精品解析：2025年广西壮族自治区桂林市中考一模数学试题

2025年4月中考适应性训练卷 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题 1. 如果地下一层的停车场可以表示为层，那么地上三层的美食城可以表示为（ ） A. 层 B. 层 C. 层 D. 层 2. 为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 4. 某学校一位数学老师为在数学探究活动中表现优秀的名学生每人买了一份奖品，扫码支付了元，则每份奖品的价格可表示为（ ） A 元 B. 元 C. 元 D. 元 5. 某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，小明随机选取一项参加，则小明恰好选中韵律操的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角的度数为50°，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 30° D. 25° 7. 如图，将一片枫叶标本放置在平面直角坐标系中，若点A坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（ ） A B. C. D. 8. 将不等式组解集表示在数轴上，则下列选项正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若菱形的边长为，其中较短的一条对角线的长也为，则这个菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是等边三角形，直线，点P在直线上运动，当点P与的两个顶点的距离相等时，警报器就会发出警报，则在直线上会发出警报的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，连接，则四边形的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 3 二、填空题 13. 因式分解：______． 14. 一组数据3，4，4，5，6，6的中位数是______． 15. 按一定规律排列的数列：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…．对于这列数，存在这样一个规律：，，，，，，…．由此1规律，可得第12个数和第13个数的和为______． 16. 如图，是内的一点，，．若，，则的值为______． 三、解答题 17. （1）计算：． （2）解不等式：． 18. 如图，在中，，于点E，过点A作，连接并延长，交于点C． （1）求证：． （2）连接，求证：四边形是平行四边形． 19. 当前AI聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答．有关人员开展了对A，B两款AI聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（评分分数用表示，满分100分，分为四个等级：不满意、比较满意、满意、非常满意），下面给出了部分信息． 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89． 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对，两款聊天机器人的评分统计表 AI聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 96 B 88 87.5 根据以上信息，解答下列问题． （1）上述图表中，___________，___________，___________． （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次调查中，有400人对A款AI聊天机器人进行评分，300人对B款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次调查中对聊天机器人不满意的共有多少人． 20. 如图，在中，是的平分线，以点D为圆心的与相切于点A，分别与相交于点E，F． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 21. 为迎接暑期旅游旺季的到来，某景区商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，以便游客购买．已知采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元． （1）求每顶太阳帽和每把太阳伞的进价． （2）若该景区商店将太阳帽的售价定为15元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞共600顶（把），且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该景区商店如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 22. 小明利用电脑软件模拟弹力球的抛物运动．如图，弹力球从x轴上的点A处抛出，其经过的路径是抛物线L：的一部分，并在点B处达到最高点，落到x轴上的点C处时弹起，向右继续沿抛物线G运动．已知抛物线G与抛物线L的形状相同，且其达到的最大高度为1个单位长度． （1）直接写出点C坐标． （2）求抛物线G的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）． （3）在x轴上有一个矩形接球筐，其中，点N位于点处，弹力球只可通过矩形接球筐的边落入框内．为使弹力球落入接球筐内（落在点M，N上也视为落在筐内），需将接球筐沿x轴向左移动b个单位长度，求出b的取值范围．（结果保留根号） 23. 综合与探究 如图，，点在的平分线上，于点． （1）【操作判断】 如图1，过点作于点，根据题意，在图1中画出，并直接写出的度数： _______________． （2）【问题探究】 如图2，点在线段上，连接，作，交射线于点，探究，与之间的数量关系，并给出证明． （3）【拓展延伸】 点在射线上，连接，作，交射线于点，射线与射线相交于点．若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年4月中考适应性训练卷 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题 1. 如果地下一层的停车场可以表示为层，那么地上三层的美食城可以表示为（ ） A. 层 B. 层 C. 层 D. 层 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查正负数的意义，生活中，通常用正负数表示具有相反意义的两种量，如果地下一层的停车场可以表示为层，那么地上三层的美食城可以表示为层． 【详解】解：如果地下一层的停车场可以表示为层，那么地上三层的美食城可以表示为层． 故选：A． 2. 为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 4. 某学校一位数学老师为在数学探究活动中表现优秀的名学生每人买了一份奖品，扫码支付了元，则每份奖品的价格可表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据单价=钱数÷数量列式即可． 【详解】解：∵名学生每人买了一份奖品，扫码支付了元， ∴每份奖品的价格可表示为元． 故选D． 5. 某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，小明随机选取一项参加，则小明恰好选中韵律操的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查概率，概率所求情况数与总情况数之比，根据概率公式解答． 【详解】解：有跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，小明随机选取一项参加，则小明恰好选中韵律操的概率是． 故选：D． 6. 如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角的度数为50°，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为（ ） A. 40° B. 50° C. 30° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直定义和平行线的性质，由光的反射规律可求，再由，可得． 【详解】解：如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选A． 7. 如图，将一片枫叶标本放置在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标系中点的坐标，根据点A和点B的坐标可以确定每个小正方形的边长为1，再结合点C的位置即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点C的坐标为， 故选：A． 8. 将不等式组的解集表示在数轴上，则下列选项正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴， 如图， 故选B． 9. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，正确； D．与不是同类项，不能合并，故不正确； 故选C． 10. 若菱形的边长为，其中较短的一条对角线的长也为，则这个菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，设较短的对角线为，可得为等边三角形，过点作于，则，利用勾股定理求出即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设较短的对角线为， ∵菱形的边长为， ∴， ∴为等边三角形， 过点作于，则， ∴， ∴， 故选：． 11. 如图，是等边三角形，直线，点P在直线上运动，当点P与的两个顶点的距离相等时，警报器就会发出警报，则在直线上会发出警报的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据三角形的特点，结合线段垂直平分线的性质确定不同的点即可． 【详解】解：根据垂直平分线的性质及等边三角形的性质可知， 直线上会发出警报的点P有：、、的垂直平分线与直线的交点，共3个． 故选：C． 12. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，连接，则四边形的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的平移，反比例函数的图象与性质，反比例函数比例系数k的几何意义；先求解反比例函数为：，正比例函数为，直线为，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴，， 解得：， ∴反比例函数：，正比例函数为， ∵将正比例函数的图象向上平移n个单位长度后，得到的直线与反比例函数的图象交于点， ∴，即，一次函数为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴， 如图，过作轴于，作轴于，过作轴于， ∴五边形的面积为， ∴四边形的面积为； 故选：B． 二、填空题 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： 14. 一组数据3，4，4，5，6，6的中位数是______． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义求解可得． 【详解】解：把这些数从小大排列为3，4，4，5，6，6，最中间两个数是4和5， 则中位数是． 故答案为：． 15. 按一定规律排列的数列：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…．对于这列数，存在这样一个规律：，，，，，，…．由此1规律，可得第12个数和第13个数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可得当n为奇数时，第n个数为，当n为偶数时，第n个数为，据此规律分别求出第12个数和第13个数，二者再求和即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 以此类推可知，当n为奇数时，第n个数为，当n为偶数时，第n个数为， ∴第12个数为，第13个数为 ∴第12个数和第13个数的和为， 故答案为：． 16. 如图，是内的一点，，．若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质与判定，含30度角的直角三角形与勾股定理的应用，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，结合角度与已知边长计算线段长度． 如图，过点作，过点作，连接，垂线构造直角三角形，证明，得到，再证明，根据，求得，最后再根据勾股定理，即可求得的值． 【详解】如图，过点作，过点作，连接． ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 17. （1）计算：． （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，一元一次不等式的解法； （1）先计算乘方，绝对值，再合并即可； （2）先去分母，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 【详解】解：（1） ． （2）， 去分母得：， 整理得：， 解得：； 18. 如图，在中，，于点E，过点A作，连接并延长，交于点C． （1）求证：． （2）连接，求证：四边形平行四边形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答本题的关键． （1）根据三线合一证明即可； （2）根据证明得，进而可证四边形是平行四边形． 【小问1详解】 证明：，， ． 【小问2详解】 证明：， ． 在和中， ， ． ， 四边形是平行四边形． 19. 当前AI聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答．有关人员开展了对A，B两款AI聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（评分分数用表示，满分100分，分为四个等级：不满意、比较满意、满意、非常满意），下面给出了部分信息． 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89． 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对，两款聊天机器人的评分统计表 AI聊天机器人 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 96 B 88 87.5 根据以上信息，解答下列问题． （1）上述图表中，___________，___________，___________． （2）根据以上数据，你认哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次调查中，有400人对A款AI聊天机器人进行评分，300人对B款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次调查中对聊天机器人不满意的共有多少人． 【答案】（1）10，88.5，98 （2）见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得的值，根据中位数的定义可得的值，根据众数的定义可得的值； （2）通过比较，款的评分统计表的数据解答即可； （3）由、两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：款“满意”所占百分比为， “不满意”所占百分比为， ； “满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 把款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ， 在款的评分数据中，98出现的次数最多， ； 故答案为：10，88.5，98； 【小问2详解】 解：款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为款评分数据的中位数比款高，所以款聊天机器人更受用户喜爱（理由不唯一）； 【小问3详解】 解：款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人． 20. 如图，在中，是的平分线，以点D为圆心的与相切于点A，分别与相交于点E，F． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点D作于点H，根据切线的性质得到，再根据角平分线的性质，得到，即可证明结论； （2）先由三角形外角的性质求出，然后根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，过点D作于点H． 为的切线， ． 又平分， ． 是的切线． 【小问2详解】 解：平分，， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，弧长公式等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题关键． 21. 为迎接暑期旅游旺季的到来，某景区商店计划采购一批太阳帽和太阳伞进行售卖，以便游客购买．已知采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元． （1）求每顶太阳帽和每把太阳伞的进价． （2）若该景区商店将太阳帽的售价定为15元/顶，太阳伞的售价定为30元/把，计划购进太阳帽和太阳伞共600顶（把），且购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍，则该景区商店如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每顶太阳帽的进价是10元，每把太阳伞的进价是20元． （2）购进400顶太阳帽，200把太阳伞，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二元一次方程组和一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的方程，函数关系和不等式是解题的关键． （1）设每顶太阳帽的进价是x元，每把太阳伞的进价是y元，根据采购4顶太阳帽和3把太阳伞共需要100元，采购6顶太阳帽和4把太阳伞共需要140元建立二元一次方程组求解； （2）设购进m顶太阳帽，则购进太阳伞把，所获利润为w元，根据“总利润太阳帽的利润太阳伞的利润”建立函数，根据函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每顶太阳帽的进价是x元，每把太阳伞的进价是y元， 根据题意，得， 解得， 答：每顶太阳帽的进价是10元，每把太阳伞的进价是20元； 【小问2详解】 解：设购进m顶太阳帽，则购进太阳伞把，所获利润为w元， 购进太阳帽的数量不少于太阳伞数量的2倍， ， 解得， 根据题意，得， ， w随m的增大而减小， 当时，w取得最大值，最大值为， 此时， 答：购进400顶太阳帽，200把太阳伞，可使销售所获利润最大，最大利润为4000元． 22. 小明利用电脑软件模拟弹力球的抛物运动．如图，弹力球从x轴上的点A处抛出，其经过的路径是抛物线L：的一部分，并在点B处达到最高点，落到x轴上的点C处时弹起，向右继续沿抛物线G运动．已知抛物线G与抛物线L的形状相同，且其达到的最大高度为1个单位长度． （1）直接写出点C的坐标． （2）求抛物线G的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）． （3）在x轴上有一个矩形接球筐，其中，点N位于点处，弹力球只可通过矩形接球筐的边落入框内．为使弹力球落入接球筐内（落在点M，N上也视为落在筐内），需将接球筐沿x轴向左移动b个单位长度，求出b的取值范围．（结果保留根号） 【答案】（1） （2）（或） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）令，解方程即可得出点C的坐标； （2）根据题意设抛物线G的函数表达式为，再将点代入求解即可； （3）当时，求得，分别求出当弹力球恰好砸中筐的最左端时，当弹力球恰好砸中筐的最右端时，b的值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：令， 解得，， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线G与抛物线L的形状相同，且最高点的纵坐标为1， 设抛物线G的函数表达式为， 抛物线G经过点C， 将点代入，得， 解得（舍去），， 抛物线G的函数表达式为（或）； 【小问3详解】 解：当时，， 解得，（不合题意，舍去）． 球筐的最左端与原点的距离为6.5， 当弹力球恰好砸中筐的最左端时，， ， 球筐的最右端与原点的距离为7.5， 当弹力球恰好砸中筐的最右端时，， b的取值范围为． 23. 综合与探究 如图，，点在的平分线上，于点． （1）【操作判断】 如图1，过点作于点，根据题意，在图1中画出，并直接写出的度数： _______________． （2）【问题探究】 如图2，点在线段上，连接，作，交射线于点，探究，与之间的数量关系，并给出证明． （3）【拓展延伸】 点在射线上，连接，作，交射线于点，射线与射线相交于点．若，请直接写出的值． 【答案】（1）图见解析， （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据尺规基本作图——作垂线，作出；再利用四边形内角和等于360度求出即可； （2）作于C，证明，得到，再证明，得到，从而得到，然后证明，由勾股定理，得，即可得，从而得出结论． （3）证明，得到，，从而可证得是等边三角形，得出，，再证明，设，则，由（2）知：，，从而求得，然后证明，得，即可求出，即可代入求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：， 证明：如图，作于C， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵点在的平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在的平分线上，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图， 由（1）知：， ∵ ∴ ∵，， ∴， ∵点在的平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 由（2）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由（2）知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查尺规基本作图-作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，证明和是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $