精品解析：重庆市合川区初中“十一校联盟”2026年春期半期质量检测八年级 数学试题

重庆市合川区初中十一校联盟2026春期半期质量检测 八年级 数学 （全卷共3个大题，满分150分，考试时间：120分钟） 注意事项：请将答案做在答题卷上，不得在试卷上作答，只交答题卷． 一、选择题：（本大题10小题，每题4分，共40分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式的判定条件为：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】的被开方数是能开得尽方的数，，故不是最简二次根式； 的被开方数，含能开得尽方的因数，，故不是最简二次根式； 的被开方数含有分母，故不是最简二次根式； 的被开方数是，满足最简二次根式的条件，故是最简二次根式． 2. 下列关系式中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义，判断对于的每一个确定的值，是否有唯一确定的值与之对应，即可求解． 【详解】解：A．，是的函数，不符合题意； B．，是的函数，不符合题意； C．，当时，或，不是的函数，符合题意； D．，是的函数，不符合题意． 3. 如图，在平行四边形中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质分析即可． 【详解】解：平行四边形对边相等，， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形的性质是解题关键． 4. 已知，则点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用非负数的性质求出的值，得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标规律求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得 ， ∴点的坐标为， ∴关于轴对称的点的坐标为． 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 四边都相等的四边形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定定理，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、四边都相等的四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误，不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，符合题意； C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，不符合题意； D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，原说法错误，不符合题意； 故选；B． 6. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，则，再由平行线的性质求出的度数，由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 7. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】先利用二次根式的乘法运算法则化简原式，再估算化简后无理数的大小，即可得到结果． 【详解】先对原式化简： ∵ ， 又∵ ， ∴ ， 不等式同乘正数得 ， ∴ 原式的值在和之间． 8. 下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花．按此规律摆放下去，则第个图形中梅花朵数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中梅花的朵数，发现规律即可解决问题，能根据所给图形发现梅花朵数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； 第个图形中梅花的朵数为：； ； ∴第个图形中梅花的朵数为， 当时，（朵）， 即第个图形中梅花的朵数为朵， 故选：． 9. 如图，在正方形中，点E是线段上一点，点F是线段延长线上一点，连接，，，，线段与线段相交于点P，已知，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的性质得到，则可推出，利用勾股定理可得；过点作交于点T，则是等腰直角三角形，可得，则可证明；再证明，得到，即可得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∴； 在中，由勾股定理得； 如图所示，过点作交于点T，则是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点M为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”M为“穿透点”，当（其中）的值为整数时，称“整点”M为“封闭点”．已知点，下列说法： ①若点M为“整点”，则满足条件的所有“整点”均在函数的图像上； ②若点M为“整点”且到两坐标轴的距离均小于5，则满足条件的M点的个数为5个； ③若点M为“穿透点”，则满足条件的M点的个数为8个； ④若点M为“封闭点”，则满足条件的M点的个数为10个． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目给出的新定义，结合坐标性质和整数约数的知识，逐一判断四个说法的正误，统计正确个数得到结果． 【详解】已知点 ，逐一判断： ① 若为整点，则为整数，点横纵坐标满足，因此所有满足条件的整点都在函数的图像上，①正确． ②点到两坐标轴距离均小于5，得且 ，为整数． 解不等式： ， ，因此公共范围为 ．符合条件的整数为 ，共5个点，②正确． ③ 若为穿透点，由定义，得 ． 代入公式化简得：，该式为整数，则为整数，7的整数约数为，共4个，对应4个不同的点，③错误． ④ 若为封闭点，由定义，得．代入公式化简得： ， 该式为整数，则为整数，16的整数约数为 ，共10个，对应10个不同的点，④正确． 二、填空题（本大题6小题，每题4分，共24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 12. 已知正边形的一个内角是一个外角的5倍，则_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，多边形内角和公式，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．设正边形的内角为x，根据题意列方程并求解，得，再根据多边形内角和公式列方程求解，即得答案． 【详解】解：设正边形的内角为x， 根据题意得：， 解得， 所以， 解得． 故答案为：12． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C在x轴正半轴上，，则点C的坐标为___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点C在x轴正半轴上， ∴点C的坐标为． 14. 若a是的整数部分，b是的小数部分，则_____________ 【答案】 【解析】 【分析】先判断出的取值范围，进而得到a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ， 的整数部分为，小数部分为， ， ∴ ． 15. 如图，是将矩形沿着折叠得到的，点B的对应点为，交于点O，若，，则_____________；点O到直线的距离为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，，由折叠的性质得到，，，，推导出，得到，求出的长，在中利用勾股定理求出的长即为的长；在中利用勾股定理求出的长，过点作于点，利用三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，  ∴，，，， ∴， 由折叠的性质得，，  ∴，，，，  ∴，即，  ∴，  ∵，  ∴，  ∴， 在中，，  ∴； 在中，， 过点作于点， ∵，且， ∴， ∴点到直线的距离为． 16. 一个各位数字均不为0的四位数M，满足千位数字与十位数字差的绝对值为3，且百位数字与个位数字差的绝对值为3，称M为“绝对差3数”．记千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则最小“绝对差3数”为_____________，规定：，，若，且能被11整除，则满足条件的M的最大值为_____________． 【答案】 ①. 1144 ②. 9966 【解析】 【分析】根据新定义，以及最小的四位数，得到，即可，根据，推出，进而得到，，得到能被整除，根据最大时，且当时，恰好能被11整除，即可得出结果． 【详解】解：由题意，当“绝对差3数”最小时，则， 故最小“绝对差3数”为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵能被11整除， ∴能被整除， 为使最大，应使千位最大， 由知， 故最大可取9，此时要求能被11整除，即能被11整除， 为使最大，应使百位最大， 由知， 检验，得，是11的倍数，满足条件， 故，时，取得最大值，此时， 故最大的为9966． 三、解答题：（本大题2小题，每小题8分，共16分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （）利用完全平方公式和平方差公式展开化简后，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 尺规作图： （1）如图，在平行四边形中，于点E．用尺规过点A作的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：平行四边形中，于点E，于点F．求证：四边形是矩形． 证明：四边形是平行四边形， ∴，，①__________． ∵． 在和中，， 。 ∴，②__________． ∴，即③__________． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形（④__________）． 【答案】（1）见解析 （2）；；；有一个角是直角的平行四边形是矩形 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）由平行四边形的性质和全等三角形的判定定理证明得到，再证明，则可证明四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理即可证明结论． 【小问1详解】 解：解：如图，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ，，①． ． 在和中， ， ． ，②． ，即③． ∴四边形是平行四边形． 又， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 四、解答题（本大题共7小题，每小题10分，共70分） 19. 先化简，当x，y满足时求上式的值． 【答案】，3 【解析】 【分析】先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简，非负性求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴，， ∴原式． 20. 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求的周长． 【答案】（1）见解析； （2）36． 【解析】 【分析】（）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 21. 阅读材料：对于计算“；”，利用上述方法可以把含二次根式的分母化为有理数，如： ； 这样的化简过程称为“分母有理化”．请你利用“分母有理化”方法解决如下问题： （1）计算： （2）若．求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可证明（n为正整数），把所求式子中的每一项分母有理化，然后计算求解即可； （2）先分母有理化得到x的值，再把所求式子变形为，最后代入求值即可． 【小问1详解】 解：设n为正整数， 则 ， ∴ ； 【小问2详解】 解：， 则 ． 22. 为弘扬陶行知先生“小先生制”的教育理念，合川某学校拟购买“知行合一”笔记本（A类）和纪念徽章（B类）对优秀“小先生”进行奖励．已知买1本A类和2枚B类共需82元；买2本A类和1枚B类共需74元． （1）求A，B两类物品的单价； （2）学校准备购买A、B两类物品共34个，且A类的数量不高于B类的数量．购买物品的总花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 【答案】（1）A类物品的单价为22元，B类物品的单价为30元； （2）共有3种购买方案：方案1、购买A类15本，B类19枚；方案2、购买A类16本，B类18枚；方案3、购买A类17本，B类17枚． 其中购买A类17本，B类17枚时花费最少． 【解析】 【分析】（1）设A类物品的单价为x元，B类物品的单价为y元，根据题意建立方程组求解即可； （2）设购买A类物品m本，则购买B类物品枚，根据题意建立不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设A类物品的单价为x元，B类物品的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A类物品的单价为22元，B类物品的单价为30元； 【小问2详解】 解：设购买A类物品m本，则购买B类物品枚， 由题意得，， 解得， ∵m为非负整数， ∴m的值为15或16或17， 当时，， 当时，， 当时，， ∵1本A类物品的单价比一枚B类物品的单价低， ∴购买A类物品的数量越多，费用越低， 答：共有3种购买方案：方案1、购买A类15本，B类19枚；方案2、购买A类16本，B类18枚；方案3、购买A类17本，B类17枚． 其中购买A类17本，B类17枚时花费最少． 23. 为了确保游客安全，合川某游船公司开展救援演习，如图，D处游船发生险情，救援船打算沿的路线前往，消防船打算沿的路线前往，已知点A在点B的南偏西方向上，点C在点A正东方向，且米，，米，米． （1）求的长度（结果保留根号）； （2）若救援船的速度是25米/秒，消防船的速度是30米/秒，请通过计算说明，谁先到达D处？（结果精确到0.1，参考数据：，，）． 【答案】（1）米 （2）消防船先到达D处 【解析】 【分析】（1）过点作于点，求出米，由勾股定理得米，米，根据或得结论； （2）由勾股定理求出米，计算出与，再求出两船到达D处的时间，再进行比较即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，则， ∵， ∴， ∵米， ∴（米）， 在中，； 在中，米， ∴（米）， ∴（米）； 【小问2详解】 解：在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， （米） ∴救援船所用时间为（秒）， 消防船所用时间为（秒）， ∵， ∴消防船先到达D处． 24. 在矩形中，为矩形对角线，在边上，连接． （1）如图1，若，，，求； （2）如图2，，，连接交于，当为的中点时，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，因为，所以，则，所以，求得； （2）作于点，则，由，得，由，得，而，，可根据“”证明，得，，因为，所以，可根据“”证明，则． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 的长是； 【小问2详解】 证明：如图2，作于点，则， ， ， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25. 在正方形中： （1）如图1，E为对角线上一点，连接，若，，求的面积； （2）如图2，E、G分别为、的中点，连接和交于点Q，连接，求证： （3）如图3，已知，E在边上运动，将沿翻折到同一平面内得到．点N为的中点，连接和，当的长度最小时，直接写出的值（用含a的式子表示）． 【答案】（1）20 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（）根据正方形的性质，先算出，即可算出，再根据等面积法算出对角线上的高，最后用面积公式求解即可． （）先证出，再证出，得到是等腰直角三角形，可证，即可求证． （）根据三角形三边关系知，当、、三点共线时最小，运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：过作于，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴， ∴在中，, ∵， ∴， ∵, ∴, ∴; 【小问2详解】 解：延长 至 ，使得 ，连接 ，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴， ∵E、G分别为、的中点， ∴， ∴在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴在中， ， ∵，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接BD， 由翻折性质可得， ∵点N为的中点， ∴， ∵根据三角形三边关系知， ∴当、、三点共线时最小，此时都在线段上， 由正方形的性质可知，， ∴， ∵ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市合川区初中十一校联盟2026春期半期质量检测 八年级 数学 （全卷共3个大题，满分150分，考试时间：120分钟） 注意事项：请将答案做在答题卷上，不得在试卷上作答，只交答题卷． 一、选择题：（本大题10小题，每题4分，共40分） 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关系式中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 四边都相等的四边形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形 6. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 8. 下列图形都是用同样大小的梅花图案按一定规律组成，其中第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花，第个图形中有朵梅花．按此规律摆放下去，则第个图形中梅花朵数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点E是线段上一点，点F是线段延长线上一点，连接，，，，线段与线段相交于点P，已知，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点M为“整点”，特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”M为“穿透点”，当（其中）的值为整数时，称“整点”M为“封闭点”．已知点，下列说法： ①若点M为“整点”，则满足条件的所有“整点”均在函数的图像上； ②若点M为“整点”且到两坐标轴的距离均小于5，则满足条件的M点的个数为5个； ③若点M为“穿透点”，则满足条件的M点的个数为8个； ④若点M为“封闭点”，则满足条件的M点的个数为10个． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题6小题，每题4分，共24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围为_____________． 12. 已知正边形的一个内角是一个外角的5倍，则_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点C在x轴正半轴上，，则点C的坐标为___________ 14. 若a是的整数部分，b是的小数部分，则_____________ 15. 如图，是将矩形沿着折叠得到的，点B的对应点为，交于点O，若，，则_____________；点O到直线的距离为_____________． 16. 一个各位数字均不为0的四位数M，满足千位数字与十位数字差的绝对值为3，且百位数字与个位数字差的绝对值为3，称M为“绝对差3数”．记千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则最小“绝对差3数”为_____________，规定：，，若，且能被11整除，则满足条件的M的最大值为_____________． 三、解答题：（本大题2小题，每小题8分，共16分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 尺规作图： （1）如图，在平行四边形中，于点E．用尺规过点A作的垂线，垂足为点F（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：平行四边形中，于点E，于点F．求证：四边形是矩形． 证明：四边形是平行四边形， ∴，，①__________． ∵． 在和中，， 。 ∴，②__________． ∴，即③__________． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形（④__________）． 四、解答题（本大题共7小题，每小题10分，共70分） 19. 先化简，当x，y满足时求上式的值． 20. 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若平分，，求的周长． 21. 阅读材料：对于计算“；”，利用上述方法可以把含二次根式的分母化为有理数，如： ； 这样的化简过程称为“分母有理化”．请你利用“分母有理化”方法解决如下问题： （1）计算： （2）若．求的值； 22. 为弘扬陶行知先生“小先生制”的教育理念，合川某学校拟购买“知行合一”笔记本（A类）和纪念徽章（B类）对优秀“小先生”进行奖励．已知买1本A类和2枚B类共需82元；买2本A类和1枚B类共需74元． （1）求A，B两类物品的单价； （2）学校准备购买A、B两类物品共34个，且A类的数量不高于B类的数量．购买物品的总花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 23. 为了确保游客安全，合川某游船公司开展救援演习，如图，D处游船发生险情，救援船打算沿的路线前往，消防船打算沿的路线前往，已知点A在点B的南偏西方向上，点C在点A正东方向，且米，，米，米． （1）求的长度（结果保留根号）； （2）若救援船的速度是25米/秒，消防船的速度是30米/秒，请通过计算说明，谁先到达D处？（结果精确到0.1，参考数据：，，）． 24. 在矩形中，为矩形对角线，在边上，连接． （1）如图1，若，，，求； （2）如图2，，，连接交于，当为的中点时，求证：． 25. 在正方形中： （1）如图1，E为对角线上一点，连接，若，，求的面积； （2）如图2，E、G分别为、的中点，连接和交于点Q，连接，求证： （3）如图3，已知，E在边上运动，将沿翻折到同一平面内得到．点N为的中点，连接和，当的长度最小时，直接写出的值（用含a的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $