精品解析：山东菏泽市2025-2026学年高一第二学期期中学情检测数学试题

2025-2026学年度第二学期高一期中学情检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I部分（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若， 则 B. 若，则 C. 若， 则 D. 若 则 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量、零向量、平行向量的概念逐一判断即可. 【详解】对A，，但，不一定同向，所以，不一定相等，错误； 对B，向量不能比较大小，错误； 对C，若，则，错误； 对D，若，则，长度相等，且方向相同，所以，正确. 故选：D 2. 若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】若复数(是虚数单位)是纯虚数，则，解得. 故选：A 3. 已知向量，若点不能构成三角形，则实数应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】点不能构成三角形，故共线， 故，解得. 4. 在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助大边对大角可得A；借助三角形内角和计算可得B；借助三角形三边关系可得C；计算可得，即可得D. 【详解】对A：由，则，则，由、，与矛盾， 故不存在这样的三角形，故A错误； 对B：，则三角形各角度固定且有一边长固定， 故该三角形有且只有一个，故B正确； 对C：由，故不存在这样的三角形，故C错误； 对D：，则， 故满足题意的三角形有两个，故D错误. 5. 欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，复数的模长等于（ ） A. B. C. 2 D. -2 【答案】A 【解析】 【详解】    ， ​因此结果为​，选A 6. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件先求出中的两边，再利用余弦定理求即可. 【详解】由题意，可得， 且，在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得： 所以． 故选：D． 7. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：的面积， ， ， 则， ， ， ， ，，， ， ． 故选：D． 8. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，因为点在上，则，又，利用平面向量的基本定理求出的值，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系． 已知，，，得，， ，，， ，， ，， 因为点在上，则， 又，且、不共线， 可得，且，解得． ， ． 故选：D． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B. C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可得，再利用复数的概念、复数的模、共轭复数的概念以及复数的几何意义逐一判断即可. 【详解】， 对于A，复数z的虚部是，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，复数z的共轭复数是，故C正确； 对于D，，在复平面内，对应点的坐标为， 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故D正确. 故选：CD 10. 已知向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 设函数，则的最大值为2 C. 的最大值为 D. 若，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助向量垂直性质结合数量积公式计算可得A；借助数量积公式与辅助角公式计算可得B；借助数量积与模长的关系，结合辅助角公式计算即可得C；借助投影向量定义计算可得D. 【详解】对A：若，则，即，故A正确； 对B：， 由，则当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故B正确； 对C：因，则 ， 当且仅当时，等号成立，故C错误； 对D：若，则， 则在上的投影向量为，故D正确. 11. 如图，，点在由射线､线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则下列对于的取值可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】因为, 所以设， 解得：，因此， 根据平行四边形法则可知：，所以， 若点在的延长线上，根据三点共线的向量定理得， 所以，则需要满足的条件为： A选项，，不满足条件，故A选项错误； B选项，满足，故B选项正确； C选项，，不满足条件，故C选项错误； D选项，满足，故D选项正确. 第II部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算和相等复数建立关于a的方程，解之即可. 【详解】， 所以，解得. 故答案为：1 13. 在△中，若，,,求△的面积__________________ 【答案】或 【解析】 【分析】由题意首先由余弦定理求得BC的值，然后利用面积公式求解△ABC的面积即可. 【详解】在中，设，由余弦定理可得， ，，或． 当时，的面积为， 当时，的面积为， 故答案为或． 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 14. 已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点是圆内部一点及，结合向量数量积公式求出的范围，再根据模长公式求出的表达式，进而求解即可. 【详解】因为点是圆上一点，，所以， 因为， 所以， 设与的夹角为，， 则，所以， 又，所以， 又点是圆内部一点，所以， 综上； ， 因为，所以，则， 所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（为虚数单位）. （1）若，求复数的共轭复数及； （2）若是关于的方程的一个虚根，求实数的值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）设，借助复数运算法则计算即可得，再利用共轭复数定义与模长公式计算即可得解； （2）将代入方程计算即可得解. 【小问1详解】 设， 则， ， 则，解得，即， 则复数的共轭复数为，； 【小问2详解】 由题意可得， 化简得， 即有，解得. 16. 在中，内角所对的边分别为. （1）若，求和的大小； （2）若，求和的值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算可得； （2）借助余弦定理计算可得，再利用正弦定理计算即可得. 【小问1详解】 由，可得， 由余弦定理，可得， 即，则； 【小问2详解】 由余弦定理，可得， 即，解得， 则由正弦定理可得. 17. 如图，在等边中，，点在边上，且，过点的直线分别交射线于不同的两点. （1）设，试用表示，并求； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）借助平面向量线性运算法则计算可用表示出，再利用模长与数量积关系计算即可得； （2）结合（1）中所得，可用、表示，再利用平面向量三点共线定理可得，最后由基本不等式中“1”的活用计算即可得的最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， ； 【小问2详解】 由（1）知，由， 则， 由、、三点共线，故， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为. 18. 在锐角中，角的对边分别为，已知且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助两角和的余弦公式计算即可得； （2）借助余弦定理计算可得，再利用面积公式计算即可得的面积； （3）利用正弦定理可用角表示边，再利用三角函数性质计算即可得解. 【小问1详解】 ， 则， 即，又，故， 则，即，又，故； 【小问2详解】 由余弦定理，可得， 即，解得（负值舍去）， 故； 【小问3详解】 由正弦定理可得， 则，， 故 ， 由，可得，则， 则，即. 19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题： （1）已知向量满足，求的值； （2）若，用坐标表示； （3）在平面直角坐标系中，锐角三角形满足点，且，求面积的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助向量夹角公式可求出，再利用同角三角函数基本关系结合所给定义计算即可得解； （2）利用向量夹角公式、同角三角函数基本关系、模长与数量积关系结合所给定义计算即可得解； （3）利用（2）中所得可得，则可得，再利用面积公式可得，结合为锐角三角形，可得，解出可得范围，再利用余弦定理即可得 范围，则可得范围，即可得面积的范围. 【小问1详解】 ，则， 则； 【小问2详解】 ， 则 ， 故； 【小问3详解】 ，， 由（2）可得，即， 则， 又，故， 由为锐角三角形，则，即， 解得或， 设， 则， 令，当时，递减， 则； 当时，递增，则； 故，则， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高一期中学情检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I部分（选择题共58分） 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若， 则 B. 若，则 C. 若， 则 D. 若 则 2. 若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 0 3. 已知向量，若点不能构成三角形，则实数应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角的对边分别为，符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ） A. B. C. D. 5. 欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”.依据欧拉公式，复数的模长等于（ ） A. B. C. 2 D. -2 6. 猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉．如图，计划在猫儿山的两个山顶间架设一条索道．为测量间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点，在处测得山顶的仰角分别为和，测得两个山顶的高分别为，且测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B. C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 10. 已知向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 设函数，则的最大值为2 C. 的最大值为 D. 若，则在上的投影向量为 11. 如图，，点在由射线､线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则下列对于的取值可能正确的是（ ） A. B. C. D. 第II部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则________． 13. 在△中，若，,,求△的面积__________________ 14. 已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数（为虚数单位）. （1）若，求复数的共轭复数及； （2）若是关于的方程的一个虚根，求实数的值. 16. 在中，内角所对的边分别为. （1）若，求和的大小； （2）若，求和的值. 17. 如图，在等边中，，点在边上，且，过点的直线分别交射线于不同的两点. （1）设，试用表示，并求； （2）设，求的最小值. 18. 在锐角中，角的对边分别为，已知且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）求的取值范围. 19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题： （1）已知向量满足，求的值； （2）若，用坐标表示； （3）在平面直角坐标系中，锐角三角形满足点，且，求面积的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $