精品解析：2026年湖北省直辖县级行政单位初中学业水平模拟考试数学试题

2026年初中学业水平模拟考试 数学试题 （本卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷第1页装订线内和答题卡上，并在答题卡的规定位置贴好条形码，核准姓名和准考证号． 2．选择题的答案选出后，必须使用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案必须使用0.5mm黑色墨水签字笔填写在答题卡对应的区域内，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. 8 B. C. 0 D. 2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 国家“十五五”规划纲要中指出：国家安全体系和能力进一步加强，能源综合生产能力达到58亿吨标准煤．其中“58亿”用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个含角的三角尺如图放置，若直线，，则的度数是（ ） A. 15° B. 25° C. D. 45° 6. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 调查某种柑橘的甜度情况 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查某班级学生的身高情况 D. 了解一批某品牌电视机的使用寿命 7. 已知点，，将线段平移至，若在轴正半轴上，在轴上，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，（单位：）与（单位：）之间的函数关系如图所示．当时，的值可以是（ ） A. 18 B. 28 C. 38 D. 48 9. 如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、第四象限和点，则这个一次函数的解析式可以是__________． 12. 《西游记》《水浒传》《三国演义》《红楼梦》是我国的四大名著．慧慧同学随机从中选出一部阅读，选中《红楼梦》的概率是__________． 13. 计算的结果是__________． 14. 对于实数，，定义运算“”：，关于的方程有两个不相等的实数根，的取值范围是__________． 15. 如图，在矩形中，，动点，分别以，的速度从点同时出发，点沿边向终点运动，点沿折线向终点运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图所示． （1）__________；（2）__________． 三．解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在四边形中，，．求证：． 18. 如图，为测量塔的高度，某校数学实践小组在点处架设测角仪，在点测得塔顶的仰角为，接着朝塔方向前进米到达处（点，，在同一条直线上），在点测得塔顶的仰角为．已知测角仪的高度米，求塔的高度．（，结果保留整数） 19. 为增强学生安全防范意识和自我防护能力，学校实施“家校社”联合行动，引导学生学会自我保护．学校在学期初和学期末分别对七年级学生进行安全知识测试，两次测试均随机抽取20名学生．根据收集到的数据，将成绩（单位：分）分为四组进行统计：，，，（满分100分，成绩均不低于60分），并绘制了两次测试成绩的平均数、中位数、众数统计表和学期初测试成绩扇形图，部分信息如下． 学期初20名学生的成绩在B组中的数据是：72，72，75，75，75，76，78． 学期末20名学生的成绩是：77，79，83，84，85，85，85，86，88，90，90，94，94，94，94，97，97，99，99，100． 两次抽取学生的测试成绩统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 79 75 学期末 90 90 （1）填空：__________，__________，__________； （2）七年级有400名学生，估计学期末七年级学生安全知识测试成绩可以达到90分及以上的学生人数； （3）该校七年级学生安全防范意识和自我防护能力，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 20. 研数综理融光象，探径合律觅真章、借轴实策寻捷径，知行践悟启智长．某数学兴趣小组结合物理学中的光的反射现象，开展了“探究最短路径与光的反射定律的关系”活动，探究并完成下面填空与证明． 【主题】探究最短路径与光的反射定律的关系 【活动一】“两定一动”型最短路径问题探究： 如图1，已知点，，在轴上找一点，使的值最小： （1）作法：作点关于轴的对称点（ ），连接与轴的交点即为（__________）；（填写坐标） （2）求法：由作法知：，的长度是__________； （3）说理：的依据是__________，轴上的点到，距离之和的最小值等于的依据是__________； 【活动二】“光的反射定律”的数理探究：光的反射遵循“反射角等于入射角”的规律． 如图，已知光源位于点，将轴视为平面镜，在轴上确定点，使光线经过点反射后恰好过点； （4）应用：运用活动一的作法，可得（__________）；（填写坐标） （5）悟理：如图2，过点作轴于点，证明：． 21. 如图，是外一点，与交于点，是上一点，，于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 某商店销售制作艾草香包的原材料，已知每件种材料的价格比每件种材料的价格多3元，用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同． （1）求每件种材料和种材料各多少元？ （2）张老师准备在劳动课上带领同学们制作艾草香包，需购买A，B两种材料．若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元．设购买种材料件． ①若A，B两种材料按原价销售，求的取值范围； ②张老师到达商店后，发现商店正在做促销活动：A种材料打八折，B种材料不打折．若张老师合计付款330元，求的值． 23. 如图1，在正方形中，，为对角线的交点，是边上一动点（不与，重合）． （1）当时，的长是__________； （2）探究与存在怎样的数量关系，并说明理由； （3）如图2，，是边上两点，，，求的长． 24. 已知抛物线过点和． （1）抛物线的对称轴是__________； （2）若直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，过点作轴的平行线，直线与抛物线交于，两点，点在点的左边． ①求点的坐标； ②设的面积为，求的最小值及此时抛物线的解析式； ③点在②中所求抛物线上，横坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为．当为直角三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试 数学试题 （本卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷第1页装订线内和答题卡上，并在答题卡的规定位置贴好条形码，核准姓名和准考证号． 2．选择题的答案选出后，必须使用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案必须使用0.5mm黑色墨水签字笔填写在答题卡对应的区域内，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列四个数中，最大的数是（ ） A. 8 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 负数小于0，0小于正数， ∴ ，且，， 比较与的大小， ∵ ，， 又∵ 对两个正数，平方越大对应数越大，且 ， ∴ ， 综上可得： ， ∴最大的数是． 2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 国家“十五五”规划纲要中指出：国家安全体系和能力进一步加强，能源综合生产能力达到58亿吨标准煤．其中“58亿”用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：亿. 4. 下列各式计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、合并同类项、同底数幂乘法等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂乘法逐项判断即可解答． 【详解】解：A． ，故该选项不符合题意； B． ，故该选项符合题意； C． 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； D． ，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 一个含角的三角尺如图放置，若直线，，则的度数是（ ） A. 15° B. 25° C. D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知再根据平行线的性质得，然后根据得出答案． 【详解】解：如图所示， 根据题意，可知 ∵， ∴， ∴． 6. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 调查某种柑橘的甜度情况 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力 C. 调查某班级学生的身高情况 D. 了解一批某品牌电视机的使用寿命 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全面调查的适用场景，根据定义，全面调查适用于调查范围小、无破坏性、要求结果准确的调查，具有破坏性或范围较大的调查适合抽样调查，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵A调查柑橘甜度，B调查汽车抗撞击能力，D调查电视机使用寿命，这三项调查都具有破坏性，且调查对象数量多，适合抽样调查； C调查某班级学生身高，调查范围小，对象数量少，适合全面调查． 7. 已知点，，将线段平移至，若在轴正半轴上，在轴上，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移规律求解，平移规律为：点左右平移时纵坐标不变，横坐标左减右加；上下平移时横坐标不变，纵坐标上加下减． 【详解】解：∵在轴正半轴上， ∴的横坐标为， ∵在轴上， ∴的纵坐标为， 已知，， ∵点原横坐标为，平移后横坐标为，可得线段向左平移个单位长度， 点原纵坐标为，平移后纵坐标为，可得线段向下平移个单位长度， ∴点平移后的纵坐标为， ∴的坐标为． 8. 在功（单位：J）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例，（单位：）与（单位：）之间的函数关系如图所示．当时，的值可以是（ ） A. 18 B. 28 C. 38 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】先求出反比例函数的解析式，根据增减性，求出的范围即可. 【详解】解：由题意， 把代入，得， ∴， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴的值可以是18. 9. 如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，根据对称轴的位置及的符号判断的符号，根据抛物线与轴的交点位置判断的符号，再根据当时，，判断的符号即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，  ，故A选项错误；  对称轴为直线，  ， ，  ，故B选项错误；  图象过点，对称轴为直线， 图象与轴的另一个交点为， ，故C选项正确； 当时，，即，故D选项错误． 二．填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 写出一个一次函数，使该函数图象经过第一、二、第四象限和点，则这个一次函数的解析式可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设一次函数解析式为，根据一次函数的图象性质得到的取值范围，再利用待定系数法结合已知点坐标得到的值，取满足条件的值即可写出符合要求的解析式． 【详解】解：设该一次函数的解析式为． 一次函数图象经过第一、二、四象限， ． 函数图象经过点， 将代入得，． 取，满足， 可得一次函数解析式为． 12. 《西游记》《水浒传》《三国演义》《红楼梦》是我国的四大名著．慧慧同学随机从中选出一部阅读，选中《红楼梦》的概率是__________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】确定所有等可能的结果总数，以及符合选中《红楼梦》这一条件的结果数，再代入概率公式计算． 【详解】解：由题意可知，随机选一部名著，所有等可能的结果共种，其中选中《红楼梦》的结果共种， 根据概率公式可得选中《红楼梦》的概率为． 13. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式分解第一个分式的分母，再确定最简公分母通分，合并分子后约分，得到计算结果． 【详解】解： ． 14. 对于实数，，定义运算“”：，关于的方程有两个不相等的实数根，的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据新定义的运算规则，将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程根的判别式，结合方程有两个不相等的实数根得到判别式大于0，解不等式即可得到t的取值范围. 【详解】解：根据定义运算， 将，代入得： ， 展开并整理得：， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， 根的判别式， 其中，，， ， 计算得：， ， 解得. 15. 如图，在矩形中，，动点，分别以，的速度从点同时出发，点沿边向终点运动，点沿折线向终点运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：）的关系如图所示． （1）__________；（2）__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意和函数图象，分析点的运动路径与时间的关系，时对应点到达点，此时计算的面积可得的值；时对应点到达点，此时计算的面积可得的值． 【详解】解：由题意可知，点的速度为，点的速度为， 当时，点在上运动，点在上运动， 此时，， 四边形是矩形， ， ， 当时， ，即； 此时点运动的路程为 ， ， 点到达点， 由图可知，当时，面积达到最大值，且图象发生转折，说明此时点到达点，此时点运动的总路程为， ， ， 此时点运动的路程为 ，即， 四边形是矩形， ，点在边上， 当时，点在上运动，点在上运动， 此时 的底边为，高为， ； 当时，，即． 三．解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 0 【解析】 【详解】解：原式. 17. 如图，在四边形中，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴. 【解析】 【分析】证明四边形是平行四边形，即可得出结论. 【详解】略． 18. 如图，为测量塔的高度，某校数学实践小组在点处架设测角仪，在点测得塔顶的仰角为，接着朝塔方向前进米到达处（点，，在同一条直线上），在点测得塔顶的仰角为．已知测角仪的高度米，求塔的高度．（，结果保留整数） 【答案】塔的高度约为米 【解析】 【分析】延长交于点，利用三角函数关系列出方程，求解即可． 【详解】解：延长交于点，如图，设米， 由题意可得，，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴塔的高度约为米． 19. 为增强学生安全防范意识和自我防护能力，学校实施“家校社”联合行动，引导学生学会自我保护．学校在学期初和学期末分别对七年级学生进行安全知识测试，两次测试均随机抽取20名学生．根据收集到的数据，将成绩（单位：分）分为四组进行统计：，，，（满分100分，成绩均不低于60分），并绘制了两次测试成绩的平均数、中位数、众数统计表和学期初测试成绩扇形图，部分信息如下． 学期初20名学生的成绩在B组中的数据是：72，72，75，75，75，76，78． 学期末20名学生的成绩是：77，79，83，84，85，85，85，86，88，90，90，94，94，94，94，97，97，99，99，100． 两次抽取学生的测试成绩统计表 时间 平均数 中位数 众数 学期初 79 75 学期末 90 90 （1）填空：__________，__________，__________； （2）七年级有400名学生，估计学期末七年级学生安全知识测试成绩可以达到90分及以上的学生人数； （3）该校七年级学生安全防范意识和自我防护能力，学期末比学期初有没有提高？结合统计数据说明理由． 【答案】（1）； （2）估计七年级学生安全知识测试成绩可以达到90分及以上的学生人数为人； （3） 解：该校七年级学生安全防范意识和自我防护能力，学期末比学期初提高了，理由如下： 从平均数看，学期末的平均数大于学期初的平均数， 从中位数看，学期末的中位数大于学期初的中位数， 从众数看，学期末的众数大于学期初的众数， 以上数据均表明学生成绩整体有所提升． 【解析】 【分析】（1）期初20名学生的成绩在B组中的人数除以可得，根据中位数，众数的定义可得； （2）用总人数乘以分及以上的人数所占的比值即可求解； （3）根据学期末和学期初的平均数，中位数及众数比较可得答案． 【小问1详解】 解：学期初20名学生的成绩在B组中的人数有人， ∴， ∴， 学期初20名学生的成绩在A组中的人数有： （人）， ∴学期初20名学生的成绩从小到大排列，排在第和的数是， ∴中位数， 学期末20名学生的成绩出现次数最多的是，共次， ∴众数； 【小问2详解】 解：在学期末抽取的名学生中，成绩在分及以上的有人， ∴估计七年级学生安全知识测试成绩可以达到90分及以上的学生人数为： （人）； 【小问3详解】 略 20. 研数综理融光象，探径合律觅真章、借轴实策寻捷径，知行践悟启智长．某数学兴趣小组结合物理学中的光的反射现象，开展了“探究最短路径与光的反射定律的关系”活动，探究并完成下面填空与证明． 【主题】探究最短路径与光的反射定律的关系 【活动一】“两定一动”型最短路径问题探究： 如图1，已知点，，在轴上找一点，使的值最小： （1）作法：作点关于轴的对称点（ ），连接与轴的交点即为（__________）；（填写坐标） （2）求法：由作法知：，的长度是__________； （3）说理：的依据是__________，轴上的点到，距离之和的最小值等于的依据是__________； 【活动二】“光的反射定律”的数理探究：光的反射遵循“反射角等于入射角”的规律． 如图，已知光源位于点，将轴视为平面镜，在轴上确定点，使光线经过点反射后恰好过点； （4）应用：运用活动一的作法，可得（__________）；（填写坐标） （5）悟理：如图2，过点作轴于点，证明：． 【答案】（1）， （2）10 （3）轴对称的性质；两点之间，线段最短 （4） （5） 证明：如图， ∵点、点关于轴对称， ∴， 又， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标特征求出的坐标，待定系数法求出直线的解析式，然后令，求出x的值，即可求解； （2）连接，根据勾股定理求解即可； （3）根据轴对称的性质和线段公理解答即可； （4）待定系数法求出直线的解析式，然后令，求出x的值，即可求解； （5）根据轴对称的性质得出，然后根据余角的性质即可得证． 【小问1详解】 解：∵，A、关于x轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴，轴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵A、关于x轴对称， ∴； 由（2）知：， ∴轴上的点到，距离之和的最小值等于的依据是两点之间，线段最短； 【小问4详解】 解：作点关于轴对称的点，则，连接交x轴于D， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，，解得， ∴； 【小问5详解】 略 21. 如图，是外一点，与交于点，是上一点，，于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：延长交于点，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵为半径， ∴是的切线； （2）5 【解析】 【分析】（1）延长交于点，连接，根据圆周角定理，垂径定理，等弧对等弦，等边对等角推出，，根据，进而得到，即可得证； （2）设的半径为，则，然后利用相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设的半径为，则， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴，即， 解得， 故的半径为5． 22. 某商店销售制作艾草香包的原材料，已知每件种材料的价格比每件种材料的价格多3元，用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同． （1）求每件种材料和种材料各多少元？ （2）张老师准备在劳动课上带领同学们制作艾草香包，需购买A，B两种材料．若需购买种材料和种材料共50件，且总费用不超过360元．设购买种材料件． ①若A，B两种材料按原价销售，求的取值范围； ②张老师到达商店后，发现商店正在做促销活动：A种材料打八折，B种材料不打折．若张老师合计付款330元，求的值． 【答案】（1）A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； （2）①且m为整数；② 【解析】 【分析】（1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为元，根据用45元购买A种材料的件数和用30元购买B种材料的件数相同列方程求解即可； （2）①设购买种材料m件，则购买种材料件，根据题意列出不等式组求解即可； ②根据张老师合计付款330元列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为元， 依题意， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， ， 答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元； 【小问2详解】 解：①设购买种材料m件，则购买种材料件， 依题意得：． 解得且m为整数． ②依题意得：， 解得． 23. 如图1，在正方形中，，为对角线的交点，是边上一动点（不与，重合）． （1）当时，的长是__________； （2）探究与存在怎样的数量关系，并说明理由； （3）如图2，，是边上两点，，，求的长． 【答案】（1） （2） 解：；理由如下： 同（1）取正方形边的中点F，连接， 则，，， 设，则， 在中，， ∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）取正方形边的中点F，连接，由正方形的性质得出，，再根据三角形中位线的判定和性质得出，，最后根据勾股定理求解即可． （2）同（1）取正方形边的中点F，连接，则，，，设，则，利用勾股定理得出，再求出，即可求解． （3）将绕点O顺时针旋转得到，连接，证明，由全等三角形的性质得出，设，则，，由勾股定理求出y的值，再结合（2）的结论即可求出． 【小问1详解】 解：取正方形边的中点F，连接， ∵是正方形， ∴，， ∵O为与的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，将绕点O顺时针旋转得到，连接， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴，． 由（2）知， ∴， ∴． 24. 已知抛物线过点和． （1）抛物线的对称轴是__________； （2）若直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且，过点作轴的平行线，直线与抛物线交于，两点，点在点的左边． ①求点的坐标； ②设的面积为，求的最小值及此时抛物线的解析式； ③点在②中所求抛物线上，横坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为．当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）①；②；；③，，， 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式进行计算即可求解； （2）①根据题意得出，设，根据根与系数的关系得 ，又 ，得出，即可求解； ②根据题意得出 ，联立抛物线： ，设 ，由根与系数的关系得 得出，根据二次函数的性质求得最值，即可求解； ③由题意得：，，，根据勾股定理分别表示出，分三种直角情况讨论，列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解： 对称轴为直线 【小问2详解】 解：①∵ 在对称轴 上，关于对称轴对称， ∴  ∵ ，，且  两式相减得  设， 令，则， 由根与系数的关系得 ， 又 ， 代入得： ， 解得  ​ 即 ②轴且过 ， 故 ， 联立抛物线：  整理得  设 ， 由根与系数的关系得  则：   的高为 ，故面积  ∵，， 当 时，根号内取最小值5， 故， 此时抛物线解析式为  ③∵点在②中所求抛物线上，横坐标为，则纵坐标为，点在抛物线对称轴上，纵坐标为． ∴，，，分三种直角情况讨论： ，， 点为直角顶点时：， ∴，即 解得：​ 点为直角顶点时：， ∴，即 解得：  ​ 点为直角顶点时：， ∴，即 解得：  ​​ 综上所述，的值为，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $