11.4一元一次不等式组 强化训练2025-2026学年苏科版数学七年级下册

11.4一元一次不等式组 强化训练 一、单选题 1．若不等式组有解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论： ①若a＝5，则不等式组的解集为2＜x≤5；②若a＝1，则不等式组无解；③若不等式组无解，则a的取值范围为a≤2；④若不等式组有且只有两个整数解，则a的值可以为5.1，以上四个结论，正确的序号是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 3．不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 4．若关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．记表示不超过实数x的最大整数．则方程 的所有实数解的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（　　） A．以上，以下 B．以上，以下 C．以上，以下 D．以上，以下 7．五月初五端午节这天，妈妈让小明去超市买豆沙馅和蛋黄鲜肉馅的粽子．豆沙馅的每个卖2元，蛋黄鲜肉馅的每个卖3元，两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元．则不同的购买方案的个数为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 8．已知三个实数，满足．当时，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．不等式组所有整数解的和为________． 10．若三个连续的正整数之和不小于15且不大于20，则这三个数是______． 11．不等式组的整数解的和为____． 12．若不等式组无解，则的取值范围是______． 13．若不等式组只有两个整数解，化简：___________． 14．若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是___________． 15．如果是一个有理数，我们定义表示不小于的最小整数．如，．若满足，则的取值范围是_____________． 16．运行程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作．若输入后程序操作进行了两次就停止，则的取值范围是______． 三、解答题 17．解不等式组． 18．解不等式组，并把解集表示在数轴上，写出所有的整数解． 19．现有、两种商品，种商品单价为16元，种商品单价为4元．如果小静准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过120元，且不低于100元，问有几种购买方案？哪种方案费用最低？ 20．已知方程组中为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的范围中，当为何整数时，不等式的解集为． 21．【教材方法】在学习“用加减消元法解二元一次方程组”时，我们知道，可以用两个方程的左边与左边相加（减）、右边与右边相加减，从而消去某个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 【迁移探究】某校数学兴趣小组基于教材的方法，开展了迁移探究的讨论，讨论问题为“对于不等号方向相同的不等式组，若也将左右两边分别相加减会怎样”． （1）经过对“相加”的探究，得到结论：如果那么一定成立．请你证明上述结论． （2）经过对“相减”的探究，得到结论：如果那么不一定成立．例如：对于请你举出一组反例，说明不一定大于． 【结论应用】 （3）应用1：已知求的取值范围． （4）应用2：已知直接写出的取值范围． 22．阅读材料，解决下列问题． 【阅读材料】 已知，且，求的取值范围． 解：由，得， ，， 解得，的取值范围是． 【问题探究】 (1)已知，且，求的取值范围； (2)已知，且，求的取值范围； (3)已知，且，，设，直接写出的取值范围． 23．定义：若一个不等式组有解且解集是，则称为的“绝对距离”．若的绝对距离是不等式组的一个解，则称对于 “绝对包含”．例如：已知不等式组和．解集：，其绝对距离为；的解集：，因为，所以是的解，对于绝对包含． (1)已知关于的不等式组， ①这个不等式组的解集是______． ②这个不等式组的绝对距离是______． ③结合不等式组，判断：不等式组______（填“是”或“不是”）对绝对包含； (2)已知关于的不等式组，不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组，若存在整数，使得不等式组对于不等式组绝对包含，求满足条件的所有整数的和． 24．给出如下定义：如果一个未知数的值使得方程和不等式（组）同时成立，那么这个未知数的值称为该方程与不等式（组）的“伴随解”． 例如：已知方程和不等式，对于未知数，当时，使得，同时成立，则称是方程与不等式的“伴随解”． (1)是否是方程与不等式的“伴随解”？___________（填“是”或“否”） (2)是方程与不等式（组）①，②，③中___________的“伴随解”．（只填序号） (3)如果是关于的方程与关于的不等式组的“伴随解”，那么___________，的取值范围是___________． (4)如果是关于的方程与关于的不等式组的“伴随解”，直接写出的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A B C C D B 6．C 【分析】设一颗玻璃球的体积为，根据放四颗球水没有满，放五颗球水满溢出建立不等式组求出x的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设一颗玻璃球的体积为， 由题意得，， 解得， ∴一颗玻璃球的体积在以上，以下． 7．D 【分析】设购买豆沙馅的x个，根据“两种的粽子至少各买一个，买粽子的总钱数不能超过15元”可得，解不等式组即可求出购买豆沙馅的可能个数，再结合总钱数不超过15元，蛋黄鲜肉馅的至少买一个，即可得出不同的购买方案． 【详解】解：设购买豆沙馅的x个， 根据题意列出不等式组：， 解得：， 当时，，即蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个、4个； 同理，当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个、3个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个、2个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个； 当时，蛋黄鲜肉馅的可以买1个； 因此，有（种）不同的购买方案， 故选D． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 8．B 【分析】本题考查解一元一次不等式组，根据已知可得，进而根据，得出关于的不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 解得： 故选：B． 9． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，再写出整数解，求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为：， 不等式组的所有整数解的和为：， 故答案为：． 10．4、5、6或5、6、7 【分析】可设这三个数中最小值的数为x，则其它两个数分别为（x+1），（x+2），根据三个数之和不小于15且不大于20，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再找出符合要求的正整数，即可得到答案． 【详解】解：设这三个数中最小值的数为x，则另外两个数分别为（x+1），（x+2）， 依题意得： ， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x=4或x=5， ∴当x=4时，另外两个数是5,6；当x=5时，另外两个数是6,7． ∴这三个数是4，5，6或5，6，7． 故答案为：4，5，6或5，6，7． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各题意得等量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 11．2 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，进一步即可求解． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 故原不等式组的解集， 故原不等式组的整数解是，0，1，2．和为， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键． 12． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解集情况是解决本题的关键． 先分别求出不等式的解集，得，根据不等式组无解，即可求出的取值范围． 【详解】解：解不等式， 得， 解不等式， 得， 不等式组无解， ． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解．根据不等式组解的情况求出a的范围，从而可判断绝对值里面数的正负，从而去掉绝对值得到答案． 【详解】解： 解得， 解得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解为，且， 又∵不等式组只有两个整数解， ∴这两个整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组恰有3个整数解求解即可． 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； ∴不等式组的解集为， ∵原不等式组恰有3个整数解， ∴这3个整数解是3，4，5， ∴， 解得：； 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了新定义在一元一次不等式组中的应用，按照定义正确列不等式组是解题的关键．由题意得不等式组，求解即可． 【详解】解：∵表示不小于的最小整数，， ∴， 可变为, 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集是， 故答案为：． 16． 【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于5，第二次运算结果大于5列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 17． 【分析】此题主要考查不等式组的解法，解题的关键是熟知不等式组的求解步骤． 先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集． 【详解】解： 解不等式①，得： 解不等式②，得： 则不等式组的解集为． 18．，数轴表示见解析，整数解是1，2 【分析】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集及解一元一次不等式组，先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，然后写出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， 在数轴上表示不等式组的解集为： 故不等式组的整数解是1，2． 19．方案一∶购买商品5件， 商品5件；方案二∶购买商品6件， 商品4件， 方案一费用最低． 【分析】此题主要考查一元一次不等式组的应用，根据题意得出关系式是解题关键． 设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品件，根据关系式列出二元一次不等式组．求解再比较两种方案． 【详解】解∶设小静购买商品件，则购买商品件，由题意，得 解得 ∵取正整数， ∴或 ∴有两种购买方案∶ 方案一∶购买商品5件， 商品5件，购买费用为∶ (元)； 方案二∶购买商品6件， 商品4件，购买费用为∶ (元)． ，方案一费用低 答∶有两种购买方案，方案一费用最低． 20．(1) (2) 【分析】（1）首先解方程组，然后根据为非正数，为负数列不等式组求解； （2）根据不等式的性质得到，求出，然后结合求解即可． 【详解】（1）解：解方程组得， ∵方程组中为非正数，为负数 ∴ 解得：； （2）解：∵ ∴ ∵不等式的解集为 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴整数． 21．（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4） 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键； （1）设，根据不等式的性质可得，即可得证； （2）设，得出，即可求解； （3）根据结论1，两式相加，即可求解； （4）根据不等式的性质可得，，两式相加，即可求解． 【详解】解：（1）∵，设 ∴ ∴ （2）如果那么不一定成立．例如：对于请你举出一组反例， 设 ∴， 即 ∴不一定大于． （3）∵ ∴即 （4）∵ ∴， ∴即 22．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是读懂材料中的例子，并掌握不等式的性质． （1）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （2）仿照例子，根据不等式的性质即可求解； （3）仿照例子得到，由不等式的性质求出的取值范围，根据题意可得，结合不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （2）由，得， ， ， 解得：， 的取值范围是； （3）由可得， ， ， 解得：， ， 的取值范围是， ， ， 即， ． 23．(1)①；②；③是 (2) (3) 【分析】（1）根据不等式组的解法及“绝对包含”的意义求解即可； （2）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围； （3）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和． 【详解】（1）解：①解不等式组， 不等式的解集为：， 不等式的解集为：， ∴这个不等式组的解集是； ②， 这个不等式组的绝对距离是； ③∵不等式组的解集为，且，即是不等式组的解， ∴不等式组是对绝对包含； （2）解：解不等式组得， ∵不等式组的绝对距离是：， ∵不等式组， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组对于不等式组绝对包含， ∴是的解，即， 解得：， ∴的取值范围为； （3）解：解不等式组得， ∵不等式组的绝对距离是：， ∵不等式组， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组对于不等式组绝对包含， ∴是的解，即， 解得：， ∵为整数， ∴整数的取值为，，，， ∴满足条件的所有整数的和为：． 24．(1)否； (2)②； (3)，； (4)． 【分析】（1）将代入方程与不等式中，看是否同时成立即可； （2）将分别代入不等式或不等式组中看是否成立即可； （3）根据题目定义得，，即可求出的值及的取值范围； （4）根据题目定义得，，可由不等式组得出的取值范围，由得到，代入的取值范围即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：当时，，， 即方程成立，不等式不成立， 不是方程与不等式的“伴随解”； （2）解：当时，①，不成立， ②，成立， ③，不成立， 综上，②符合题意； （3）解：依题意得，， ，， ； （4）解：依题意得，，， 不等式组为，即， ， ， 即， ， ， ． 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