广西桂林市2025-2026学年中考数学模拟卷1

桂林市2025-2026学年中考数学模拟卷1 （全卷满分120分 考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 将两本相同的课本按如图进行叠放，得到一个几何体，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 若在实数范围内有意义，则a的值可以是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 7 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7．（3分）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（　　） A．y1 B．y2 C．y3 D．y4 8. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点成位似关系．点在轴上，且，若点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10．家住重庆两相邻小区的小明和小华在一次数学课后，进行了一次数学实践活动．如图，在同一水平面从左往右依次是小明家所在的居民楼、小华家所在的小洋房、背靠小华家的一座小山，实践内容为测量小山的高度，家住顶楼的小明在窗户A处测得小山山顶的一棵大树顶端E的俯角为10°，小华在自家楼下C处测得小明家窗户A处的仰角为37°，且测得坡面CD的坡度i＝1：2，已知两家水平距离BC＝120米，大树高度DE＝3米，则小山山顶D到水平面BF的垂直高度约为（    ）（精确到0.1米，参考数据sin37°≈，tan37°≈，sin10°≈，tan10°≈） A．55.0米 B．50.3米 C．48.1 米 D．57.3米 11. 如图，正六边形内接于，半径为，若G为的中点，连接，则的长度为（ ）． A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．则关于方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：______． 14. 使分式有意义的的取值范围是________． 15. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 16．如图，在中，，，，F为的中点，E，P分别为，上一动点，则的最小值为______． 三、解答题（第17题8分，第18~21题每题10分，第22~23题每题12分，共72分） 17. 计算与解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组并把它的解集表示在数轴上． 18. 如图，在△ABC中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 19．为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计： 七年级：7，6，4，7，8，7，6，10，7，8． 八年级：6，8，8，5，7，8，8，8，5，7． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 7 7 7 2.2 八年级 7 1.4 (1)填空：______，______； (2)该校七年级有1000名学生，八年级有1200名学生，若平均每周阅读时长不低于8小时的学生被评为“阅读之星”，请估计两个年级被评为“阅读之星”的学生共有多少名？ (3)根据以上统计量分析，你认为哪个年级的阅读情况较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 20. 自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 （1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ （2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 21．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB． （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若AB＝，AD＝1，求CD的长度． 22. 综合与实践 【阅读材料】 如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 23．如图1，矩形OABC的顶点O是直角坐标系的原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（8，4），将矩形OABC绕点A顺时针旋转得到矩形ADEF，D、E、F分别与B、C、O对应，EF的延长线恰好经过点C，AF与BC相交于点Q． （1）证明：△ACQ是等腰三角形； （2）求点D的坐标； （3）如图2，动点M从点A出发在折线AFC上运动（不与A、C重合），经过的路程为x，过点M作AO的垂线交AC于点N，记线段MN在运动过程中扫过的面积为S；求S关于x的函数关系式． 桂林市2025-2026学年中考数学模拟卷1 （全卷满分120分 考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 的倒数是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】A 【详解】根据乘积等于1两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2． 故选：A． 2. 依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：3000亿． 故选：D． 3. 将两本相同的课本按如图进行叠放，得到一个几何体，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：从正面看，看到的图形是由两个一样的长方形上下叠放组成的长方形，即看到的图形为 故选A． 4. 若在实数范围内有意义，则a的值可以是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 7 【答案】D 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足非负要求，即， 解得， 对比选项，只有D选项的满足， 故选D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 7．（3分）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（　　） A．y1 B．y2 C．y3 D．y4 【解答】解：∵k＝4＞0， ∴在第一象限内，y随x的增大而减小， ∵（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，且1＜2＜3＜4， ∴y4最小． 故选：D． 8. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：∵在中，， ∴． 故选：B 9. 如图，在平面直角坐标系中，与关于原点成位似关系．点在轴上，且，若点的坐标为，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】解：∵与关于原点成位似关系， ∴相似比， ∵点F是点C的对应点，点C的坐标为， ∴点F的坐标为，即， 故选：D． 10．家住重庆两相邻小区的小明和小华在一次数学课后，进行了一次数学实践活动．如图，在同一水平面从左往右依次是小明家所在的居民楼、小华家所在的小洋房、背靠小华家的一座小山，实践内容为测量小山的高度，家住顶楼的小明在窗户A处测得小山山顶的一棵大树顶端E的俯角为10°，小华在自家楼下C处测得小明家窗户A处的仰角为37°，且测得坡面CD的坡度i＝1：2，已知两家水平距离BC＝120米，大树高度DE＝3米，则小山山顶D到水平面BF的垂直高度约为（    ）（精确到0.1米，参考数据sin37°≈，tan37°≈，sin10°≈，tan10°≈） A．55.0米 B．50.3米 C．48.1 米 D．57.3米 【答案】C 【详解】解：如图， 延长ED交BF于点H，则EH⊥BF， 过点E作EG⊥AB于点G， ∵AB⊥BF， ∴四边形BGEH是矩形， ∴GE＝BH，BG＝EH， ∵坡面CD的坡度i＝1：2， ∴＝， 设DH＝x，则CH＝2x， ∴GE＝BH＝BC+CH＝120+2x， BG＝HE＝HD+DE＝x+3， 在Rt△ABC中，∠ACB＝37°，BC＝120， ∴AB＝120×tan∠ACB≈90， 在Rt△AEG中，∠AEG＝10°，AG＝AB﹣BG＝90﹣（x+3）＝87﹣x， ∴tan10°＝， 即＝， 解得x≈48.1（米）． 答：小山山顶D到水平面BF的垂直高度约为48.1米． 故选：C． 11. 如图，正六边形内接于，半径为，若G为的中点，连接，则的长度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：如图，连接 正六边形内接于， ∴为的直径． 又， 是等边三角形， ． ∵是的直径， ∴,， ∴在中，， 是的中点， ， 在中， ． 故选：B． 12. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．则关于方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和， ∴点的横坐标为， ∵是一次函数向下平移了个单位，根据反比例函数关于原点对称可得，一次函数与反比例函数在第三象限的交点为， ∴关于方程的解是， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：______． 【答案】 【详解】解：a2b+ab2=． 故答案为：． 14. 使分式有意义的的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 15. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________°． 【答案】120 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm）， 设圆心角的度数是n度． 则=4π， 解得：n=120． 故答案为120． 16．如图，在中，，，，F为的中点，E，P分别为，上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图， 作点关于的对称点，过点作于点，由对称性质可知， 的最小值即为的值， ，，， ∴， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（第17题8分，第18~21题每题10分，第22~23题每题12分，共72分） 17. 计算与解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集是， 这个不等式组的解集在数轴上表示为： 18. 如图，在△ABC中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 【小问1详解】 解：如图1，即为所作； 【小问2详解】 证明：如图2，作于， ∵是的平分线，，， ∴， ∵是半径，， ∴与相切． 19．为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计： 七年级：7，6，4，7，8，7，6，10，7，8． 八年级：6，8，8，5，7，8，8，8，5，7． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 7 7 7 2.2 八年级 7 1.4 (1)填空：______，______； (2)该校七年级有1000名学生，八年级有1200名学生，若平均每周阅读时长不低于8小时的学生被评为“阅读之星”，请估计两个年级被评为“阅读之星”的学生共有多少名？ (3)根据以上统计量分析，你认为哪个年级的阅读情况较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)7.5，8 (2)估计两个年级被评为“阅读之星”的学生共有900名 (3)八年级的阅读情况较好，理由见解析 【详解】（1）解：把八年级10名学生的平均每周阅读时长排好顺序为：5，5，6，7，7，8，8，8，8，8， 所以中位数为，众数， 故答案为：7.5，8； （2）解：（名）， 答：估计两个年级被评为“阅读之星”的学生共有900名； （3）解：八年级的阅读情况较好， 理由：因为七、八年级的平均数相等，但是八年级的中位数、众数都大于七年级的，方差小于七年级的方差， 所以八年级的阅读情况较好．（答案不唯一）． 20. 自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下： 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 （1）周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？ （2）周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元． 【小问1详解】实际支付高速费用：元 【小问2详解】解：设特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元 解得： 故此行程中市与市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为元和元． 21．（12分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB． （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若AB＝，AD＝1，求CD的长度． 【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下： ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∵∠ADB＝∠CDB， ∴， ∴AB＝BC， 又∵∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． （2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝， ∴AC＝2， 在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2， ∴CD＝． 即CD的长为：． 22. 综合与实践 【阅读材料】 如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【答案】（1）；（2）见解析 【详解】解：（1）∵，， ∴， 由题意得，， 又∵， ∴， 答：，两岛间的距离为． （2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点，使得是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 计算过程： 过点作，则， ∵中，，， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴． 答：，两岛间的距离为． 23．（本题满分13分） 如图1，矩形OABC的顶点O是直角坐标系的原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（8，4），将矩形OABC绕点A顺时针旋转得到矩形ADEF，D、E、F分别与B、C、O对应，EF的延长线恰好经过点C，AF与BC相交于点Q． （1）证明：△ACQ是等腰三角形； （2）求点D的坐标； （3）如图2，动点M从点A出发在折线AFC上运动（不与A、C重合），经过的路程为x，过点M作AO的垂线交AC于点N，记线段MN在运动过程中扫过的面积为S；求S关于x的函数关系式． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：∵四边形OABC，四边形FADE都是矩形， ∴∠AOC＝90°，∠AFE＝∠AFC＝90°，BC∥OA， ∵∠CFA＝∠AOC＝90°，AC＝AC，AO＝AF， ∴Rt△ACO≌Rt△ACF（HL）， ∴∠CAO＝∠CAF， ∵BC∥OA， ∴∠BCA＝∠CAO， ∴∠BCA＝∠ACF， ∴QC＝QA， ∴△ACQ是等腰三角形． （2）解：设CQ＝AQ＝x， ∵B（8，4）， ∴BC＝8，AB＝4， 在Rt△AQB中，∵AQ2＝BQ2+AB2， ∴x2＝（8﹣x）2+42， ∴x＝5， ∴BQ＝3， 如图1中，过点D作DH⊥x轴于H． ∵∠QAD＝∠BAH＝90°， ∴∠QAB＝∠DAH， ∵∠B＝∠AHD＝90°， ∴△ABQ∽△AHD， ∴， ∴， ∴AH＝，DH＝， ∴OH＝OA+AH＝8+＝， ∴D（）． （3）①当0＜x≤8时，如图2中，延长MN交AO于H，作QJ∥AB交AC于J． ∵QJ∥AB， ∴， ∴， ∴QJ＝， ∵MN∥QJ， ∴△AMN∽△AQJ， ∴， ∴ ∴MN＝，AH＝， ∴S＝•MN•AH＝·x·＝x2． ②当8＜x＜12时，如图3中，作QJ∥AB交AC于J，作EK∥AB交BC于T，设MN交BC于R． ∵FK∥AB，JQ∥AB， ∴FK∥JQ， ∴△AQJ∽△AFK， ∴， ∴， ∴FK＝4，BT＝， ∴CT＝BC﹣BT＝8﹣＝， ∵MN∥FK， ∴△CMN∽△CFK， ∴， ∴， ∴MN＝12﹣x，CR＝（12﹣x）， ∴S＝S△ACF﹣S△AFK＝×4×12﹣×（12﹣x）×（12﹣x）＝． 综上所述，S＝． 学科网（北京）股份有限公司 $