精品解析：广东广州真光中学2025-2026学年高二下学期3月阶段质量检测数学试题

广州市真光中学2025学年第二学期3月阶段性质量检测 高二数学 组题人：许业琳 审题人：钟三明 2026.3 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为等差数列，，，则（ ） A. 36 B. 24 C. 18 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先计算等差数列的公差，再进行求解即可． 【详解】公差, 则. 2. 如图，从甲地到乙地有1条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路；从甲地不经乙地或丙地直接到达丁地有n条路.若从甲地到丁地总共有20条不同的路线，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理得到方程，求出. 【详解】甲地经乙地到丁地的路线共有条， 甲地经丙地到丁地的路线共有条， 故从甲地到丁地路线条数为， 所以，解得. 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数列方程，化简求得. 【详解】依题意，， 所以， 所以. 故选：C 4. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由奇函数排除B选项，再由时，，可排除A选项，结合导数研究可得在上单调递增，在上单调递减，结合图像分析即可求解. 【详解】由题意，关于原点对称，又为奇函数，可排除B选项； 又时，可得，可排除A选项， 当时，, 当时，，所以当时，，当时，, 所以在上单调递增，在上单调递减，结合图像分析D不对，C选项正确. 5. 函数在上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】求得，根据题意，得出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数既有极大值又有极小值， 则满足，解得且． 6. 若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合图象，需使，求解即得. 【详解】由知圆心为， 因圆心到直线的距离， 作出其图象如下，由图知，要使圆上有且仅有2个点到直线的距离为， 需使，解得． 7. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数零点的定义，通过构造新函数，利用转化法把交点问题转化为直线与曲线的交点问题，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可. 【详解】显然该函数的定义域为全体正实数， 由，设， ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 则有， 问题函数有两个零点，转化为直线与曲线有两个不同的交点，如下图所示： 由数形结合思想可知：当时，直线与曲线有两个不同的交点， 即函数有两个零点， 所以实数a的取值范围为. 8. 已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可. 【详解】，即， ， 令，解得：， 当时，，，则在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减； ， 即， 关于对称， ， ，即， 两边平方得， 解得， 则实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线是椭圆 B. 当或时，曲线是双曲线． C. 当时，双曲线的渐近线方程为 D. 当曲线的离心率为时，的值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用椭圆，双曲线的标准方程的特点依次判断A,B；当时，双曲线：，双曲线的渐近线方程为；分两种情况讨论，即可求解. 【详解】当时，即且时，曲线为椭圆，故A错误； 当时，即或时曲线为双曲线，故B正确； 当时，双曲线：，双曲线的渐近线方程为，故C正确； 当曲线的离心率为时,,所以，或，解得或. 经检验或符合题意.故D错误 故选：BC 10. 已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. 数列为等差数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等比数列的定义可判断AB选项；求出数列的通项公式，可判断C选项；利用等比数列求和公式可判断D选项. 【详解】因为数列的前项和为，且满足，，， 对于A选项，由已知等式变形可得，且， 所以，所以，数列是首项为1，公比的等比数列， 故，A正确； 对于B选项，由已知等式变形得，且， 所以数列是首项为0，公差为0的等差数列，即，故数列不是等比数列，B错误； 对于C选项，由可得， 则，则数列为等差数列，C正确； 对于D选项，，故D正确． 故选：ACD. 11. 我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为，和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ） A. B. C. ，其中 D. 函数的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：构建，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断；对于B：对，取对数整理即可；对于C：假设成立，再两边取对数，结合选项B分析判断；对于D：结合不等式分析可知，当且仅当时，等号成立，结合的零点分析判断. 【详解】对于选项A：构建，则为的零点， 因为， 若，则，可知在内单调递减，且， 所以在内无零点； 若，则，可知在内单调递增， 且， 所以在内存在唯一零点，故A正确； 对于选项B：因为，，即， 两边取对数可得：， 得, 则，故B正确； 对于选项C：假设成立，则， 得，得，得， 则， 得，得， 则，得，得，故假设成立，故C正确； 对于选项D：构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得，当且仅当时，等号成立， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因为在内单调递减， 可知在内单调递减，且， 可知在内存在唯一零点，即， 所以的最小值为，不为，故D错误； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某银行向贫困户小李提供10万元以内的免息贷款，小李准备向银行贷款万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润（单位：万元）与贷款满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款______万元. 【答案】4 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可求出最值. 【详解】依题意，且， ，又， 所以当时，， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减. 所以当万元时，函数取得最大值. 故答案为：4 13. 在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 __种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 __． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 【答案】 ①. 24 ②. 112 【解析】 【分析】利用分步乘法原理结合题意分析求解即可． 【详解】第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法， 第二步，从第二行中选一个与第一个数不同列的数，共有3种选法， 第三步，从第三行中选一个与第一、二个数不同列的数，共有2种选法， 第四步，从第四行中选一个与第一、二，三个数不同列的数，只有1种选法， 由分乘法原理可知共有种不同的选法； 先按列分析，每列必选出一个数，所以所选4个数的十位数字分别为1，2，3，4， 再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5， 所以从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第四行选15，此时个位上的数字之和最大， 所以选中方格中的4个数之和的最大值为. 故答案为：24；112． 14. 已知抛物线的顶点为，经过点的直线与抛物线相交于、两点，直线与直线相交于点，则点到直线的距离的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，直线不与轴垂直，设点、，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，可知轴，再利用基本不等式可求得到直线的距离的最小值. 【详解】如下图所示： 设点、， 若直线轴，则该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，， 直线的斜率为，所以直线的方程为， 将代入得，即点，故轴， 所以直线的方程为， 故点到直线的距离为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故点到直线的距离的最小值是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，且满足（）. （1）证明：数列为等比数列； （2）若（），求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将递推公式配凑成，即可； （2）由（1）求得，由分组求和、错位相减法求和即可. 【小问1详解】 证明：由， 得，，且， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 【小问2详解】 由（1）知数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以， 故， 所以 ， 设① 所以② ①－②得：. 所以，又， 所以. 16. 如图1，等腰直角的斜边，D为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为60°，如图2，M为的中点. （1）证明：； （2）求平面和平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理，证明线线垂直即可； （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，进而写出点的坐标和向量，求出平面法向量，根据面面角的向量方法，求出结果. 【小问1详解】 因为，所以是二面角的平面角， 即. 因为，面，面， 所以面，所以， 因为D为的中点，所以，所以是等边三角形， 因为M为的中点，所以， 因为，面，面， 所以面，所以. 【小问2详解】 如图所示，作中点， 因为分别为中点，所以， 由（1）知面，所以面， 由（1）知， 则以点为坐标原点，以分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为等腰直角的斜边，所以， 由（1）知是等边三角形，所以， 所以， 所以， 设面的一个法向量为， 则，即， 令，解得，所以面的一个法向量为， 设面的一个法向量为， 则，即， 令，解得，所以面的一个法向量为， 设平面和平面所成角为， 则. 所以平面和平面所成角的余弦值为. 17. 已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）已知函数 ． ①若 ，求证： 当 时， ； ②若 ，函数 在区间上存在唯一零点，求 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析； （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）求导得，再对分类讨论即可； （2）①，从而得到在下单调递增，则，则得到的单调性，即可证明； ②当时,分析得在上单调递增，再取点计算得，最后利用零点存在性定理即可得到答案. 【小问1详解】 ， ①当，即时，恒成立，在上单调递增． ②当，即或时，令，解得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增． 即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 (i)， ， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 则在上单调递增，则，得证． （ii）当时，，同理有在上单调递增， 而， 故由零点存在定理可知，存在唯一的，使得． 当时，单调递减； 当时单调递增． ， 故由零点存在定理可知，在无零点，在上存在唯一零点．符合题意． 当时，由（i）可知不合题意，故舍去． 综上所述，的取值范围为． 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 函数，，为自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明函数存在唯一的极值点； （3）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程； （2）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解； （3）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ， 当时，令，则， 令，所以， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，，当时，， 画出大致图象如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则， 且， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减； 为的极大值点，故存在唯一的极值点； 【小问3详解】 由（2）知，此时， 所以， 令， 若存在，使得对任意成立，等价于存在， 使得，即， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以，故， 所以实数b的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市真光中学2025学年第二学期3月阶段性质量检测 高二数学 组题人：许业琳 审题人：钟三明 2026.3 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为等差数列，，，则（ ） A. 36 B. 24 C. 18 D. 12 2. 如图，从甲地到乙地有1条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路；从甲地不经乙地或丙地直接到达丁地有n条路.若从甲地到丁地总共有20条不同的路线，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 函数在的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 6. 若圆上有且仅有2个点到直线的距离为，则r的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线是椭圆 B. 当或时，曲线是双曲线． C. 当时，双曲线的渐近线方程为 D. 当曲线的离心率为时，的值为 10. 已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的有（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. 数列为等差数列 D. 11. 我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为，和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ） A. B. C. ，其中 D. 函数的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某银行向贫困户小李提供10万元以内的免息贷款，小李准备向银行贷款万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润（单位：万元）与贷款满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款______万元. 13. 在如图的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 __种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是 __． 11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 14. 已知抛物线的顶点为，经过点的直线与抛物线相交于、两点，直线与直线相交于点，则点到直线的距离的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项，且满足（）. （1）证明：数列为等比数列； （2）若（），求数列的前项和. 16. 如图1，等腰直角的斜边，D为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为60°，如图2，M为的中点. （1）证明：； （2）求平面和平面所成角的余弦值. 17. 已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）已知函数 ． ①若 ，求证： 当 时， ； ②若 ，函数 在区间上存在唯一零点，求 的取值范围． 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 19. 函数，，为自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明函数存在唯一的极值点； （3）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $