上海市实验学校东滩高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学

**基本信息** 2025高二数学期中卷以圆、直线、统计等知识为载体，通过分层抽样（17题）、独立性检验（18题）考查数据意识，第20题新定义“投影点”“分歧投影点”突出抽象与推理能力，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/42|圆方程、直线倾斜角、双曲线渐近线等|基础概念与计算结合，如第3题频率分布直方图应用| |选择题|4/14|线性回归、散点图相关性|第16题“Q直线”命题体现几何直观| |解答题|4/44|分层抽样、圆切线方程、新定义综合|20题通过新定义考查抽象与逻辑推理，呼应核心素养|

2025学年第二学期期中考试 高二数学 时长：90分钟 满分：100分 一、填空题（1-6题每题3分，7-12题每题4分，满分42分） 1．已知一个圆的圆心为，且经过点，则这个圆的方程为______. 2．若直线的一个法向量为，则的倾斜角为_______． 3．某校高三年级有400名学生，将某次考试的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示．则此次考试的数学成绩位于区间的人数约为___________． 4．已知双曲线的渐近线方程为，则__________. 5．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 6．现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第1个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为________.（以下随机数表第7行）. 39832276  39918535  32591131  40469235  04982212  20671263 7．已知直线：，：，若两直线垂直，则______. 8. 已知两点，动点到点的距离是它到点距离的3倍，则点的轨迹方程是________. 9．已知直线过，圆，直线与圆相交于两点，则长度的最小值为______． 10．已知圆与圆内切，则实数的值为________. 11．已知点，，若直线始终与线段AB有交点，则直线斜率的取值范围是__________. 12．如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____． 二、选择题（13-14题每题3分，15-16题每题4分，满分14分） 13．经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（　　） A．3 B． C．2 D． 14．某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用：（单位：万元）与销售利润（单位：万元）的相关数据，根据下表中数据，得到经验回归方程，则下列结论中错误的是（    ）. 广告费用 3 4 5 8 销售利润 4 5 7 8 A． B． C．直线必过点 D．直线必过点 15．以下是由变量与所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（    ） A．    B．    C．    D．    16．在平面直角坐标系xOy中，已知点和点的坐标分别为，，P为平面上的动点，直线l经过点P，记点，到直线l的距离分别为，，若，则称直线l为P的“Q直线”．给出以下两个命题：①存在点P，有且仅有两条“Q直线”；②存在点P，有且仅有三条“Q直线”．则下列说法正确的是（    ）． A．①②均正确 B．①②均不正确 C．①正确②不正确 D．①不正确②正确 三、解答题 17．（本题满分10分，第（1）小问5分，第（2）小问5分） 为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一、高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. (1)学校高中三个年级一共有多少个学生? (2)若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中，n是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. 18．（本题满分10分，第（1）小问5分，第（2）小问5分） 利用错题去学习是比较高效的学习方法.为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了60名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 不是每天都整理数学错题人数 22 合计 60 (1)完成上述列联表，并估计本校高三年级学生中不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题是否有关联? 附：，其中； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 19．（本题满分10分，第（1）小问4分，第（2）小问6分） 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 20. （本题满分14分，第（1）小问4分，第（2）小问5分，第（3）小问5分） 在研究复杂的平面曲线时，有时会把曲线上的点投影到直线上，我们引入以下两个定义： 【定义1】给定平面内一曲线和曲线上一点，以及一条不经过的直线. 对于上某一点（），若直线与有且只有一个交点，则称为点关于中心在上的投影点. 【定义2】给定平面内一曲线，点不在上，以及一条直线（不经过）。对于上任意一点，直线与曲线的交点个数称为关于中心和曲线的覆盖度，记为. 若上存在一点，对于以为中心的任意开区间内（以为中心的开区间是指，其中），都存在点使得，则称为在上的分歧投影点. （1）已知圆，点在上，投影直线. 若上有一点，求点关于中心在上的投影点的坐标. （2）已知椭圆，左顶点为，投影直线. 设 是 上异于点的两个不同动点，它们关于中心在上的投影点分别为和 证明：直线经过定点的充要条件是. （3）已知双曲线，投影中心在轴上，直线为轴. 对于上任意一点，设关于中心和曲线的覆盖度为. 探究上关于中心和曲线的“分歧投影点”的个数是否与的取值有关？请说明理由，并求出所有分歧投影点的坐标. 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 2025学年第二学期高二期中考试参考答案 一、填空题 1． 2． 3．120 4． 5． 6． 7．1或 8. 9． 10．7 11．12． 二、选择题 13．A 14．C 15．D 16．A 三、解答题 17．（1）设学校高中三个年级一共有个学生, 因为采用分层抽样法抽取一个容量为100的样本， 在高一年级抽取了35人，高二年级抽取了33人， 所以高三抽取的人数为：人， 又因为高三年级一共512人，所以有：，解得. 所以学校高中三个年级一共有1600个学生. （2）因为抽取100名学生的样本极差为2，， 所以， 又因为， 所以样本的第40百分位数为：（小时） 18．（1）完善列联表，如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 30 不是每天都整理数学错题人数 8 22 30 合计 28 32 60 估计不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率约为. （2）零假设：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关联， 利用（1）中数据，得， 根据小概率值的独立性检验，可以判断不成立，所以数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关联. 19．（1）设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. （2）当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心直线到的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. 20. （1）直线，与直线的交点即为投影点. （2）直线，与椭圆联立，得到 因为，并且，所以，从而，同理可得. 因为直线经过，因此. 因为，所以，化简得到，因此. （3）分歧投影点的个数与的取值无关，恒为4个. 当时，直线即轴，方程为，代入得，无实数解. 此时，当时也无解，故不是分歧投影点. 当时，两条切线和两条平行于渐近线的位置对应了分歧投影点，坐标比较容易求， 中间说理过程酌情给分。 填选解析 1． 【分析】利用两点间的距离公式求出半径，然后可得标准方程. 【详解】由题可得圆的半径， 又圆心为，所以圆的方程为. 故答案为： 2． 因为直线的一个法向量为， 可得直线的其中一个方向向量为， 所以直线的斜率，设直线的倾斜角为，，， 可得，所以． 3．120 【分析】由频率和为1，列式先求出的值，再求对应区间的频数即可． 【详解】因为，解得， 所以此次考试的数学成绩位于区间的人数约为． 故答案为：120． 4． 【分析】根据方程表示双曲线，确定m的范围，结合双曲线的渐近线方程可得关于m的方程，即可求得答案. 【详解】由方程表示双曲线，可知， 则方程即为方程，即得， 方程表示焦点在x轴上的双曲线，由已知其渐近线方程为， 则. 5． 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以， 解得. 6． 【分析】由随机数表法写出前4支水笔的编号，即可得. 【详解】由随机数表法，前4支水笔的编号依次为， 所以第4支水笔的编号为. 故答案为： 7．1或 【分析】根据两直线垂直的条件，列式计算，即得答案. 【详解】由题意知直线：和直线：互相垂直， 故，解得或. 故答案为：1或. 8. 设，，化简得结果 9． 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 又因为，因此长度的最小值为4. 10．7 【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再根据内切得出圆心间距离等于半径差计算求解. 【详解】圆的圆心，半径为，圆圆心，半径为， 圆与圆内切，则，即， 实数的值为. 故答案为：7. 11． 【分析】求出直线所过的定点,作出图形，可得或，由两点的斜率公式即可求解. 【详解】可化为, 由，得， 所以直线过定点.    因为直线的方程为， 而即不可能表示， 所以由图可得或. 因为，，， 所以，, 所以或， 故直线l斜率的取值范围是. 故答案为:. 12． 【分析】由正弦函数的最值和周期求得圆柱的高和底面半径，进而求得椭圆的长轴和短轴，即可得离心率. 【详解】函数的值域为，最小正周期， 依题意，圆柱的高，设圆柱的底面半径为，则，解得， 椭圆短轴长，即，长轴长，即， 所以椭圆的离心率. 13．B 【分析】利用斜率公式和由方向向量的坐标，可得直线的斜率，即可得的值． 【解答】解：因为， 可得直线的斜率为， 再由直线的方向向量为，可得直线的斜率， 所以． 14．C 【详解】由题意可得，，即样本中心为，所以直线必过点，D正确，C错误; 而，， 因此，，所以AB正确. 15．D 【详解】对于A：散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性；故A错误； 对于B：两个变量不具有线性相关性，故B错误； 对于C：两个变量之间的关系为负相关关系；故C错误； 对于D：两个变量之间的关系为正相关关系，且散点图中的点分布在一条直线附近，线性相关程度较高；故D正确. 16．A 【分析】分析得到直线的斜率存在，且，满足要求，要想存在有且仅有两条，需满足无根，且，此时，从而①正确；同理，要想存在有且仅有三条“直线”，需满足有1根，且，不妨取，此时，故②正确. 【详解】对于①，当直线的斜率不存在时，设为， 若时，到直线的距离之和为4，不满足要求； 若或时，到直线的距离之和大于4，不满足要求； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，，由可得， 若，则，即，解得， 此时，即， 若，则，即， 解得，此时，即， 若，则，即， 两边平方得，将其看作关于的方程， 若，则，即， 两边平方得，将其看作关于的方程， 要想存在有且仅有两条“直线”，需满足无根即可，且， 由于，所以只需， 故当点坐标为，此时时，满足要求， 故存在点，有且仅有两条“直线”，①正确； 要想存在有且仅有三条“直线”，需满足只有1个根，且， 此时，， 故当点坐标为，此时和时，满足要求， 故存在点，有且仅有三条“直线”，②正确. 故选：A 答案第4页，共9页 答案第5页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $