精品解析：上海市实验学校东滩高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学

2025学年第二学期期中考试 高二数学 时长：90分钟 满分：100分 一、填空题（1-6题每题3分，7-12题每题4分，满分42分） 1. 已知一个圆的圆心为，且经过点，则这个圆的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两点间的距离公式求出半径，然后可得标准方程. 【详解】由题可得圆的半径， 又圆心为，所以圆的方程为. 故答案为： 2. 若直线的一个法向量为，则的倾斜角为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用直线的法向量与方向向量的关系，进而得直线的斜率，最后求得倾斜角. 【详解】因为直线的一个法向量为， 可得直线的其中一个方向向量为， 所以直线的斜率，设直线的倾斜角为，， 可得，所以． 3. 某校高三年级有400名学生，将某次考试的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示．则此次考试的数学成绩位于区间的人数约为___________． 【答案】120 【解析】 【分析】由频率和为1，列式先求出的值，再求对应区间的频数即可． 【详解】因为，解得， 所以此次考试的数学成绩位于区间的人数约为． 故答案为：120． 4. 已知双曲线的渐近线方程为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据方程表示双曲线，确定m的范围，结合双曲线的渐近线方程可得关于m的方程，即可求得答案. 【详解】由方程表示双曲线，可知， 则方程即为方程，即得， 方程表示焦点在x轴上的双曲线，由已知其渐近线方程为， 则. 5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以， 解得. 6. 现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第1个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为________.（以下随机数表第7行）. 39832276 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263 【答案】 【解析】 【分析】由随机数表法写出前4支水笔的编号，即可得. 【详解】由随机数表法，前4支水笔的编号依次为， 所以第4支水笔的编号为. 故答案为： 7. 已知直线：，：，若两直线垂直，则______. 【答案】1或 【解析】 【分析】根据两直线垂直的条件，列式计算，即得答案. 【详解】由题意知直线：和直线：互相垂直， 故，解得或. 故答案为：1或. 8. 已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设出点，结合距离公式计算即可得. 【详解】设，由题意可得， 化简可得，即. 故答案为：. 9. 已知直线过，圆，直线与圆相交于两点，则长度的最小值为______． 【答案】 【解析】 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 又因为，因此长度的最小值为4. 10. 已知圆与圆内切，则实数的值为________. 【答案】7 【解析】 【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，再根据内切得出圆心间距离等于半径差计算求解. 【详解】圆的圆心，半径为，圆圆心，半径为， 圆与圆内切，则，即， 实数的值为. 故答案为：7. 11. 已知点，，若直线始终与线段AB有交点，则直线斜率的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线所过的定点,作出图形，可得或，由两点的斜率公式即可求解. 【详解】可化为, 由，得， 所以直线过定点. 因为直线的方程为， 而即不可能表示， 所以由图可得或. 因为，，， 所以，, 所以或， 故直线l斜率的取值范围是. 故答案为:. 12. 如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦函数的最值和周期求得圆柱的高和底面半径，进而求得椭圆的长轴和短轴，即可得离心率. 【详解】函数的值域为，最小正周期， 依题意，圆柱的高，设圆柱的底面半径为，则，解得， 椭圆短轴长，即，长轴长，即， 所以椭圆的离心率. 二、选择题（13-14题每题3分，15-16题每题4分，满分14分） 13. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用斜率公式和单位向量的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意可知，解得，故A正确. 故选：A. 14. 某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用：（单位：万元）与销售利润（单位：万元）的相关数据，根据下表中数据，得到经验回归方程，则下列结论中错误的是（ ）. 广告费用 3 4 5 8 销售利润 4 5 7 8 A. B. C. 直线必过点 D. 直线必过点 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，，即样本中心为，所以直线必过点，D正确，C错误; 而，， 因此，，所以AB正确. 15. 以下是由变量与所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性；故A错误； 对于B：两个变量不具有线性相关性，故B错误； 对于C：两个变量之间的关系为负相关关系；故C错误； 对于D：两个变量之间的关系为正相关关系，且散点图中的点分布在一条直线附近，线性相关程度较高；故D正确. 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点和点的坐标分别为，，P为平面上的动点，直线l经过点P，记点，到直线l的距离分别为，，若，则称直线l为P的“Q直线”．给出以下两个命题：①存在点P，有且仅有两条“Q直线”；②存在点P，有且仅有三条“Q直线”．则下列说法正确的是（ ）． A. ①②均正确 B. ①②均不正确 C. ①正确②不正确 D. ①不正确②正确 【答案】A 【解析】 【分析】分析得到直线的斜率存在，且，满足要求，要想存在有且仅有两条，需满足无根，且，此时，从而①正确；同理，要想存在有且仅有三条“直线”，需满足有1根，且，不妨取，此时，故②正确. 【详解】对于①，当直线的斜率不存在时，设为， 若时，到直线的距离之和为4，不满足要求； 若或时，到直线的距离之和大于4，不满足要求； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，，由可得， 若，则，即，解得， 此时，即， 若，则，即， 解得，此时，即， 若，则，即， 两边平方得，将其看作关于的方程， 若，则，即， 两边平方得，将其看作关于的方程， 要想存在有且仅有两条“直线”，需满足无根即可，且， 由于，所以只需， 故当点坐标为，此时时，满足要求， 故存在点，有且仅有两条“直线”，①正确； 要想存在有且仅有三条“直线”，需满足只有1个根，且， 此时，， 故当点坐标为，此时和时，满足要求， 故存在点，有且仅有三条“直线”，②正确. 故选：A 三、解答题 17. 为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一、高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. （1）学校高中三个年级一共有多少个学生? （2）若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中，n是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. 【答案】（1）1600 （2）8.25小时 【解析】 【分析】根据分层抽样，按比例抽取即可得到答案． 根据极差可得，再结合学生总数量为100，可求出，再根据求第百分位数的方法即可求得. 【小问1详解】 设学校高中三个年级一共有个学生, 因为采用分层抽样法抽取一个容量为100的样本， 在高一年级抽取了35人，高二年级抽取了33人， 所以高三抽取的人数为：人， 又因为高三年级一共512人，所以有：，解得. 所以学校高中三个年级一共有1600个学生. 【小问2详解】 因为抽取100名学生的样本极差为2，， 所以， 又因为， 所以样本的第40百分位数为：（小时）. 18. 利用错题去学习是比较高效的学习方法.为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了60名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 不是每天都整理数学错题人数 22 合计 60 （1）完成上述列联表，并估计本校高三年级学生中不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题是否有关联? 附：，其中； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析， （2）有关联 【解析】 【分析】（1）完善列联表后，计算概率即可得； （2）计算卡方后与比较即可得. 【小问1详解】 完善列联表，如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 30 不是每天都整理数学错题人数 8 22 30 合计 28 32 60 估计不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率约为； 【小问2详解】 零假设：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关联， 利用（1）中数据，得， 根据小概率值的独立性检验，可以判断不成立， 所以数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关联. 19. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用圆心与切点的连线垂直于切线，通过斜率关系求出圆心坐标，再计算半径得到圆的标准方程。 （2）分斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径，求出过定点的圆的切线方程 【小问1详解】 设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心到直线的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. 20. 在研究复杂的平面曲线时，有时会把曲线上的点投影到直线上，我们引入以下两个定义： 【定义1】给定平面内一曲线和曲线上一点，以及一条不经过的直线. 对于上某一点（），若直线与有且只有一个交点，则称为点关于中心在上的投影点. 【定义2】给定平面内一曲线，点不在上，以及一条直线（不经过）.对于上任意一点，直线与曲线的交点个数称为关于中心和曲线的覆盖度，记为. 若上存在一点，对于以为中心的任意开区间内（以为中心的开区间是指，其中），都存在点使得，则称为在上的分歧投影点. （1）已知圆，点在上，投影直线. 若上有一点，求点关于中心在上的投影点的坐标. （2）已知椭圆，左顶点为，投影直线. 设 是 上异于点的两个不同动点，它们关于中心在上的投影点分别为和证明：直线经过定点的充要条件是. （3）已知双曲线，投影中心在轴上，直线为轴. 对于上任意一点，设关于中心和曲线的覆盖度为. 探究上关于中心和曲线的“分歧投影点”的个数是否与的取值有关？请说明理由，并求出所有分歧投影点的坐标. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）与的取值无关，理由见解析，. 【解析】 【分析】（1）写出过和的直线方程，与投影直线联立解得交点坐标； （2）将椭圆上的点用投影点纵坐标参数化，用此参数表示直线过定点的代数条件，化简得，反之亦然； （3） 直线与双曲线方程联立，交点个数变化仅当判别式为零或二次项系数为零，解得的四个值，与无关，即为分歧点. 【小问1详解】 设直线，将点，代入可得直线， 将代入直线可得交点，根据定义1可得即为投影点. 【小问2详解】 设椭圆上任意一点（异于左顶点），其关于中心在直线上的投影点为， 由共线可得斜率相等：（1） 反之，由(1)解出，代入椭圆方程得 整理得 ，已知是方程的一个根（对应点），设另一根为， 由韦达定理： 代入(1)得， 因此，点的坐标可用参数表示为（2）. 现在，设对应参数，则直线经过定点的充要条件是向量与共线，即（3）. 利用(2)计算： 于是（4）. 必要性：假设直线过，则 (3) 成立，将 (4) 代入得 两边乘以并整理： 左边通分：，即，由于，两边除以得 充分性：若，则利用(4)计算： 由，得，代入可得：. 又由，得 ，因此差为零，即(3)成立，故在直线上， 所以直线恒过定点. 综上所述，直线经过定点的充要条件是，证毕. 【小问3详解】 分歧投影点的个数与的取值无关，恒为4个. （1）当时，对双曲线，中心 ，直线 轴，点， 直线方程为 （），代入双曲线得二次方程 判别式，二次项系数为， 覆盖度 发生变化的情形包括： ①二次项系数为零，即 ，解得 ，此时曲线方程为一次方程，以为例，，解得， 代入直线得，验证：，成立， 因此当时，直线与双曲线恰有一个交点，代入，得，即是唯一解， 所以此时交点个数为1,因此当时交点个数为1，而两侧为2，故是分歧点，类似地也是； ②判别式为零，即 ，解得，即，此时直线与双曲线相切，交点个数为1（切点）， 而两侧的使得时有两个交点，或时无交点，因此也是分歧点； （2）当时，直线即轴，方程为，代入，无实数解. 此时， 当时也无解，故不是分歧投影点. 因此，分歧投影点的个数与无关，无论取何值，分歧投影点的个数总是4个， 坐标分别为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期中考试 高二数学 时长：90分钟 满分：100分 一、填空题（1-6题每题3分，7-12题每题4分，满分42分） 1. 已知一个圆的圆心为，且经过点，则这个圆的方程为______. 2. 若直线的一个法向量为，则的倾斜角为_______． 3. 某校高三年级有400名学生，将某次考试的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示．则此次考试的数学成绩位于区间的人数约为___________． 4. 已知双曲线的渐近线方程为，则__________. 5. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______． 6. 现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第1个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为________.（以下随机数表第7行）. 39832276 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263 7. 已知直线：，：，若两直线垂直，则______. 8. 已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是__________． 9. 已知直线过，圆，直线与圆相交于两点，则长度的最小值为______． 10. 已知圆与圆内切，则实数的值为________. 11. 已知点，，若直线始终与线段AB有交点，则直线斜率的取值范围是__________. 12. 如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____． 二、选择题（13-14题每题3分，15-16题每题4分，满分14分） 13. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 14. 某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用：（单位：万元）与销售利润（单位：万元）的相关数据，根据下表中数据，得到经验回归方程，则下列结论中错误的是（ ）. 广告费用 3 4 5 8 销售利润 4 5 7 8 A. B. C. 直线必过点 D. 直线必过点 15. 以下是由变量与所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（ ） A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点和点的坐标分别为，，P为平面上的动点，直线l经过点P，记点，到直线l的距离分别为，，若，则称直线l为P的“Q直线”．给出以下两个命题：①存在点P，有且仅有两条“Q直线”；②存在点P，有且仅有三条“Q直线”．则下列说法正确的是（ ）． A. ①②均正确 B. ①②均不正确 C. ①正确②不正确 D. ①不正确②正确 三、解答题 17. 为加强学生睡眠监测督导，学校对高中三个年级学生的日均睡眠时间进行调查.根据分层随机抽样法，学校在高一、高二和高三年级中共抽取了100名学生的日均睡眠时间作为样本，其中高一35人，高二33人.已知该校高三年级一共512人. （1）学校高中三个年级一共有多少个学生? （2）若抽取100名学生的样本极差为2，数据如下表所示（其中，n是正整数） 日均睡眠时间（小时） 8.5 9 9.5 10 学生数量 32 13 11 4 求该样本的第40百分位数. 18. 利用错题去学习是比较高效的学习方法.为了研究学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了60名学生，调查他们的数学成绩和整理数学错题的情况，统计数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 20 10 不是每天都整理数学错题人数 22 合计 60 （1）完成上述列联表，并估计本校高三年级学生中不是每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题是否有关联? 附：，其中； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 19. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程； 20. 在研究复杂的平面曲线时，有时会把曲线上的点投影到直线上，我们引入以下两个定义： 【定义1】给定平面内一曲线和曲线上一点，以及一条不经过的直线. 对于上某一点（），若直线与有且只有一个交点，则称为点关于中心在上的投影点. 【定义2】给定平面内一曲线，点不在上，以及一条直线（不经过）.对于上任意一点，直线与曲线的交点个数称为关于中心和曲线的覆盖度，记为. 若上存在一点，对于以为中心的任意开区间内（以为中心的开区间是指，其中），都存在点使得，则称为在上的分歧投影点. （1）已知圆，点在上，投影直线. 若上有一点，求点关于中心在上的投影点的坐标. （2）已知椭圆，左顶点为，投影直线. 设 是 上异于点的两个不同动点，它们关于中心在上的投影点分别为和证明：直线经过定点的充要条件是. （3）已知双曲线，投影中心在轴上，直线为轴. 对于上任意一点，设关于中心和曲线的覆盖度为. 探究上关于中心和曲线的“分歧投影点”的个数是否与的取值有关？请说明理由，并求出所有分歧投影点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $