精品解析：上海市青浦高级中学2025-2026学年高一第二学期期中考试高一数学试卷

上海市青浦高级中学2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12小题，每小题3分） 1. 函数的最小正周期是________. 2. 某同学提出一个命题：是奇函数，该命题是________命题（填“真”或“假”）. 3. 已知点，，若，则点的坐标是______． 4. 已知，则________. 5. 已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则________. 6. 向量在向量方向上的数量投影为________. 7. 设向量满足，，且，则______． 8. 在中，，，，则________. 9. 已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为________. 10. 若复数和复数满足，，，则________. 11. 在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段上靠近点的三等分点，则________. 12. 如图，海面上有三座灯塔，，，其中在的正东方向，在的正北方向，且，到的距离相等.现探测到该海域内有一艘货船，满足，，，四点按逆时针排列，且，，则的大小为________.（精确到0.1°） 二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4小题，每小题3分） 13. 设平面向量，，若与不能作为平面向量的一组基底，则（ ） A. 2 B. C. D. 0 14. 已知为虚数单位，若复数为正实数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 15. 已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 16. 如图，在直角三角形中，，，.为边上的动点，圆与圆分别是三角形与三角形的外接圆，现有如下两个命题. ①当点在边中点时，圆与圆的公共部分面积最小. ②圆与圆的公共部分面积的最小值约为1.66. 则（ ） A. ①成立②成立 B. ①成立②不成立 C. ①不成立②成立 D. ①不成立②不成立. 三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题） 17. 已知复数 （1）如果复数是纯虚数，求的值 （2）如果复数在复平面上所对应的点在第四象限，求的取值范围 18. 如图，在中，，，，且，. （1）若，求的值： （2）若向量与向量平行，求的值； 19. 已知在中，、、所对边分别为、、，且，. （1）若，求的面积； （2）若且为锐角，求的周长. 20. 青浦高级中学在学校嘉年华主题活动中，计划将如图所示的扇形空地分隔成三部分分别作为团队游戏区、运动区及签到区.已知扇形的半径为60米，，动点在扇形的弧上（不包含端点）.点在半径上，且. （1）当米时，求团队游戏区的面积； （2）综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区的面积的最大值. 21. 对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． （1）若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数，，求证：“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件； （3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市青浦高级中学2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12小题，每小题3分） 1. 函数的最小正周期是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用余弦型函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得，即函数的最小正周期为. 2. 某同学提出一个命题：是奇函数，该命题是________命题（填“真”或“假”）. 【答案】假 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，结合函数的奇偶性的定义与判断方法，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为偶函数， 所以该命题为假命题. 3. 已知点，，若，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，表示出、，再根据向量相等得到方程组，解得即可. 【详解】设，则，， 因为，所以，即，解得， 所以. 故答案为： 4. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，代入计算，即可求解. 【详解】由，则 5. 已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则________. 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以点在单位圆上， 所以， 因此. 6. 向量在向量方向上的数量投影为________. 【答案】 【解析】 【详解】向量在向量方向上的数量投影为. 7. 设向量满足，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，根据向量的夹角公式求解. 【详解】由，可得，又，所以， 所以，又， . 故答案为：. 8. 在中，，，，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由余弦定理，得 . 9. 已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上是严格减函数， 所以，因此的最大值为. 10. 若复数和复数满足，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用复数模的运算性质，准确化简、运算，即可求解. 【详解】因为，，， 由复数模的运算性质，可得 ， 所以，所以， 又由， 所以. 11. 在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段上靠近点的三等分点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系, 利用向量的坐标使几何问题代数化,根据向量的坐标运算得到结果. 【详解】以为坐标原点，所在射线为轴，建立平面直角坐标系如图所示. 设，则，， ， ， 而，故. 12. 如图，海面上有三座灯塔，，，其中在的正东方向，在的正北方向，且，到的距离相等.现探测到该海域内有一艘货船，满足，，，四点按逆时针排列，且，，则的大小为________.（精确到0.1°） 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理，结合积化和差公式、和差化积公式、计算器进行求解即可. 【详解】由题意可知：，，设为锐角， 由三角形内角和定理，得， ， 由正弦定理，得， ， ，得 ， 由积化和差公式，得 由和差化积公式，得 ， 利用计算器，得. 二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4小题，每小题3分） 13. 设平面向量，，若与不能作为平面向量的一组基底，则（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】因为与不能作为平面向量的一组基底， 所以与是共线向量，因此有， 所以. 14. 已知为虚数单位，若复数为正实数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】D 【解析】 【详解】，因为复数为正实数， ，即实数的值为 ，故选D. 15. 已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答. 【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可， 当时，，，而，， 因此在上的最小值，在上的最小值，A可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，B可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，D可能； 对于C，若，则， 若，则区间的长度，并且且， 即且与矛盾，所以C不可能. 故选：C 【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值. 16. 如图，在直角三角形中，，，.为边上的动点，圆与圆分别是三角形与三角形的外接圆，现有如下两个命题. ①当点在边中点时，圆与圆的公共部分面积最小. ②圆与圆的公共部分面积的最小值约为1.66. 则（ ） A. ①成立②成立 B. ①成立②不成立 C. ①不成立②成立 D. ①不成立②不成立. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形和三角形的面积公式，结合正弦定理、锐角三角函数定义、圆的几何性质，利用计算器进行求解即可. 【详解】在直角三角形中，，，， 所以，设， 设圆与圆的半径分别为， 在圆中，由正弦定理，得， 扇形的面积为， 三角形的面积为， 同理可得：， 扇形的面积为， 三角形的面积为， 所以圆与圆的公共部分面积为： ， 因为为定值，所以当最小时，圆与圆的公共部分面积最小， 此时，因为该直角三角形不是等腰直角三角形， 所以不是中线，因此①不成立； 由面积公式，得， 所以， 运用计算器，可得，， 代入上式，得，所以②成立. 三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题） 17. 已知复数 （1）如果复数是纯虚数，求的值 （2）如果复数在复平面上所对应的点在第四象限，求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由复数为纯虚数，根据复数的定义，列出关系式，即可求解； （2）先求得复数在复平面内对应的点为，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由复数， 因为复数为纯虚数，则满足，解得. 【小问2详解】 解：由复数在复平面内对应的点为， 因为复数在复平面上所对应的点在第四象限， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 18. 如图，在中，，，，且，. （1）若，求的值： （2）若向量与向量平行，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理，求得,得到，再由，结合向量数量积的运算律，即可求解； （2）根据题意，求得，结合向量与向量平行，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：在中，，， 由余弦定理得, 可得， 当时，可得，所以， 则， 所以. 【小问2详解】 解：因为，且，， 可得，所以， 又因为向量与向量平行， 所以，可得，即. 19. 已知在中，、、所对边分别为、、，且，. （1）若，求的面积； （2）若且为锐角，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理，列出方程，求得，得到，结合面积公式，即可求解； （2）由和，结合，求得，结合正弦定理，求得的长，即可得到三角形的周长. 【小问1详解】 解：在中，因为，且， 由余弦定理得，即， 整理得，因为，所以，则， 所以的面积为. 【小问2详解】 解：因为，由正弦定理得， 又因为，可得，所以，则， 因为为锐角，可得，， 因为，可得， 所以，则 所以得周长为. 20. 青浦高级中学在学校嘉年华主题活动中，计划将如图所示的扇形空地分隔成三部分分别作为团队游戏区、运动区及签到区.已知扇形的半径为60米，，动点在扇形的弧上（不包含端点）.点在半径上，且. （1）当米时，求团队游戏区的面积； （2）综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，由正弦定理，求得，进而得到，结合扇形的面积公式，即可求解； （2）设，在中，由正弦定理，求得，化简的面积为，结合三角函数的图象与性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由，可得， 在中，， 由正弦定理，可得， 即，解得，则， 因为，所以，所以， 所以团队游戏区（扇形）的面积为（平方米）. 【小问2详解】 解：设，则， 在中，， 由正弦定理得， 则的面积为： ， 因为，所以， 所以当时，即时，取得最大值1， 此时的最大值为平方米. 21. 对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． （1）若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数，，求证：“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件； （3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）若，则，此时， 则对任意，令，即， 显然是此方程的解，所以对任意实数，为‘跃点’函数”； 反之，若对任意，为‘跃点’函数”， 即对任意，都有解， 即. 取，得，从而， 因此“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件. （3）存在，或. 【解析】 【分析】（1）根据跃点函数定义，解得，利用三角化简求值域即可； （2）由跃点函数定义，解得，即可证明； （3）由跃点函数定义，即在上个根，根据正弦函数的周期性和图像。讨论即可得到答案. 【小问1详解】 由已知得存在实数， 使得. 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 假设存在，由， 得，， ，令， 即方程，有个根. ①当，即，有个根，不符合； ②当，即，有个根，不符合； ③当，即，有个根，所以； ④当，即，有个根，所以. ⑤当，即，有个根，不符合. 综上，存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”， 符合条件的和的值为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $