上海市青浦高级中学2025-2026学年高一第二学期期中考试高一数学试卷

上海市青浦高级中学2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12小题，每小题3分） 1. 函数的最小正周期是________. 2. 某同学提出一个命题：是奇函数，该命题是________命题（填“真”或“假”）. 3. 已知点，，若，则点的坐标是______． 4. 已知，则________. 5. 已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则________. 6. 向量在向量方向上的数量投影为________. 7. 设向量满足，，且，则______． 8. 在中，，，，则________. 9. 已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为________. 10. 若复数和复数满足，，，则________. 11. 在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段上靠近点的三等分点，则________. 12. 如图，海面上有三座灯塔，，，其中在的正东方向，在的正北方向，且，到的距离相等.现探测到该海域内有一艘货船，满足，，，四点按逆时针排列，且，，则的大小为________.（精确到0.1°） 二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4小题，每小题3分） 13. 设平面向量，，若与不能作为平面向量的一组基底，则（ ） A. 2 B. C. D. 0 14. 已知为虚数单位，若复数为正实数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 15. 已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 16. 如图，在直角三角形中，，，.为边上的动点，圆与圆分别是三角形与三角形的外接圆，现有如下两个命题. ①当点在边中点时，圆与圆的公共部分面积最小. ②圆与圆的公共部分面积的最小值约为1.66. 则（ ） A. ①成立②成立 B. ①成立②不成立 C. ①不成立②成立 D. ①不成立②不成立. 三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题） 17. 已知复数 （1）如果复数是纯虚数，求的值 （2）如果复数在复平面上所对应的点在第四象限，求的取值范围 18. 如图，在中，，，，且，. （1）若，求的值： （2）若向量与向量平行，求的值； 19. 已知在中，、、所对边分别为、、，且，. （1）若，求的面积； （2）若且为锐角，求的周长. 20. 青浦高级中学在学校嘉年华主题活动中，计划将如图所示的扇形空地分隔成三部分分别作为团队游戏区、运动区及签到区.已知扇形的半径为60米，，动点在扇形的弧上（不包含端点）.点在半径上，且. （1）当米时，求团队游戏区的面积； （2）综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区的面积的最大值. 21. 对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”． （1）若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数，，求证：“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件； （3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由． 上海市青浦高级中学2025学年第二学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：90分钟 满分：100分 一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12小题，每小题3分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】假 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】## 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4小题，每小题3分） 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本大题满分52分，本大题共有5题） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【21题答案】 【答案】（1） （2）若，则，此时， 则对任意，令，即， 显然是此方程的解，所以对任意实数，为‘跃点’函数”； 反之，若对任意，为‘跃点’函数”， 即对任意，都有解， 即. 取，得，从而， 因此“”是“对任意，为‘跃点’函数”的充分非必要条件. （3）存在，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $