广东江门市第一中学2024-2025学年第二学期第一次学段考试高一年级数学试卷

江门一中2024-2025学年度第二学期第一次学段考试 高一年级数学试卷 第一部分(选择题共58分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知向量云=(-1,2),=(2,x),若/%,则实数x=() A.-1 B.-4 C.4 D.1 2.在 ABC中,若A=60 ,B=45 ,BC=3V2,则AC等于() A.43 B.2V3 c.3 3.下列选项中,与sin5严的值不相等的是( 6 cos( ) A. B.cos18 cos42 -sin18 sin42 C.2sin15 cos15 D. 1+tan15 1-tan15 4.在 ABC中,D是AB的中点,E是CD的中点,若AE= C函+ C丽,则X十 =() A.-3 B.1 c.- 5.将函数f(x)=sin2x+4 的图象向右平移m(m>0)个单位,所得函数图象关于y轴对称, 则m的最小值为( ) A.牙 B. 3 c.骨 4 D. 8 6.在 ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=2 acosA,b=2c=4, 则内角C=( A君 c D.Sr 12 7.王同学学以致用,欲测量学校教学楼的高度,他采用了如图所示的方式进行测量,王同学 在运动场上选取相距20米的C,D两观测点,且C,D与教学楼底部B在同一水平面上,在C, D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为45 ,30 ,并测得∠BCD=120 ,则教学楼AB 的高度是( ) A.20V2米 B.15V3米 C.20米 D.25米 高一数学第1页共4页 8.如图,已知0PQ是半径为1、圆心角为的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内 接矩形,记∠POC=,矩形ABCD的面积最大值为( A.2-1 B.2+1 C.v2 D.3-2 2 2 2 2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求、全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分, 9.下列说法中正确的有( ) A.平面向量=(-2,3),2=(4,2)可以作为基底 B.已知正 ABC边长为2,则AE,BC=2 C.模为0的向量与任意非零向量共线 D.已知赋=(1,2),日=(1,1),且与+夹角为锐角,则n的取值范围是(寻,+∞) 、10.下列命题中,正确的是( A.在 ABC中,若A>B,则sinA>sinB B,在锐角 ABC中,不等式sinA>cosB恒成立 C.在 ABC中,若acosA=bcosB,则 ABC必是等腰直角三角形 D.在 ABC中,若B=60 ,b2=aC,则 ABC必是等边三角形 11.将函数f(:)的图象横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移亚单位,得到函数 3 =sin2x+p0<<到 的部分图象(如图所示).则下列结论中正确的是( B.f(x)=sin 4 D,函数在0, 的零点为,为,…,,则 85 为+2%+2%++2x+x=12 高一数学第2页共4页 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 2向量网=(血&-,=(3oma创,其中ae侵小且示L元,则m2a= 13.已知a=0,-1),石=1,3),则 在i上的投影向量坐标为 14,窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图1是一个正八边 形窗花隔断,图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.若正八边形ABCDEFGH的边 长为2,P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点,则A正.AE的最小值为 图1 图2 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(本小题13分) 已知=4,=2,且与6的夹角为120 ,求: (1)月与司+6的夹角; (2)若向量2石-与一36平行,求实数入的值, 16.(本小题15分) (1)求值sim50 1+V5tanl0) (2)已知a,B 韩是袋角,co=弓co(a+月=-计 求cosB的值, 17.(本小题15分) 已知函数f)=2 cos sin am+√3 cos a)其图象的相邻两条对称轴之间的距离为 2 (1)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心: 时, 解不等式f(x)>0. 高一数学第3页共4页 18.(本小题17分) 在 ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin B=bsin2A, (1)求角A的大小. (2)若b=3, ABC的面积为3√5,求 ABC的周长, (3)若 ABC为锐角三角形,求2coSB+cosC的取值范围. 19.(本小题17分) “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是:“在一个三角 形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小,”意大利数学家托里拆利给出 了解答,当 ABC的三个内角均小于120 时,使得∠A0B=∠B0C=∠C0A=120 的点0即为 费马点;当 ABC有一个内角大于或等于120 时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识 解决下面问题:已知 ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2B+cos2C-cos2A=1. (1)求角A; (2)若bc=2,设点P为 ABC的费马点,求PA.PE+PB.P元+P元.PA; (3)设点P为AABC的费马点,IPB引+PC=tPAL,求实数t的最小值. 高一数学第4页共4页 江门一中2024-2025学年度第一学期第一次学段考试 高一数学试题答案 1.B2.B3.D4.C6.D6.A7.C8.A9.AC10.ABD11.ABD 6.【详解】在 ABC中,由射影定理得bcosC+ccosB=a,而bcosC+ccosB=2 acosA 则2a04=a,解得cosA=7而0<A<元,因此A-号, 由余弦定理,得a2=b2+c2-2 bccos A=12 则eC的心-9所议C-君妆培:A 2ab 7.解:设AB=x米,在Rt ABC中,∠ACB=45 ,所以BC=AB=x, 在Rt ABD中,∠ADB=30 ,所以BD=V3AB=√3x, 在 BCD中,∠BCD=120 ,CD=20, 由余弦定理可得BD2=BC2+CD2-2 3C-CDcosLBCD, 即3=2+202-220xc0s120 ,即22-20x-400=0,/ 解得x=20或x=一10不合题意,舍去, 所以教学楼AB的高度是20米.故选:C. 8.由题意知:在Rt OBC中,OB=cos,BC=sina. 在Rt OAD中,OA=DA=BC=slna,所以AB=OB-OA=cosa-sina. 设矩形的面积为S,则 1 S-AB BC=(cosa-sina)sina=cosasing-sinsin2a 1-cos2a 2 -sim2a+cos2a则-号=竖s血2a+导-是 由0<a景得臂<2a+受婴所以当2a+号-号即a=时,5aMcD=竖-是 因此,当a-时,矩形有最大面,积为SA=受-会故选:A 10.【详解】在 ABC中,若A>B,则a>b,由正弦定理可得sinA>sinB,A正确; 对于,锐角 BC中,480,月 灭-B, ,4+B>受则4> 故曲4>(行B) =cosB,B正确; 对于.C,在 ABC中,若acosA:=bcosB,则sin Acos A=:sin Bcos B, 即得sin2A=sin2B,故2A=2B或2A+2B= , 故4=B或4+B=受即 MC是等限三角形或直角三角形,C错误: 对于D,B=60 ,b2=a0,则b2=a2+c2-2 ac cos B=a2+c2-ac=ac, 故a2+c2-2ac=(a-c)=0,.a=c,结合B=60 ,可知 ABC是等边三角形,D正确, 1【详解】对于A,结合图象可得g0)=9,所以血p=气,又0<受,所以p-号。 2 所以8因=如(2x+引,故A正确, 对于B,8闭=血2x+胃到右移号个单位得到函数y=s血2x-胃到的图象 再将其模坐标缩短为原来的宁得到f(=sm4x-胃的图象,故B正确; 对于c由x[引,得2x+[管9],所以g在上不单调,c错误 对于0令1=4x-号则[], 函数y=血在[骨5]上有6个譬点46化<%<巧<4<,<), 则5+2=元,42+6=3 ,5+4=5 ,4+4=7 ,车+6=9元, 故+24+24+24,+24+。=4(6+2+2%+2,+2%+)-10 号=25元, 所以+2%+2%+…42%+5-合,放D正确, 2、向量m=(m&-),万=(-3,osa叫,共中ae经,且mL元.则sn2a= 因为示Li,所以-3地a-wa-0,即如a=号 os2-亏得到cosa=-3血a,代入s如a+eosa=1,得到s如a=0 又tana=sing=-l 又ae爱,所以如a=而, 10cosc=-310.sn2e=3 10 13、【详解】由 =0,-1),万=(1,3),得 .方=1 1-1x3=-2,|上12+32=V0, 所以在5上的技影有晨为5-音5=0)=(兮身 6P1 10 14.解:以点A为坐标原点,分别以AB,AF所在直线为x,y轴,建立平面直角坐标系, 正八边形内角和为(8-2引 180 =1080 , 则∠HAB=日 1080 =135 ,若正八边形ABCDEFGHE的边长为2, 所以,A0,0以B(2,0以C2+V2,V2,Hl-√2,√2), 设P化,y以,则-√2≤x≤2+V2, AP=(xy以AB=(2,0),则AP.AE=2x>-2√2, 所以,当点P在线段GH上时,A下,A正取最小值-2W2. 15.(本小题13分) 解:(1)因为(+=+2.6+62=16-8+4=12,.1分 所以E+=2W3,..2分 .(食+可=2+京.6=16-4=12,.3分 所以0s属+可=高需=品=号…5分(公式,结果各1分) 又信,+b∈[0, ..6分 所以与+6的夹角为船.7分 (2)因为向量2-26与-36平行, 所以存在实数k使得2石-6=k(-3b..8分 =冠-3k⑥,.9分 所2X .,11分 解得 = √6...13分 =sin50 1+58i血10 16、(1)原式 cos10 1分 =sin50 .cos10'+V3sin10 2分 cos10 2o10'+ 2i10: 3分 =sin50'.- c0310 in50c0cin60's10si50c5 cos10" c0s10 .4分 sin100 cos10 .6分 s血90+10)_os10 co810 0810=1.7分 (2)解:由c0sa=月,a是锐角,得s如a=-cog2a- 9分 因为a,B是锐角,所以a+B∈(0,)10分 又题为oag+月=所o+-时a+功-哥-答…业分 iogcoa-aosas eoa sata niham 17.(本小题15分) (1)f(x)=2cos@x(sin@x+3cos@x)=2cos@xsin@x+23cosox...1 =sn20x+V5cos2@x+5=2sin(2@x++5,…3分 :图象的相邻两条对称轴之间的距离为牙 T= ,0=1.…4分 所以f(倒=2sm0x+学+5,由-受+2t≤2x+号≤受+25分 3-2 解得倍+虹s5后+,所以晋+侣+树kez,6分 由2x+号-k标可得x=后+空7分 所以中o为(,名+经,8分 ②)当e时,2x+号[-1,9分 由代闭小0可得:2si血(2x+宁+5>0,则sin2x+受>- ,10分 2 根漏正弦函数的国像与性质可得:2x+肾司号智(修 13分 (答对其中一个区间给1分) 解得的陬值范国为5引? 小…15分 18、(本小题17分) 【详解】(1)asin B=bsin2A,.sin Asin B=sin Bsin2A,1分 即sin Asin B=2 sin Acos Asin B,2分 AB∈(0,元),.sinA≠0,sinB≠0,3分 0s=克放4=号4分 3 (2)由(1)得,si如A=5, 05分 2 aMc的面积为35,c4=3,即 2c=3√5,解得c=4,6分 4 由余弦定理得,a2=b2+c2-2bcc0s4=9+16-2 3x4 号=13,8分 2 .a=V3,故 ABC的周长为7+V39分 (3)由A=行得B+C=纤,则c=纸-B,…10分 3 3 2cos+c0s C=2c0scos2cos0gin 2 =9B+asB=5sm(+i分 2 2 : 1BC为锐角三角形,0<B受0<号 3 6 B+<, .15分 2 36 故好<如(8+到k1,6分 <月血8+写55,即2c09B+cosC的取值范国是 2 9g …17分 19.(体小题17分)八 【答案】解:(1)在4ABC中cos2B+cos2C-cos2A=1, 即1-2sim2B+1-2sin2C-1+2sn2A=1,1分 故sin2A=sin2B+sin2C,由正弦定理可得a2=b2+c2,2分 故 ABC为直角三角形,即角A=受;3分 2)油(1)角A=艺所以 ABC的三个角都小于120 ,4分 则由费马点定义可知:∠APB=∠BPC=LAPC=120 , 设PA=x,P=yPC|=z,由SAPB+SBPc+S.APC=SABc得: 号驱+号x2整理得划+g+知 1 3 5分 则PAPB+PE,P元+PA.P元 =四()+归(》+2()=- 9-298分 点P为ABC的费马点,则∠APB=∠BPC=∠CPA=受 PBI=m/PAl,IPCI =n/PAl,IPAl=x,m>0,n>0,x>0, 则由lPB|+lPCl=tPA得m+n=t;9分 由余弦定理得/AB12=2+m2x-2mx2cos受=0m2+m+1), LAC=+n2nxcos++, 1Bc2=m2x+n2x2-2 mnx cos2受=0m2++mn,…l1分 由/AC12+/AB12=/BC/2得,(n2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2,12分 即m+n+2=mn,而m>0,n>0,故m+n+2=mm≤1”尸,…4分 当且仅当m=n,结合m+n+2=mn,解得m=n=1+√3时,等号成立,15分 又m+n=t,即有t2-4t-8≥0,解得t22+2V3或t2-2√3(舍去), 故实数t的最小值为2+2W3.…17分 4