江苏省清江中学2025-2026学年度第二学期期中考试高二数学试卷

江苏省清江中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：何军 审校人：薛文敏 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知C”=C经m-1,则m等于() A.1 B.3 C.1或3 D.1或4 2.已知a=(2,-3,1),6=(-2,1,),若a1b,则x的值为() A.7 B.-8 C.6 D.-5 3.6名同学排成一排照相，其中甲、乙两人相邻的排法共有() A.240种 B.360种 C.480种 D.540种 展开式的7项中，系数为有理数的项共有()项 A.1 B.2 C.3 D.4 5目前你正在做这道遍择题，假设你会做的概率是)，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为109%， 而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为() A.0.625 B.0.75 c.0.5 D.0 6.在正三棱锥P-ABC中，PA=AB=4,点D是棱PC的中点，AE=2E死，则AD.PE=() A.-9 B.-9 c. D.-8 7甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为5%，乙加工的次品率为8%，加工出来的零件混 放在一起，已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的40%，60%，任取一个零件，如果取到的零件是次 品，则它是乙工厂加工的概率为() 3 A.20 c 号 8.已知f(x)=(ax-a-1e+x,若0是f(x)的极小值点，则a的取值范围为() A.[0,+o) B.(1,+o∞) C.(-o,1) D.(-o,0) 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知(1-x)°=a+ax+a2x2+…+a6x,则下列结论正确的是() A.a2=15 B.4+a2+43+…+a6=0 C.ao+a2+a4+a6=64 D.41+2a2+3%+…+6a=0 高二数学第1页（共4页） ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 10.一个不透明箱子中有大小形状均相同的两个红球、两个白球，从中不放回地任取2个球，每次取1个. 记事件A为“第i次取到的球是红球（位=1,2）”，事件B为“两次取到的球颜色相同”，事件C为“两次 取到的球颜色不同”，则() B4)-月 1 A.A与A互斥 C.P(AlC)=3 D.A与B相互独立 11.如图，若正方体ABCD-4B,CD的棱长为2，E,F分别是棱AB,AD的中点，则() A.三个向量AE，BF,BD不可以构成空间的一组基底 D B.直线CF与平面DCE所成角的余弦值为5 A C.平面D,CE截该正方体的内切球所得截面的面积为8” D.四面体CDBC的外接球的表面积为1元 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 足知随机变量X~B(%,p),若E(X)=多，DX)= 则p= 13若函数y=a+cos在区间(0，)上单调递增，则实数a的取值范围是 x 14在长方体ABCD-AB,CD,中，AB=BC=2,A4=5,点P为AD的中点，点M为四边形ABCD内 一点，且PM=MC,则直线PM与平面ABCD所成角的正切值的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)在x+2” 的展开式中，二项式系数和为64，完成下列问题： (1)求n的值并求展开式中的常数项； (2)求2+3x)x+2 展开式中x的系数. 高二数学第2页.（共4页) ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 16.(本小题15分)结合排列组合，解决下列问题.（结果用数字作答） (1)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有多少种放法？ (2)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？ (3)将4封标有序号A,B,C,D的信放到四个标有A,B,C,D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多 少种放法？ 17.(本小题15分)一个盒子中有6个大小重量相同的小球，其中2个白球，4个黑球，甲同学从盒子中分 3次随机抽取，每次抽取1个球. (1)若每次抽出的球放回，求怡有2次抽取到黑球的概率； (2)若每次抽出的球不放回 ①记抽取到的黑球个数为随机变量X,求X的分布列和数学期望； ②在抽取到1个黑球与2个白球铂前提下，求第2次抽到黑球的概率， 高二数学第3页（共4页） Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 18.(本小题17分)如图，在三棱台ABC-AB,C中，AA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA=2,AC=1, M为BC中点，N为AB的中点， (1)求证：AN/平面AMC,: (2)求平面AMC,与平面ACC,A所成锐角的余弦值； (3)求点C到平面AMC的距离， 19.(本小题17分)已知函数f)=ahx+2 (①当a=时，求函数f倒的极值； (2)诺g(x)=a(x2-1)lnx-(x-1)2(a≠)有三个零点，为，西其中为<x2<x. (①求实数a的取值范围； (求证：(1-a(x+x)>1. 高二数学第4页（共4页） Q夸克扫描王 ▣▣ 极速扫描，就是高效可 高二数学参考答案 一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 题号 2 4 5 6 7 8 答案 A D A A D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 题号 9 10 11 答案 AD BD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 13. (m, 14. √15 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】（1)易知2”=64，则n=6,……3分 此时x+2的常数项为C8(2r=160.…6分 (2)n=6, 则问题为求2+3x2)+名 展开式中x的系数 先求x+29 展开式中含的项，易知该项为Cgx(2x)°=x, ……8分 再求x+2 展开式中含x的项，易知该项为Cx(2x）=12.x4,…10分 所以2+3x)名 展开式中含x6的项为2x5+3x12x6=38x5, 所以其系数为38. ……………13分 16.【答案】解：(0)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，有34=81种放 法 …5分 (2)将4封不同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信， 则将4封信分成，1,2三组，有CS=6组， …7分 再分给三个信箱，有64=36种放法； …10分 (3)将4封标有序号A,B,C,D的信放到四个标有A,B,C,D的信箱中， 先确定一组序号相同有C!=4种情况， …12分 其余的全部不同均有2种情况，则共有4×2=8种放法. …5分 17. 【小问1详解】 4 2 若每次抽出的球放回，则每次抽取到黑球的概率为 …2分 6 3 2 则随机抽取3次，恰有2次抽取到黑球的概率P=C 14 …4分 3 3 【小问2详解】 ①由题意知：X所有可能的取值为1,2,3， …5分 421.24121 241 :P(X=1)=22×二+二×2×二+2×=×1= …6分 65465465 1205 高二数学第1页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效百部 432423243723 P(=2)=石×*年+6写×4+。**41205 …7分 P(X=)-6×写412051 432241 ……8分 ·.X的分布列为： X 1 2 3 1 3 1 P 5 5 1 3 1 .数学期望E(X)=1×÷+2×+3×三=2 ………4……10分 5 5 5 ②记事件A为抽取到1个黑球与2个白球”，事件B为“第2次抽到黑球”…1T分 则事件AB为“第1次和第3次抽到白球，第2次抽到黑球”； 2411 P(AB)=2×:× P(4)=P(X=）=5 12分 65415 1 ∴P(Bl4) P（)_5-1 …14分 P(4) 13’ 即在抽取到1个黑球与2个白球的前提下，第2次抽到黑球的概率为 …15分 3 18【详解】.(1) A C B 连接M,CA.由M,N分别是BC,BM的中点，根据中位线性质，W7AC,且N=4C=1, 2 由棱台性质，AC∥AC,于是MN/AC,由MN=AC,=1可知， 四边形MNAC是平行四边形，则ANI/MC, 又AN文平面C,M,MCC平面C,MA,于是AN/平面AMC,…5分 (2)过M作ME⊥AC,垂足为.E,过E作EF⊥AC,垂足为E,连接MF,C,E. 由MEc面ABC,4A⊥面ABC,故A4⊥ME,又ME↓AC,AC044=A,AC,AAc平面ACC,A, 则ME⊥平面ACC4 ………7分 由AC,C平面ACCA,故ME⊥AC,又EF⊥AC,MEOEF=E,ME,EFC平面MEF,于是AC⊥平 面MEF，, 由MFc平面MEF,故AC,⊥MF.于是平面AMC,与平面ACCA所成角 即∠MFE. i…9分 又ME=AB 1,wCaC方，则<C4C-后，故=1n2CC=希：在ar中， 2 2 wr0,联g-写-言 于是cos∠MFE=7-2 …11分 MF 3 高二数学第2页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ (3 M 过C,作CP⊥AC,垂足为P,作C2⊥AM,垂足为2，连接PO,PM,过P作PR⊥C2,垂足为R. 由题干数据可得，CA=C,C=√5，MN//BE 根据勾股定理， c2=5- 32 13分 2 2 由C,P⊥平面AMC,AMc平面AMC,则C,PLAM,又C2⊥AM,C,2∩C,P=C,C2,CPc平面CP2, 于是AM⊥平面CP2. 又PRc平面CPQ,则PR⊥AM,又PR⊥C2,C2∩AM=2,C,2,AMC平面CMA,故PR⊥平面CMA. 在C2中，PRCP2.29 、2、2 …………15分 2C,3W231 2 又CA=2PA,故点C到平面C,MA的距离是P到平面CMA的距离的两倍， 即点C到平面4AMC的距离是 …17分 (用坐标系解法同步得分) 【详解】0当a=爱计，f心以-r甲品，定文城为0+回) f)-32g=32-10x+3-33x- …1分 8x(x+1)28x(x+1)2 8x(x+1)2 令f代>0，得0<x<写或x>3: 令f()<0,得<x<3: 所以函数f(x)的单调递增区间为 0》(民+网，单调遽减区间为行…3分 因比，当x写时，)有极大值，并且极大值为f付)-分如3， 高二数学第3页 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 当x=3时，因有极小值，并且极小值为)=及3 29 …4分 2》0a-h--八=(-+-e-, g)=0,f0)=0,则(：)除1外还有两个零点， re2可 令h(x)=ax2+(2a-2)x+a(x>0), 当a<0时，h(x)<0在(0，+o)恒成立，则f'(x)<0, 所以f(x)在(0，+∞)单调递减，不满足，舍去 …6分 当a>0时，f(x)除1外还有两个零点，则f(x)不单调， 所以h(x)存在两个零点，所以△=(2a-2)2-4a2>0,解得0<a 2 …7分 当0<a<2时，设h()的两个零点为m,m(m<m, 则m+分=名-2>0，Mm1,所以0<防<1<， …8分 a 当0<x<m或x>n时，h(x)>0,fx)>0,函数f()单调递增： 当m<x<n时，h(x)<0,f(x)<0,函数f(x)单调递减； 又f()=0,所以f(m)>0,f()<0, <0,且e<1 …9分 e+1.e3+l …10分 ea+1e“+1 使得fx)=f)=0, 即g()=a(2-llnx-(x-1(a≠0)有3个零点，x=1,, 1 综上，实数a的取值范围为0》】 …11分 ()证明因为 -==-ainx+- =一f(x),…12分 L+l 1+x x+1 所以若f-0,则f-0,所以 名’51， 。…l3分 又0<a<分，所以1-a>2 …15分 +为>2Vx名=2，当且仅当名=为时不等式取等号 所以(1-a(s+x)>1. …17分 高工数学第4页（ ▣紫▣ Q夸克扫描王 色 极速扫描，就是高效