精品解析：江苏南京市金陵中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

金陵中学2025～2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题：从品 审题：朱骏 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 设，则（ ） A. 511 B. 512 C. 1023 D. 1024 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，令，得， 令，得， 所以. 2. 已知随机变量，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得，， 所以， 所以. 3. 若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据圆的弦长公式可得. 【详解】由圆，圆心，半径. 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为，所以，化简得，解得. 故选：A. 4. 已知在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式即可求解. 【详解】如图，平行六面体中， 向量、、两两的夹角均为， 且，，， . ， 故选：A. 5. 某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据： 5 6 8 9 12 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列选项错误的是（ ） A. 样本中心点为 B. C. 时，残差为 D. 相关系数 【答案】B 【解析】 【分析】由回归直线必过样本中心可判断A项，代入样本中心点即可判断B，由残差公式可判断C项，由线性回归方程的斜率即可相关系数正负可判断D项. 【详解】对于A项，因为，， 所以样本中心点为，故A项正确； 对于B项，由回归直线必过样本中心可得：，解得：，故B项不正确； 对于C项，由B项知，，令，则， 所以残差为，故C项正确； 对于D项，经验回归方程中，斜率，说明与正相关， 故相关系数，故D项正确. 6. 若圆锥的底面直径与球的直径相等，且圆锥的体积与球的体积相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆锥底面直径为，圆锥的高为，则圆锥底面半径为，球的半径为 圆锥的体积与球的体积相等，所以，解得， 所以圆锥母线长为：， 所以圆锥侧面积，球的表面积， 所以，即圆锥的侧面积与球的表面积之比为. 7. 已知随机变量和，其中，且.若的分布列如下表，则（ ） 1 2 3 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用分布列的性质和期望的性质，列出方程，联立方程组求得，结合期望与方差的计算公式，即可求解. 【详解】由随机变量的分布列，可得，即 又由，且，可得，可得， 所以，即， 联立方程组，解得， 又由， 得， 所以. 8. 已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出方程的全部正整数解，即基本事件总数，为x，y，z中的最大值，则可能的取值为，然后分别求出对应的概率即可. 【详解】根据隔板法，将看做个完全相同的小球排成一排，中间形成的个空，放入两块隔板，可求得正整数解有组，可能的取值为，不妨设，则，下分类讨论： ， ；， ， ； ， ；， 但根据的对称性，上述每一组解的结果数还要乘以，于是则有： ，，， ， 于是 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是双曲线：右支上一点，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，，则（） A. 的离心率为2 B. 的渐近线方程为 C. D. 的面积为3 【答案】AC 【解析】 【详解】 由题意得，，，即，，. 焦点，，离心率，渐近线方程为，所以A对、B错； 设，则，又，所以，解得或（舍去），所以或， 所以，C对； ，高为，面积，D错. 10. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“先从甲箱中取出2个球中恰有个红球”为事件（），“从乙箱中取出1个球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出事件的概率，再分别求出在这三种情况下事件的条件概率，利用全概率公式求，最后利用贝叶斯公式求，逐项判断即可. 【详解】由题意，，故A不正确；. 当事件发生时，从甲箱移入乙箱的是个红球和个黑球， 此时乙箱中共有个红球、个黑球，共个球，所以故B正确； 再由全概率公式， 当发生时，移入乙箱的是个黑球，此时乙箱中有红黑，则 当发生时，移入乙箱的是个红球，此时乙箱中有红黑，则 于是，故C 不正确. 最后由贝叶斯公式，，故D正确. 11. 如图，曲线（）上的点与轴非负半轴上的点，（）构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，…，（为坐标原点）.设的斜边长为，点，的面积为，，则（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等腰直角三角形的性质可知，点在斜边的中垂线上，且到轴的距离等于斜边长的一半,再结合点在曲线 上，可以建立 与相邻两个横坐标之间的关系，从而求出，最后逐项判断各选项. 【详解】设 因为是斜边在轴上的等腰直角三角形，所以： 为斜边，故 点在斜边的中垂线上，因此 直角顶点到底边轴的距离等于斜边长的一半，因此 又因为在曲线 上，所以 于是有再由 ，得 即所以 同理，对下一项有 故 整理得 即 由于，所以 故数列 为等差数列. 当时，，于是 解得因此所以A正确. 再由得 故B中的 错误，所以B错误. 又因为等腰直角三角形的面积为 代入，得 于是所以C正确. 再看 D：， 当 时， 所以 从而所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校要从4名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则______. 【答案】1 【解析】 【详解】由题意可得，的取值为， ， ， ， . 13. 已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是______；得0分的概率是______. 【答案】 ①. 0.24## ②. 0.36## 【解析】 【分析】设相应事件，由题意可得，根据对立事件结合条件概率公式分析求解. 【详解】设“第一问做出”为事件A，“第二问做出”为事件B， 由题意可得：， 则， 所以，即此题得满分的概率是0.24； 所以，即此题得0分的概率是0.36. 故答案为：0.24；0.36. 14. 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解； 法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是50岁以上人群，该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对400个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为，方差为，如果认为超过天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，50岁以上人数占，长期潜伏人数占25%，其中50岁以上长期潜伏者有60人. （1）请根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关； 列联表，单位：人 50岁以下(含50岁) 50岁以上 总计 长期潜伏 非长期潜伏 总计 （2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请结合原则通过计算概率解释其合理性； 附： 若，， 【答案】 50岁以下(含50岁) 50岁以上 总计 长期潜伏 40 60 100 非长期潜伏 80 220 300 总计 120 280 400 ，有以上的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；（2）因为， 所以潜伏期超过14天的概率很低，因此14天是合理的 【解析】 【分析】（1）根据条件完善表格，然后算出即可； （2），且，然后可得答案. 【详解】（1）列联表，单位：人 50岁以下(含50岁) 50岁以上 总计 长期潜伏 40 60 100 非长期潜伏 80 220 300 总计 120 280 400 ， 所以有以上的把握认为“长期潜伏”与年龄有关. （2）略 16. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，进而得，解方程并结合通项公式求解即可； （2）由题知，，进而根据裂项求和求解即可得，进而根据的单调性求解即可. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为d， 因为，． 所以，解得， 所以 【小问2详解】 证明：由（1）可知， 所以． 所以 ， 因为， 所以，即数列为单调递增数列， 又， 所以，即. 17. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】（1） （2）且. 【解析】 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. 【小问2详解】 在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 18. 椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）当直线的斜率为1时，求的面积； （3）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的标准方程与几何性质，列出方程组求解即可； （2）联立直线与椭圆方程，从而利用弦长公式求得，再利用点线距离公式求得，由此即可求得的面积； （3）分类讨论，当平行于轴时，判断得点在轴上；当垂直于轴时，进一步求得；当不平行于轴且不垂直于轴时,验证得满足一般情况，从而得解. 【小问1详解】 根据题意，得，解得， 椭圆C的方程为. 【小问2详解】 依题意，设，则直线为，即， 联立，消去，得， 所以，， 故， 又因为到直线的距离为， 所以. 【小问3详解】 当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件， 则有，即， 所以点在轴上，可设的坐标为； 当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件， 则有，即， 解得或， 所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为； 当不平行于轴且不垂直于轴时,设直线方程为， 联立，消去，得， 易得,， 又因为点关于轴的对称点的坐标为， 又，， 则， 所以，则三点共线， 所以； 综上：存在与点不同的定点，使恒成立，且. . 【点睛】方法点睛： （1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 19. 近年来，数学标准化测试中出现了一种新题型：多项选择题.假设该类型题目在，，，这4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得6分，部分选对得部分分（有两个选项正确时每个正确选项得3分，有三个选项正确时每个正确选项得2分），有选错的得0分. （1）假设某道多项选择题有三个正确选项，某考生因不会做而随机蒙选一种答案，可以只含一个选项、只含两个选项或只含三个选项，且蒙选每种答案的可能性相等，记该考生本题得分为，求的分布列和数学期望； （2）若某次测试共有（）道多项选择题.记事件（）为正确选项有个，第（且）题事件的概率为.假设各题的正确选项个数有如下规律：第一题正确选项为两个的概率为；若第（且）题正确选项为两个，则第题正确选项为两个的概率为；若第（）题正确选项为三个，则第题正确选项为三个的概率为. ①证明：为等比数列，并求出； ②若某考生第题蒙选，记表示该生第题的得分，求出. 【答案】（1）分布列见详解，期望为； （2）①证明见详解，；②. 【解析】 【分析】（1）首先分析各个得分的样本点，再计算相关分布列和期望即可； （2）①构造得，再求出首项即可证明并求出； ②分析得的取值为0，4，6，再求出其分布列和期望值. 【小问1详解】 不妨设该道多选题的正确答案为, 该考生可能的选项有：共14个样本点， 故考生得0分包含的样本点有，共7个； 得2分包含的样本点有，共3个； 得4分包含的样本点有共3个； 得6分包含的样本点有， 所以， 故的分布列为 所以． 【小问2详解】 ①由题意知， 所以， 又，所以， 所以是以为首项，以为公比的等比数列． 所以，所以． ②由①知， 由题意知的取值为0，4，6， 所以， ， ， 所以， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金陵中学2025～2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题：从品 审题：朱骏 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 设，则（ ） A. 511 B. 512 C. 1023 D. 1024 2. 已知随机变量，若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 4 D. 8 5. 某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据： 5 6 8 9 12 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列选项错误的是（ ） A. 样本中心点为 B. C. 时，残差为 D. 相关系数 6. 若圆锥的底面直径与球的直径相等，且圆锥的体积与球的体积相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量和，其中，且.若的分布列如下表，则（ ） 1 2 3 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则（ ） A. B. C. 5 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是双曲线：右支上一点，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，，则（） A. 的离心率为2 B. 的渐近线方程为 C. D. 的面积为3 10. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“先从甲箱中取出2个球中恰有个红球”为事件（），“从乙箱中取出1个球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，曲线（）上的点与轴非负半轴上的点，（）构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，…，（为坐标原点）.设的斜边长为，点，的面积为，，则（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校要从4名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则______. 13. 已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是______；得0分的概率是______. 14. 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是50岁以上人群，该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对400个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为，方差为，如果认为超过天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，50岁以上人数占，长期潜伏人数占25%，其中50岁以上长期潜伏者有60人. （1）请根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关； 列联表，单位：人 50岁以下(含50岁) 50岁以上 总计 长期潜伏 非长期潜伏 总计 （2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请结合原则通过计算概率解释其合理性； 附： 若，， 16. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）若，求证：． 17. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 18. 椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）当直线的斜率为1时，求的面积； （3）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 近年来，数学标准化测试中出现了一种新题型：多项选择题.假设该类型题目在，，，这4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得6分，部分选对得部分分（有两个选项正确时每个正确选项得3分，有三个选项正确时每个正确选项得2分），有选错的得0分. （1）假设某道多项选择题有三个正确选项，某考生因不会做而随机蒙选一种答案，可以只含一个选项、只含两个选项或只含三个选项，且蒙选每种答案的可能性相等，记该考生本题得分为，求的分布列和数学期望； （2）若某次测试共有（）道多项选择题.记事件（）为正确选项有个，第（且）题事件的概率为.假设各题的正确选项个数有如下规律：第一题正确选项为两个的概率为；若第（且）题正确选项为两个，则第题正确选项为两个的概率为；若第（）题正确选项为三个，则第题正确选项为三个的概率为. ①证明：为等比数列，并求出； ②若某考生第题蒙选，记表示该生第题的得分，求出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $