精品解析：山东省菏泽市2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题(A)

2024—2025学年度第二学期期中考试 高一数学试题（A） 2025.04 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘、除法运算可得，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】， 所以z在复平面内对应的点为，位于第一象限． 故选：A 2. 已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，，则原平面图形的面积是（ ） A. 16 B. 18 C. D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法可得原图形中的长度，故可求其面积. 【详解】由直观图可得且，故原平面图形的面积为， 故选：B. 3. 如果是空间中两条直线，下列说法正确的是 A. 要么相交，要么平行 B. 要么相交，要么异面 C. 要么平行，要么垂直 D. 不相交时，要么平行，要么异面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线的位置关系的类型可得正确的选项. 【详解】空间直线间的位置关系有相交，平行或异面， 故D正确； 故选：D. 4. 若，，若，则（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标形式可求，故可求的值. 【详解】因为，故即，故， 故， 故选：C. 5. 已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且，，则球的半径为 （ ） A. 5.5 B. 6 C. 6.5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得三棱柱为直三棱柱，将直三棱柱补成长方体，则长方体的体对角线即可为外接球的直径，即可得解. 【详解】∵三棱柱的6个顶点都在球O的球面上， 则三棱柱为直三棱柱， 又∵，则可将直三棱柱补成长方体， ∴直三棱柱的外接球即为长方体的外接球， 故球O的直径为 ∴球O的半径为. 故选：C. 6. 已知非零向量，满足，向量在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合在方向上的投影向量的形式可求两者的数量积，故可求. 【详解】在方向上的投影向量为，故， 故，而，故， 故， 故选：A. 7. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】A 【解析】 【分析】由题设作示意图，应用正弦定理求B，C两点间的距离即可. 【详解】由题设可得如下示意图，且，即， 由图知：，则，又， 所以，则海里. 故选：A 8. 已知O为的内心，三个角对应的边分别为，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算结合角平分线性质可得，再利用余弦定理和数量积的运算律可得计算结果. 【详解】连接并延长，交于， 因为O为的内心，故为角平分线，由角平分线的性质可得， 同理， 而，故，且，故， 故， 而，故， 故， 故 ， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的有（ ） A. 平行四边形的直观图还是平行四边形 B. 菱形的直观图还是菱形 C. 梯形的直观图可能不是梯形 D. 正三角形的直观图不一定是等腰三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据斜二测画法的性质可得正确的选项. 【详解】由斜二测法画图可知原图中的平行关系在直观图中仍然平行， 原图中平行线段长度的比例关系在直观图中保持不变， A：平行四边形的直观图为平行四边形，正确； B：菱形的直观图应该是平行四边形，错误； C：梯形的直观图仍然是梯形，错误； D：正三角形的直观图中高为原来的一半且与底面成45°，其不为等腰三角形，错误. 故选：BCD. 10. 已知复数，，，则（ ） A. 若，，的虚部依次为，，，则 B. 若，，的实部依次为，，，则 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算以及除法运算可得,即可根据模长公式以及实部虚部共轭复数的概念，结合选项逐一求解. 【详解】，，， 则，，的虚部分别为，，1，因为，故A不正确； 因为，，的实部分别为1，3，9，，故B正确； 因为，所以，故C正确； ，故D正确， 故选:BCD. 11. 如图，在中，与交于点，是的靠近的三等分点，是的中点，且有，，则（ ） A. B. C. D. 过作直线分别交线段于点，设，（，），则的最小值为2. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算法则计算可判断A，B，C；利用共线定理的推论可得，然后妙用“1”可判断D. 【详解】对于A，B，C，因，依题意，代入， 得，因为三点共线，且三点共线， 所以，得，所以A对，B错； 由可得， 故， 故C正确； 对于D，，，， 则，因为M、G、N三点共线， 则，即， 由， 当且仅当，即时取得等号．所以D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据模长关系结合数量积的运算律分析求解. 【详解】由题意可得：， 所以. 故答案为：. 13. 如图，圆锥的底面圆半径为1，侧面积为，一只蚂蚁要从点沿圆锥侧面爬到上的点，且，则此蚂蚁爬行的最短路径长为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意求出圆锥的母线长，然后将圆锥的侧面展开，如图，则可知此蚂蚁爬行的最短路径长为，求出扇形的圆心角，再利用余弦定理可求得结果. 【详解】设，利用扇形的面积公式得，解得， 所以侧面展开图的扇形的半径为3，弧长为，所以圆心角为， 沿母线裁开，将圆锥的侧面展开，如图所示， 因为，所以，连接，则为最短距离， 由余弦定理得， 所以，即此蚂蚁爬行的最短路径长为. 故答案为： 14. 在正四面体中，为边的中点，过点作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积，最小的截面面积为，则__________；若记该正四面体内切球和外接球的体积分别为和，则__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将正四面体放置于正方体中，则正方体的外接球就是正四面体的外接球．由外接球的直径等于正方体的对角线长，求出外接球的半径，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值T、最大值S，可得；用等体积法求出正四面体内切球的半径，进而得出其体积，再求出外接球的体积，即可得出． 【详解】将正四面体放置于正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是正四面体的外接球，外接球的球心O为正方体的体对角线DF的中点， 设正四面体的棱长为，则正方体的棱长为， 因为外接球的直径等于正方体的对角线长， 所以外接球的半径为， E为BC边的中点，过E作该正四面体外接球的截面， 当截面过球心O时，截面面积最大，最大值为， 当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积取最小值， 此时球心O到截面的距离为，可得截面圆的半径为， 从而截面面积的最小值为．所以； 设正四面体内切球的球心为G，半径为， 取底面BCD的中心H，连接AH，则AH为正四面体的高，G在AH上，H在DE上， 正四面体的每个面的面积为， ，正四面体的高， 故正四面体的体积为， 连接G与正四面体的4个顶点可以得到4个的正三棱锥，每个正三棱锥体积为，则， 所以，求得， 故正四面体内切球的体积， 正四面体外接球的半径为，外接球的体积为， ． 故答案为：；27． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）在中，，求周长的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，故可求. （2）首先利用余弦定理得到，再利用正弦定理面积公式求解即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理可得， 因为，所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 ，故， 故，当且仅当时等号成立， 故周长的最大值为. 16. 已知，，（）. （1）当为何值时，最小？ （2）当为何值时，与的夹角最小？ 【答案】（1）时, 最小 （2）时，与的夹角最小，此时与平行. 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标运算，将表示成关于的二次函数，再借助二次函数的最值即可求解作答. （2）根据与共线同向可求的值. 【小问1详解】 因，则， 于是得， 当时， 最小，此时，，则， 所以当时， 最小为. 【小问2详解】 设与的夹角为，有，而在上单调递减， 要最小，则当且仅当最大， 显然的最大值为，此时，即与共线同向， 由（1）的向量坐标可得，故， 所以时，与的夹角最小. 17. 请按所学立体几何相关内容，解答下面2个问题： （1）一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比. （2）已知正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2cm和4cm，侧棱长为2cm，求该棱台的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两者底面积、侧面积的关系可得正方体棱长、圆柱半径、母线长的关系，故可求它们的体积之比； （2）根据对角面可求体高，故可求体积. 【小问1详解】 设正方体的棱长为，圆柱底面半径为，母线长为， 则且，故，， 故正方体的体积与圆柱的体积之比为. 【小问2详解】 如图，连接，则， 由侧棱长为可得正四棱台的高为， 故该棱台的体积为. 18. 已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. （1）设，求； （2）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设中的欧拉公式可求. （2）设，根据欧拉公式结合方程可求，故可得方程的解集. 【小问1详解】 依题意，， 所以 . 【小问2详解】 设， 则， 故，故 故，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点M即为费马点，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若M是的“费马点”，，. （1）求角A； （2）若，求bc的值； （3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围. 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理与和角公式即可推理计算得到； （2）设利用向量数量积定义式和等面积计算即得； （3）利用余弦定理，推理求出，将恒成立转化为在上恒成立问题，求出在上的最小值即得. 【小问1详解】 由可得，， 由正弦定理，，即， 因代入可得：， 因，则，故，得； 【小问2详解】 设则由可得， ，整理得，①， 又由可得，， 整理得，； 【小问3详解】 在中，由余弦定理，，即② 分别在中，由余弦定理，， 将三个等式左右分别相加，， 将①，②代入整理得，，于是， 从而，， 依题意，当时，不等式恒成立，即在上恒成立， 因，当且仅当时等号成立， 故有，即实数n的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合图形利用等面积得到，求得的值；多次利用余弦定理推理得到，从而求得，将不等式恒成立问题转化为求相关函数的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中考试 高一数学试题（A） 2025.04 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的. 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，，则原平面图形的面积是（ ） A. 16 B. 18 C. D. 36 3. 如果是空间中两条直线，下列说法正确的是 A. 要么相交，要么平行 B. 要么相交，要么异面 C. 要么平行，要么垂直 D. 不相交时，要么平行，要么异面 4. 若，，若，则（ ） A. 4 B. C. D. 5 5. 已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且，，则球的半径为 （ ） A. 5.5 B. 6 C. 6.5 D. 7 6. 已知非零向量，满足，向量在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 7. 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 8. 已知O为的内心，三个角对应的边分别为，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的有（ ） A. 平行四边形的直观图还是平行四边形 B. 菱形的直观图还是菱形 C. 梯形的直观图可能不是梯形 D. 正三角形的直观图不一定是等腰三角形 10. 已知复数，，，则（ ） A. 若，，的虚部依次为，，，则 B. 若，，的实部依次为，，，则 C. D. 11. 如图，在中，与交于点，是的靠近的三等分点，是的中点，且有，，则（ ） A. B. C. D. 过作直线分别交线段于点，设，（，），则的最小值为2. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则________________. 13. 如图，圆锥的底面圆半径为1，侧面积为，一只蚂蚁要从点沿圆锥侧面爬到上的点，且，则此蚂蚁爬行的最短路径长为______. 14. 在正四面体中，为边的中点，过点作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积，最小的截面面积为，则__________；若记该正四面体内切球和外接球的体积分别为和，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）在中，，求周长的最大值. 16. 已知，，（）. （1）当为何值时，最小？ （2）当为何值时，与的夹角最小？ 17. 请按所学立体几何相关内容，解答下面2个问题： （1）一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比. （2）已知正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2cm和4cm，侧棱长为2cm，求该棱台的体积. 18. 已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. （1）设，求； （2）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601—1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点M即为费马点，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若M是的“费马点”，，. （1）求角A； （2）若，求bc的值； （3）在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数n的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $