湖南衡阳市第八中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 衡阳市八中高二期中数学卷以集合、复数、函数等核心知识为载体，通过AI软件排列、汽车利润计算等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力，解答题梯度分明，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、复数虚部、排列组合（AI软件相邻问题）|基础概念与简单应用结合| |多选题|3/18|平面向量性质、三角函数图像（对称性判断）|多角度辨析，考查推理意识| |填空题|3/15|曲线切线方程、四面体向量表示、双曲线焦点问题|空间想象与符号运算能力| |解答题|5/77|轨迹方程（椭圆定义）、函数极值证明、汽车利润模型（导数应用）、立体几何面面垂直与线面角、导数单调性与恒成立问题|梯度设计，综合考查数学建模、逻辑推理与运算能力，贴合高考命题趋势|

绝密★启用前 衡阳市八中高二下学期期中考试试题（2026.5） 数 学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（    ）. A． B． C． D． 2．设复数，是z的共轭复数，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 3．某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（   ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 4．已知实数满足方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．6 B．16 C．26 D．36 6．已知等差数列的前项和为，且，则使得的的最小值为（ ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，点分别在的左支和右支上，且满足，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”．则下列正确的是（   ） A．若是“数列”，则 B．若是“数列”且是等差数列，则单调递增 C．若是“数列”且单调递减，则是等比数列 D．若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知平面向量，，则下列说法正确的有（   ） A．向量，不可能垂直 B．向量，不可能共线 C．不可能为3 D．若，则在上的投影向量为 10．如图，直线与函数的图象依次交于A，B，C三点，若，，则（   ） A． B． C．是曲线的一条对称轴 D．曲线向右平移1个单位后关于原点对称 11．下列结论正确的是（   ） A． B．设函数，且，则 C．若，则 D．设函数的导函数为，且，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．曲线在点处的切线方程为_________. 13．如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.    14．已知双曲线：，，分别是双曲线的左、右焦点，为右支上一点，在线段上取点，满足，同理可在线段上也取点，满足，若的面积最大值为1，则______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）设动点与定点的距离和到直线的距离的比是． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程． 16．（15分）已知函数在处取得极值. (1)求，； (2)证明：时，. 17．（15分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量. (1)若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式； (2)若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？ 18．（17分）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点，点F在PC上，且. (1)证明：平面平面PAD； (2)求PC与平面AEF所成角的正弦值； (3)若棱PB上一点G满足，且平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为，求 19．（17分）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若，（其中），，都有，求的取值范围. 5月考试答案 数 学 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B A C B A D BD AC 题号 11 答案 BD 12． 13． 14． 15．（1）设动点，由题意可得 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程是 （2）设， 因为在动点的轨迹上，所以，， 两式相减得， 即 因为是线段的中点，所以， 所以，即直线的斜率， 所以直线的方程为，即 16． （1）， 故且， 解得， 故，， 令得，令得， 所以在处取得极值，满足要求； 17．1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为，出厂价为，年销售量为. 因此本年度的年利润 . （2）本年度的年利润为 ， 则， 令，解得或(舍去). 当时，，当时，， 所以时，有最大值. 所以当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元. 18．（1）∵平面ABCD，平面ABCD， ∴， ∵，，PA、平面PAD， ∴平面PAD，又∵平面PCD， ∴平面平面 （2） 以A为原点，AD，AP所在直线分别为y，z轴，作为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，， 设平面AEF的法向量为，则， 令，则，，故， 设PC与平面AEF所成角为，则， ∴PC与平面AEF所成角的正弦值为 （3）由（2）知，，平面AEF的一个法向量为， ∴，， ∴， 设平面AFG的法向量为，则， 令，则，，故， ∵平面AEF与平面AFG的夹角的余弦值为， ∴， 整理得，即， 解得或（舍）， ∴. 19．（1）， 当时，，则恒成立，故在上单调递减； 当时，令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）知，当时，在上单调递减， 则，不符； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 由恒成立，则， 整理得，令，则在上单调递增， 又，故当时，； 综上所述：； （3）由题意可得， 若，则当时，，不符，故，则； ，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 则有恒成立，即， 令，则， 由在上单调递增，则，故. 学科网（北京）股份有限公司 $