球过程,若经过n次传球之后球回到甲的手中（）,则有______________________种传球过程（用n表示） 四、解答题 15．记等差数列的前n项和为,,. （1）求数列的通项公式; （2）记,求数列的前n项和. 16．已知的展开式中仅有第6项的二项式系数最大（结果用数值作答）. (1)求的展开式中的系数； (2)令,证明能被7整除； (3)若,求实数. 17．已知函数. (1)当时,求证：； (2)若对于恒成立,求a的取值范围； (3)若存在,使得,求证：. 18．已知二次函数的图像经过坐标原点,其导函数为,数列的前n项和为,点均在函数的图像上. (1)求数列的通项公式； (2)设,是数列的前n项和,求使得对所有n都成立的最小正整数m. 19．已知函数. (1)若在处取得极值,求的极值； (2)若在上的最小值为,求a的取值范围. 参考答案 1．答案：B 解析：在等差数列中,,解得, 所以. 故选：B. 2．答案：B 解析：因为,, 所以,解得. 3．答案：D 解析：因为 所以 由全概率公式可得. 4．答案：D 解析：由题意,要组成没有重复数字的五位奇数,则个位数应该为1或3或5, 其他位置共有种排法,所以奇数的个数为, 故选D. 5．答案：D 解析：因为, 所以,解得或, 当时,,,此时两直线重合,不符题意; 当时,,,两直线平行, 所以. 6．答案：B 解析：由二项式系数的对称性可知,当只有第4项的二项式系数最大时,共有7项,即, 由可知,第项, 当时,解得,则的系数为. 7．答案：D 解析：由题中图像可知,､的图像有三个不同交点,其交点横坐标按从小到大的顺序,依次记为､,,其中, 由图像可得,当时,,即,则函数单调递增； 当时,,即,则函数单调递减； 当时,,即,则函数单调递增； 当时,,即,则函数单调递减； 所以有两个极大值点和；有一个极小值点0. 故选：D. 8．答案：A 解析：设,,过点A的切线恰好与直线平行, 则,即,所以,则, 即,此时A到直线的距离, 所以A,B两点之间距离的最小值为. 故选：A. 9．答案：AC 解析：A,,故A正确； B,,故B错误； C,,故C正确； D,,故D错误. 故选：AC. 10．答案：BCD 解析：两个变量线性相关性越强,则相关系数r的绝对值就越接近于1,故A错误; 随机变量X服从两点分布,则,又, 解得,故B正确; 随机变量,则,所以, 所以,故C正确; 若四位数为偶数,则其个位数字为0,2,4.当个位数字为0时,四位数有个; 当个位数字为2或4时,四位数共有个, 则偶数的个数为,故D正确. 11．答案：ACD 解析：, 令,得或,所以在和上单调递减； 令,得,或,在和上单调递增, 列表如下： x 0 0 0 极大值2 极小值 极大值2 因为,,所以在上有且只有一个零点, 又,,所以在上有且只有一个零点,又,故A正确； 由表格知,极大值和极小值同号,故B错误； 因为, 所以的图象关于直线对称,故C正确； 因为, , 所以的图象关于对称,故D正确. 故选：ACD. 12．答案： 解析：,,当时,,函数单调递增, 当时,,函数单调递减,所以当时,函数取得极大值, 函数有3个零点,转化为方程有3个实数根, 即与有3个交点,表示斜率的直线, 如图,当直线过原点时,两个函数有3个交点,此时, 当直线与相切时,设切点 ,解得：,, 如图,满足条件的a的取值范围是 故答案为：. 13．答案： 解析：设等差数列的公差为d, ,, 数列是以为首项,为公差的等差数列, ,解得：； ,,解得：, 即的取值范围为. 故答案为：. 14．答案： 解析：令经过n次传球之后球回到甲手中的传球过程为种,, 而每次传球有4种方法,则经过n次传球的传球过程有种, 因此经过n次传球之后球不在甲手中的传球过程有种, 由经过n次传球之后球回到甲手中,得第次传球之后球不在甲手中,持球者传给甲, 则,即,而, 于是数列是首项为,公比为的等比数列,,即, 所以不同传球过程种数为. 15．答案：（1） （2）见解析 解析：（1）设等差数列的公差为d, 因为,,可得,解得, 则,所以数列的通项公式为. （2）由（1）知:,可得, 则,且, 所以数列是以为首项,公比为的等比数列, 所以. 16．答案：(1) (2)见解析 (3) 解析：(1)方法1：展开式中仅有第6项的二项式系数最大,所以展开式共有11项,, 方法2：,解得,得. 的通项公式：, 令,得的系数. (2)证明： 所以能被7整除. (3) , ∴. 令得, . 17．答案：(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 解析：(1)由,得. 要证,只需证. 令,则. 当时,,则单调递减, 当时,,则单调递增, 所以,故, 因此. (2) 令,则 ①当时,由,得, 因此,满足题意. ②当时,由,得, 因此,则在上单调递增. 若,则, 则在上单调递增, 所以,满足题意； 若,则, 因此在存在唯一的零点,且, 当时,单调递减, 当时,单调递增, 所以,不合题意. 综上,a的取值范围为. (3)由(2)知,设, 则在上单调递减,在上单调递增, 注意到, 故在上存在唯一的零点. 注意到,且在上单调递增. 要证明,只需证, 因为,所以只需证, 即证. 因为,即, 所以,只需证, 只需证（*） 由(1)得, 因此, 设, 则,所以在上单调递增, 所以, 从而,即,因此（*）得证, 从而. 18．答案：(1) (2) 解析：(1)由题意设二次函数,则, 由于,所以,所以, 又因为点均在函数的图像上,所以, 当时,, 当时,,也适合. 所以,. (2)由(1)得 故 随着n的增大,单调递增,故 对所有都成立,只要即可,即只要. 故使得对所有都成立的最小正整数. 19．答案：(1)极大值为,极小值为 (2) 解析：(1),,. 因为在处取得极值,所以,则. 所以,, 令得或1,列表得 x 1 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以的极大值为,极小值为. (2). ①当时,,所以在上单调递增,的最小值为,满足题意； ②当时,令,则或,所以在上单调递减,在上单调递增, 此时,的最小值为,不满足题意； ③当时,在上单调递减,的最小值为,不满足题意. 综上可知,实数a的取值范围时. 学科网（北京）股份有限公司 $