上海市青浦高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

青浦中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1．366°是第 象限的角． 2．已知，，若，则 ． 3．函数的最小正周期为 ． 4．已知，则 ． 5．已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则 ． 6．方程，，则 ． 7．已知，，，则在方向上的数量投影为 ． 8．已知，的图像如图所示，则在的解析式中，其“初始相位”为 ． 9．已知锐角、满足及，求 ． 10．若向量，，，已知与的夹角为钝角，则的取值范围是 ． 11．已知函数给出下列四个命题： （1）该函数的值域为； （2）该函数的最小正周期为； （3）当且仅当，时，； （4）对任意，恒成立．上述命题中正确的序号是 ． 12．若存在实数及正整数使得在内恰有2024个零点，则满足条件的正整数的值有 个． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13．下列函数的最大值是2的是（ ） A． B． C． D． 14．已知、为两个不平行的非零向量，则是的（ ）条件： A．充要 B．既不充分也不必要 C．充分非必要 D．必要非充分 15．在中，角，，的对边分别为，，，已知，则的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 16．已知，，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 三、解答题（本大题共5题，共52分） 17．（本题满分8分，第一小题4分，第二小题4分） 已知、满足，，． （1）求与夹角的余弦值； （2）求． 18．（本题满分10分，第一小题4分，第二小题6分） 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，． （1）若，求； （2）若面积等于，求的值． 19．（本题满分10分，第一小题5分，第二小题5分） 如图所示，是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，，四边形为平行四边形，函数． （1）求函数的表达式及其单调减区间； （2）若在上仅存在两个零点，求的取值范围． 20．（本题满分12分，第一小题6分，第二小题6分） 如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点，在弧上，且线段平行于线段； （1）若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积； （2）设，当在何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？ 21．（本题满分12分，第一小题3分，第二小题4分，第三小题5分） 定义有序实数对的“跟随函数”为． （1）记有序数对的“跟随函数”为，若，，求满足要求的所有的集合； （2）记有序数对的“跟随函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围； （3）已知，若有序数对的“跟随函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围． 参考答案 一、填空题 1.一; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8. ; 9.; 10.； 11.（3）（4） 12. 11．已知函数给出下列四个命题： （1）该函数的值域为； （2）该函数的最小正周期为； （3）当且仅当，时，； （4）对任意，恒成立．上述命题中正确的序号是 ． 【答案】（3）（4） 【解析】由，即， 所以，由， 即，所以， 综上，，且， 则在一个周期的图象如下： 由图知：值域为，故（1）不正确； 该函数是以为最小正周期的周期函数，故（2）不正确； 该周期内的区间为，故恒有， 故（3）正确； 当时， 当时， 当时， 综上，任意恒成立，故（4）正确． 12．若存在实数及正整数使得在内恰有2024个零点，则满足条件的正整数的值有 个． 【答案】 【解析】由题意知， 令，此时，对称轴为， 而，则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根， 不妨设，当时，即，所以， 一个周期内有两个零点，则或； 当时，，一个周期内有三个零点，， 则需要个周期，； 当时，此时，解得， 若，此时，则一个周期内有四个零点， 则需要个周期，即； 若，此时，则一个周期内有三个零点， 则需要个周期，; 若，此时，一个周期内有两个零点，则或2025． 综上所述，这样的正整数有5个，分别是1012，1349，2023，2024，2025. 故答案为：5． 二、选择题 13.B 14.A 15.C 16.C 15．在中，角，，的对边分别为，，，已知，则的形状为（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】由，可得， 正弦定理，可得，即或 当时，的形状是等腰三角形， 当时，即，那么的形状是直角三角形． 故选：． 16．已知，，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【解析】，任意实数均有， 当时，任意实数均有，且， 时，符合题意； 任意实数均有，即， 当且仅当任意实数均有，则， 当时，，则，解得，，符合题意； 当时， ，解得， 又，符合题意， 综上所述，满足条件的有序实数对为，，共有3个， 故选：． 三．解答题 17.（1） （2） 18.（1） （2） 19.（1） （2） 20．（本题满分12分，第一小题6分，第二小题6分） 如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点，在弧上，且线段平行于线段； （1）若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积； （2）设，当在何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1） （2），此时在弧的四等分点处． 【解析】（1）如图，作于点，交线段于点，连接， （2）因为，则，，，， 即时，，此时在弧的四等分点处． 21．（本题满分12分，第一小题3分，第二小题4分，第三小题5分） 定义有序实数对的“跟随函数”为． （1）记有序数对的“跟随函数”为，若，，求满足要求的所有的集合； （2）记有序数对的“跟随函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围； （3）已知，若有序数对的“跟随函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1） 由题意代入得，解得, 又，，即满足要求的所有的集合为； （2），代入得，， 与直线有且仅有四个不同的交点，； （3） 在处取得最大值，即 ，则． 学科网（北京）股份有限公司 $$