2026年内蒙古自治区初中学业水平考试数学模拟试卷（三）

2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数 学 模 拟 试 卷 （三） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.据人民网消息，年第一季度，苏州市货物贸易进出口总值达万元，其中，出口万元，创历史同期新高，同比增长数据用科学记数法可表示为(    ) A. B. C. D. 2.不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    ) A. B. C. D. 3.某种食品保存的温度是，以下几个温度中，不适合储存这种食品的是(    ) A. B. C. D. 4.若一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是(    ) A. 三棱柱 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 四棱锥 5.下列各命题是真命题的是(    ) A. 如果两个角互补，那么它们是邻补角 B. 经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 6.点是矩形的对角线的中点，是边的中点，，，则线段的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的对应点为，则点的对应点的坐标为(    ) A. B. C. D. 8.反比例函数的图象上有，两点下列正确的选项是(    ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是          ． 10.在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数一根弹簧不挂物体时长，当所挂物体的质量为时，弹簧长，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为           ． 11.如图，为直径，为的一条弦，于，连接，，则的大小为       12.如图，菱形中，，面积为，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，则______． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算和化简： ． ． 14.本小题分 为了切实加强和改进未成年人思想道德建设，加强中华民族传统美德教育某校在七年级学生中开展“孝文化”活动设置了四个爱心项目：：为父母洗脚，：主持父母生日会，：为父母做感恩餐，：与父母深度谈心，并要求每个学生必须且只能选择一项参加为了解七年级参加各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图根据信息，解答下列问题： 抽样调查的学生人数为______，并补全图中的条形统计图； 扇形统计图中，求项目所占圆心角的度数； 七年级参加活动的学生共人，请估计该校七年级参加项的学生有多少人． 15.本小题分 “一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔某商场欲购进一批头盔，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元． 购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元？ 若该商场准备购进个这两种型号的头盔，总费用不超过元，则最多可购进乙型头盔多少个？ 16.本小题分 是的直径，点在半径上，点在上，，连接并延长至点，使得，与的另一个交点为． 求证：与相切； 若，，求的长． 17.本小题2分 【项目式学习】  【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜  【项目背景】寻找生活中的数学，九班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型菜地装有个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜如图所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒  【项目素材】  素材一：甲小组在图中建立合适的直角坐标系，喷水口中心有一喷水管，从点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点喷水口在轴上，轴上的点为水柱的最外落水点  素材二：乙小组测得种植农民的身高为米，他常常往返于菜地之间  素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大棚里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长  【项目任务】  任务一：丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点到水柱的最外落水点水平距离为米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆的顶部处，木杆高米，距离喷水口米求出水柱所在抛物线的函数解析式  任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是米时，不会被水淋到，求的取值范围  任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是厘米？直接写出答案，精确到米  18.本小题3分 综合与探究 如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作直线，交于点，交于点，连接，，且平分． 求证：四边形是菱形； 直接写出的度数． 把中菱形进行分离研究，如图，，分别在，边上，且，连接，为的中点，连接，并延长交于点，连接，，，试探究线段与之间满足的数量及位置关系，并说明理由． 2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数学模拟试卷（三）答案和解析 1.【答案】  【解析】解：． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 2.【答案】  【解析】解：由得：， 又， 所以不等式组的解集为， 故选：． 求出第一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，继而结合数轴可得答案． 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 3.【答案】  【解析】解：，， 适合储存这种食品的温度范围是：至， 故A符合题意；、、均不符合题意； 故选：． 根据有理数的加减运算，可得温度范围，根据温度范围，可得答案． 本题考查了正数和负数，掌握正数和负数是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：三个长方形和两个三角形折叠后可以围成三棱柱． 故选：． 由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 考查了几何体的展开图，熟记常见几何体的表面展开图特征，是解决此类问题的关键． 5.【答案】  【解析】解：如果两个角互补，它们不一定是邻补角，故此选项不合题意； B.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项不合题意； C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，故此选项符合题意； D.直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离，故此选项不合题意． 故选：． 直接利用邻补角的定义以及点到直线的距离、平行线的性质、垂线等性质分别判断得出答案． 此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关性质与定理是解题关键． 6.【答案】  【解析】解：在矩形中，，，是矩形的对角线的中点，是边的中点， ，，， ， 点为的中点，， ， 故选：． 根据题意，利用三角形中位线定理可以得到的长，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长，本题得以解决． 本题考查三角形中位线定理、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 7.【答案】  【解析】解：与是位似图形，点的对应点为，  与的位似比为，  点的对应点的坐标为，即，  故选：． 根据点、的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解． 本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键． 8.【答案】  【解析】反比例函数中，，此函数图像的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，当时，，，，选项 A正确． 9.【答案】  【解析】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：设与的函数关系式为，  时，，  ，  得，  ，  当时，，  故答案为：． 根据题意可以求得与的函数关系式，从而可以求得当时对应的值，本题得以解决． 本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出与的函数关系式，利用一次函数的性质解答． 11.【答案】  【解析】解：如图，连接． ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 连接，根据圆周角定理求出的度数，由垂径定理和圆心角、弧、弦的关系求出的度数，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数即可． 本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 12.【答案】  【解析】  解：四边形为菱形，  ，，，，  ，  ，  ，  ，  ，   负值已舍去，  ，  ，  ，  ，舍去，  ，，  ，  故答案为：． 根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论． 本题考查了菱形的性质，勾股定理以及直角三角形的性质，解题的关键是利用菱形的性质求出、的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的性质结合 勾股定理求出对角线的长度是关键． 13.【答案】   【解析】解：， 原式 ． 先利用平方差公式，完全平方公式进行因式分解， ，， 原式 ． 利用学到的绝对值化简，二次根式运算，负指数幂运算，特殊角的三角函数求解； 进行因式分解，再约分． 本题考查了实数的运算与分式的化简，利用绝对值的化简，负整数指数幂的求解公式进行运算，记住特殊角的三角函数值． 14.【答案】，图见解析；   ；   估计七年级参加项目学生有人．  【解析】抽样调查的学生人数为人， 组人数为人， 补全条形统计如图． 项目人数为人，总人数为人， 所占圆心角； 人， 估计七年级参加项目学生有人． 根据题意可以求得调查的总人数，从而可以求得的人数，进而可以将条形统计图补充完整； 根据部分所占的百分比即可得到部分所占的圆心角； 用乘以参加项的学生的人数所占的百分比即可求解． 本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 15.【答案】购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元  最多可购进乙型头盔个  【解析】解：设购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元， 根据题意得， 解得， 即购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元． 答：购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元； 设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个， 根据题意得：， 整理得，， 解得， 的最大值为， 答：最多可购进乙型头盔个． 根据题意，找出等量关系，列方程组，求解即可； 根据题意，列不等式，求解即可． 本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的实际应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意． 16.【答案】是的直径，   ，即，   ，   ，   ，   ，   ，   ，   ，即，   ，   是的半径，   与相切． 【解析】证明：是的直径，  ，即，  ，    ，  ，  ，  ，  ，即，  ，  是的半径，  与相切；  解：设半径，则，，  ，，  ，  在中，，即，  ，  ，  解得，  ，，  在中，，  ，  ． 根据“直径所对的圆周角是直角”，易证，再根据等腰三角形的性质，易证，，利用等量代换，可证，即，最后根据切线的判定，即可求证；  设半径，则 ，，根据圆周角定理的推论，可得，从而，利用余弦的定义，列方程求解，可得、的值，最后根据勾股定理，即可求解． 本题考查直线与圆的位置关系，圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 17.【答案】解：任务一、设水柱所在抛物线的函数解析式为：  由题意得：抛物线经过的点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为    解得：  水柱所在抛物线的函数解析式为：；  任务二、当时，  ，    解得：，    任务三、    薄膜所在平面可看成是一条直线  薄膜所在平面和地面的夹角是，  薄膜所在平面的直线解析式为：  当薄膜所在直线与水柱所在抛物线相切时，        只有一个交点，          直线与轴的交点为  过点作于点，且，过点作，交轴于点    由题意得：，  米  米  答：薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离为米．  【解析】抛物线经过的点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，设水柱所在抛物线的函数解析式为：，把点、、的坐标代入抛物线，求得，，的值，即可得到水柱所在抛物线的函数解析式；  取农民的身高，求得的值即为这位农民与喷水口的水平距离，即可求得的取值范围；  薄膜所在平面可看成是一条直线，解析式可设为：，求得此直线与抛物线相切时的值，进而把直线向右平移米，得到新的直线解析式，取，即可求得薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离． 本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：直线与轴轴的夹角为，直线解析式的比例系数的绝对值等于；二次函数左右平移，不改变二次项的系数，只改变自变量的值，左加右减． 18.【答案】证明：四边形是矩形，对角线与相交于点，如图所示： ，，， ， ， 是的垂直平分线， ，，， 在和中， ， ≌， ， ， 四边形是菱形， ；   解：线段与满足的数量关系是：，位置关系是：，理由如下： 延长到，使，连接，如图所示： 四边形是菱形，， ，， ，，， 为的中点， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ，， 是等边三角形， ， 又，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， 在中，， ， ， 又， 是等边三角形， ， ，， 在中，， ， 由勾股定理得：， 线段与满足的数量关系是：，位置关系是：  【解析】证明：四边形是矩形，对角线与相交于点，如图所示： ，，， ， ， 是的垂直平分线， ，，， 在和中， ， ≌， ， ， 四边形是菱形， 解：四边形是菱形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； 解：线段与满足的数量关系是：，位置关系是：，理由如下： 延长到，使，连接，如图所示： 四边形是菱形，， ，， ，，， 为的中点， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ，， 是等边三角形， ， 又，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， 在中，， ， ， 又， 是等边三角形， ， ，， 在中，， ， 由勾股定理得：， 线段与满足的数量关系是：，位置关系是：． 证明是的垂直平分线得，，，再证明和全等得，进而得，由此即可得出结论； 根据菱形性质得，则，再根据平分得，则，由此得，继而可得出的度数； 延长到，使，连接，证明和全等得，，进而得，证明和都是等边三角形得，，再证明，进而依据“”判定和全等得，，根据得，由此得是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得，，据此即可得出线段与之间满足的数量及位置关系． 本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，理解矩形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造等边三角形和全等三角形是解决问题的难点． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $