精品解析：重庆市合川区初中“十一校联盟”2026年春期半期质量检测八年级数学试题

2026年春期半期质量检测 八年级数学试题 一、单选题（共40分） 1. 的绝对值是（ ） A. 8 B. C. D. 2. 下列四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 8，15，16 4. 用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有1个五角星，第②个图案有4个五角星，第③个图案有7个五角星，第④个图案有10个五角星…按此规律，第n个图形中有22个五角星，则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 一组邻边相等的四边形是菱形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某商店为庆祝开业，购进甲、乙两种鲜花，购买甲种鲜花花费600元，购买乙种鲜花花费420元，且购买甲种鲜花的数量是购买乙种鲜花数量的2倍．已知购买一束乙种鲜花比购买一束甲种鲜花多花费20元，设购买一束甲种鲜花需元，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 估算的值在（） A. 和之间 B. 和之间 C. 和0之间 D. 0和1之间 9. 在正方形中，为边上一点，连接交于点，过点作．的垂线交于点，连接、，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知两个分式：：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即， 第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即， 第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，（依此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；②当时，；③在第为正整数）次和第次操作的结果中：为定值；④在第为正整数）次操作的结果中：，． 以上结论正确的个数有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共24分） 11. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简______． 12. 已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____． 13. 在平行四边形中，，则__________． 14. 一个正多边形的一个内角是它的一个外角的5倍，则这个多边形的边数是_______________ 15. 如图，在正方形中，E为边上一点，，．F为对角线上一动点（不与点B，D重合），过点F分别作于点M，于点N，连接，，则的最小值为__________． 16. 我们规定：一个四位正整数，各位上的数字均不为0，若满足千位数字比百位数字多2，十位数字是个位数字的2倍，则称这个四位数为“平凡数”，例如：四位数3121，因为，，所以3121是“平凡数”．按照这个规定，最大的“平凡数”是_____；若“平凡数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，若为整数，则满足条件的的最大值与最小值的和为_____． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1） （2） 18. 计算： （1） （2） 19. 如图，中，，为延长线上一点，为中点． （1）请你利用尺规作图：作的平分线，作射线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）求证：（请补全下面的证明过程）． 证明：为中点， ①_____， ， ②_____， ， 即， 平分， ， ③_____， 在和中， ， ． 20. 如图，在四边形中，，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）四边形 是平行四边形． 21. 先化简，再求值：，其中x是使不等式组成立的非负整数． 22. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． 23. 列方程解应用题： “人形机器人”是当前的热门话题．某工厂同时生产A、B两款人形机器人，每月生产A款人形机器人的数量比每月生产B款人形机器人的数量多40台，2个月生产的A款人形机器人的数量与3个月生产的B款人形机器人的数量相同． （1）求该厂每月生产的A、B两款人形机器人的数量分别是多少台？ （2）由于市场需求量增加，该厂对A、B两款人形机器人的生产线均进行了升级改造．改造后，A款人形机器人每月增产的数量是B款人形机器人每月增产数量的3倍．若生产1500台A款人形机器人与生产900台B款人形机器人所用的时间相同，求升级改造后每月可生产A款人形机器人多少台？ 24. 观察下列一组等式，解答后面的问题： ，，，， （1）填空 ； ． （2）根据上面的规律，计算下列式子的值： ． （3）利用上面的规律，比较与的大小． 25. 已知平行四边形中，，，，过点作交边于点． （1）如图1，为边上一点，当时，求线段的长； （2）如图2，为平行四边形所在平面内一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，为线段的中点，连接，，探究并证明线段和之间的数量关系； （3）如图3，为直线上一动点，连接并将绕点逆时针旋转到，连接，，当取得最小值时，过点作于点，将线段在直线上平移得到，连接，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期半期质量检测 八年级数学试题 一、单选题（共40分） 1. 的绝对值是（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0. 根据正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0，可得答案． 【详解】解：的绝对值是8． 故选：A． 2. 下列四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．是中心对称图形，故本选项符合题意． 3. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 8，15，16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的知识．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，1，2，3不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，4，5，6不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，6，8，10是勾股数，故本选项符合题意； D、，8，15，16不是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有1个五角星，第②个图案有4个五角星，第③个图案有7个五角星，第④个图案有10个五角星…按此规律，第n个图形中有22个五角星，则n的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给图形，依次求出图形中五角星的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图案中五角星的个数为：； 第②个图案中五角星的个数为：； 第③个图案中五角星的个数为：； …， 所以第n个图案中五角星的个数为个． 由得，． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 一组邻边相等的四边形是菱形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，仅对角线相等的四边形不一定是矩形，∴A错误． ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是正方形，∴B错误． ∵一组邻边相等的平行四边形才是菱形，仅一组邻边相等的四边形不一定是菱形，∴C错误． ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴D正确． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，无法合并，A错误； B选项：，B正确； C选项：，C错误； D选项：，D错误． 7. 某商店为庆祝开业，购进甲、乙两种鲜花，购买甲种鲜花花费600元，购买乙种鲜花花费420元，且购买甲种鲜花的数量是购买乙种鲜花数量的2倍．已知购买一束乙种鲜花比购买一束甲种鲜花多花费20元，设购买一束甲种鲜花需元，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据设定的单价分别表示出甲、乙两种鲜花的购买数量，再根据甲数量和乙数量的等量关系列方程即可 【详解】解：∵设购买一束甲种鲜花需元，购买一束乙种鲜花比甲多花费20元， ∴购买一束乙种鲜花需元， 根据题意得： 8. 估算的值在（） A. 和之间 B. 和之间 C. 和0之间 D. 0和1之间 【答案】C 【解析】 【分析】先利用二次根式的乘法法则化简原式，再估算的取值范围，即可得到原式的范围． 【详解】解：∵ ， 又∵，，且， ∴ ， ∴ ， 即原式的值在和之间． 故选：C． 9. 在正方形中，为边上一点，连接交于点，过点作．的垂线交于点，连接、，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点H作于点P，于点M，的延长线交于点N，过点A作交的延长线于点K，证明四边形，四边形是正方形，进而得，由此证明和全等得，则是等腰直角三角形，进而得，则，再求出，，继而证明和全等得，然后问题可求解． 【详解】解：过点H作于点P，于点M，的延长线交于点N，过点A作交的延长线于点K，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点． 10. 已知两个分式：：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即， 第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即， 第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，（依此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；②当时，；③在第为正整数）次和第次操作的结果中：为定值；④在第为正整数）次操作的结果中：，． 以上结论正确的个数有（　　）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，找到规律，然后判断即可．本题考查的分式的和与差，解题的关键是细心运算，找到数字规律． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 可知，故选项①正确； 当时，，故选项②不正确； 当时，不是定值，故选项③不正确； ， ， ， ， ， ， ， 故选项④正确， 故选：B． 二、填空题（共24分） 11. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数轴的应用，二次根式的化简，绝对值的化简，根据数轴判断字母的符号是解题关键． 根据数轴可知，，，据此进行化简即可． 【详解】解：根据数轴可知，，，则， ∴． 故答案为： 12. 已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____． 【答案】 4 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，可知两个最简同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，是最简二次根式，也是最简二次根式，二者是同类二次根式， 因此被开方数相等，可得 解得． 13. 在平行四边形中，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质和题意，可以计算出和的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ，， ， 故答案为：． 14. 一个正多边形的一个内角是它的一个外角的5倍，则这个多边形的边数是_______________ 【答案】12 【解析】 【分析】设这个正多边的外角为x°，则内角为5x°，根据内角和外角互补可得x+5x=180，解可得x的值，再利用外角和360°÷外角度数可得边数． 【详解】解：设这个正多边的外角为x°，由题意得： x+5x=180， 解得：x=30， 360°÷30°=12． 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数． 15. 如图，在正方形中，E为边上一点，，．F为对角线上一动点（不与点B，D重合），过点F分别作于点M，于点N，连接，，则的最小值为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，连接、，由四边形为矩形，得，由正方形的对称性得，即知，故当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，由，，可得，从而的最小值为13． 【详解】解：连接、，如图： ∵四边形是正方形， ∴，， ，，， 四边形为矩形， ， 四边形是正方形， 由正方形的对称性可得， ， ， 当最小时，最小，此时、、共线，的最小值即为的长，如图： ∵， ， 的最小值为13， 故答案为：13． 16. 我们规定：一个四位正整数，各位上的数字均不为0，若满足千位数字比百位数字多2，十位数字是个位数字的2倍，则称这个四位数为“平凡数”，例如：四位数3121，因为，，所以3121是“平凡数”．按照这个规定，最大的“平凡数”是_____；若“平凡数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，，若为整数，则满足条件的的最大值与最小值的和为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可得千位上的数字最大为，从而可得百位上的数字为，进而得出十位上的数字最大为，则个位上的数字为，从而得出最大的“平凡数”是；由“平凡数”的定义可得，，表示出，得出，结合题意可得为整数，求出，，且，分情况代入求出符合条件的的值，找出最大值与最小值并求和即可． 【详解】解：∵一个四位正整数，各位上的数字均不为0， ∴千位上的数字最大为， ∵千位数字比百位数字多2， ∴百位上的数字为， ∵十位数字是个位数字的2倍， ∴十位上的数字最大为，则个位上的数字为， 故最大的“平凡数”是； 由“平凡数”的定义可得，， ∴ ， ∴为整数， ∴为整数， ∵，，且、为正整数， ∴，， ∵， ∴， 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为， 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，为整数，符合题意，此时，，故为； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，不为整数，不符合题意； 当，时，，不为整数，不符合题意； 综上所述，满足条件的的最大值为，最小值为， 故满足条件的的最大值与最小值的和为． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，再计算加减法即可得到答案； （2）先根据平方差公式去括号，然后化简二次根式，最后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算除法和乘法，再合同同类二次根式，即可作答． （2）根据完全平方公式和平方差公式进行展开，再合同同类二次根式，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，中，，为延长线上一点，为中点． （1）请你利用尺规作图：作的平分线，作射线交于点（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． （2）求证：（请补全下面的证明过程）． 证明：为中点， ①_____， ， ②_____， ， 即， 平分， ， ③_____， 在和中， ， ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据等边对等角及角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，结合题意即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求； 【小问2详解】 证明：为中点， ， ， ， ， 即， 平分， ， ， 在和中， ， ． 20. 如图，在四边形中，，，，垂足分别为，．求证： （1）； （2）四边形 是平行四边形． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，平行线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由线段的和与差得，然后通过“”即可证明； （）由全等三角形性质可得，所以，然后通过平行四边形的判定方法即可求证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 证明：由（）得， ∴， ∴， ∵， ∴四边形 是平行四边形． 21. 先化简，再求值：，其中x是使不等式组成立的非负整数． 【答案】； 【解析】 【分析】先解不等式组，求得不等式组的非负整数解，再化简所要求的式子，然后选择使分式有意义的值代入即可求解． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式的解集为， ∴非负整数解为， ， ∵要使分式有意义， ∴，，即，， ∴当时，原式． 22. 森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点C的最短距离； （2）若该飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要15秒，请你通过计算说明着火点C能否被飞机扑灭． 【答案】（1） （2）着火点C不能被飞机扑灭，计算说明解解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，再利用等面积法求出的长即可得到答案； （2）在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出飞机灭火的时间即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，过点C作于D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：飞机距离着火点C的最短距离为； 【小问2详解】 解：如图，在线段和线段上分别取一点E和点F，连接，使得， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， ，且， ∴着火点C不能被飞机扑灭， 答：着火点C不能被飞机扑灭． 23. 列方程解应用题： “人形机器人”是当前的热门话题．某工厂同时生产A、B两款人形机器人，每月生产A款人形机器人的数量比每月生产B款人形机器人的数量多40台，2个月生产的A款人形机器人的数量与3个月生产的B款人形机器人的数量相同． （1）求该厂每月生产的A、B两款人形机器人的数量分别是多少台？ （2）由于市场需求量增加，该厂对A、B两款人形机器人的生产线均进行了升级改造．改造后，A款人形机器人每月增产的数量是B款人形机器人每月增产数量的3倍．若生产1500台A款人形机器人与生产900台B款人形机器人所用的时间相同，求升级改造后每月可生产A款人形机器人多少台？ 【答案】（1）A款人形机器人120台，B款人形机器人80台 （2）150台 【解析】 【分析】题目主要考查一元一次方程和分式方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）设该厂每月生产B款人形机器人x台，A款人形机器人台，根据题意列出方程求解即可； （2）设改造后，B款人形机器人每月增产y台，A款人形机器人每月增产3y台，根据题意列出分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该厂每月生产B款人形机器人x台，A款人形机器人台． ， 解之得：， ∴． 答：该厂每月生产A款人形机器人120台，B款人形机器人80台． 【小问2详解】 解：设改造后，B款人形机器人每月增产y台，A款人形机器人每月增产3y台． ， 解之得：， 经检验知：是原方程的解，且符合题意． ， 答：改造后每月可生产A款人形机器人150台． 24. 观察下列一组等式，解答后面的问题： ，，，， （1）填空 ； ． （2）根据上面的规律，计算下列式子的值： ． （3）利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算以及分母有理化，结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）分子，分母同乘以有理化因式即可得到答案； （2）利用分母有理化得到，然后合并后利用平方差公式计算； （3）先分子有理化，再比较即可． 【小问1详解】 解：； ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 ∵， ， 又 ∴． 25. 已知平行四边形中，，，，过点作交边于点． （1）如图1，为边上一点，当时，求线段的长； （2）如图2，为平行四边形所在平面内一点，将线段绕点顺时针旋转到，连接，为线段的中点，连接，，探究并证明线段和之间的数量关系； （3）如图3，为直线上一动点，连接并将绕点逆时针旋转到，连接，，当取得最小值时，过点作于点，将线段在直线上平移得到，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，可得是等腰直角三角形，，可证是等腰直角三角形，得到，在中，，则，即可求解； （2）延长到点，使，连接，，延长交的延长线于点，先证明，得出，，再证明，可证明，得出，，再证明是等腰直角三角形，即可证明； （3）取中点，将绕点逆时针旋转，得，连接，，通过证明，得出，再求证，即点、、共线，证明，得出点的轨迹为过线段中点且平行于的直线上，过点作直线的对称点，连接，由对称得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时，过点作于点，过点作于点，通过计算求出，再计算出，，作点关于的对称点，在上取点，使，设交于点，过点作于点，利用四边形是平行四边形，得出，则，由两点之间最短距离得，当且仅当、、依次共线时取得最小值，再进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，延长到点，使，连接，，延长交的延长线于点， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：取中点，将绕点逆时针旋转，得，连接，， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形中，，，为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点、、共线， ∵， ∴， ∴点的轨迹为过线段中点且平行于的直线上， 如图，过点作直线的对称点，连接， 由对称得， ∴，当且仅当、、依次共线时，取得最小值， 此时点位置如图，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由对称得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 作点关于的对称点，在上取点，使，设交于点，过点作于点， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由两点之间最短距离得，当且仅当、、依次共线时取得最小值， 由（1）知与间的距离为， ∴， ∴， ∵，平行四边形中，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，四边形的内角和，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $