湖南衡阳市祁东县第一中学2025-2026学年下学期期中考试试题高一数学

**基本信息** 以“升篓”文化、缉毒船航行等真实情境为载体，融合复数、向量、立体几何与解三角形，梯度覆盖基础运算与创新应用，培养数学眼光与建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数（共轭复数虚部）、向量（线性运算）、立体几何（斜二测画法）|基础概念与空间想象结合| |填空题|3题/15分|圆台体积、向量分解|公式应用与数形结合| |解答题|5题/77分|解三角形（缉毒船追及）、正四棱台（表面积与体积）、向量最值|情境化问题与多模块综合，如缉毒船问题考查正弦定理应用，升篓问题体现文化传承|

祁东一中2025-2026学年下学期期中考试高一数学 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A C B A D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD AD CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）【详解】（1）∵，， ∴. ∵是实数，∴，解得. ∴，∴. （2）由（1）知，∴. ∵复数对应的点在第四象限， ∴，解得，即实数m的取值范围为. 16．（15分）【详解】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 17．（15分）【详解】（1）因为单位向量满足， 则， 当且仅当时等号成立， 故当时，取得最大值为1； （2）在上投影的数量为， 又，则得，所以； （3）设，， 则， ， 因， 故， 整理得， 设函数， 则在区间上存在零点，则， 即，解得，即， 又，， 且当时，，即， 即在区间上存在零点，所以的取值范围为 18．（17分）【解答】（1）由题可知，四边形为正方形，所以， 分别取的中点，则为侧面高， 因为侧面为等腰梯形，侧面高， 所以一个侧面的面积为， 故正四棱台的表面积为， （2），连接，取中点，连接，过点作，则正四棱台的高为，，则， 在梯形中，， 所以四棱台的体积，    （3）当点共线时，最短， 由余弦定理得，，解得， 所以的最小值为，故D正确；    19．（17分）【分析】（1）对原等式进行展开化简，即可求出. （2）根据三角形面积公式和余弦定理求出三角形边长. （3）根据正弦定理将的表达式列出来，然后根据三角函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）在△ABC中，， . 所以 所以 所以 所以，所以． 因为，所以，所以． （2）因为△ABC的面积为， 所以，． 由余弦定理，得， 所以，所以，所以， 所以△ABC的周长为． （3）由正弦定理， 得，， 所以． 因为△ABC为锐角三角形，且，所以，所以． 因为函数在上单调递增，所以， 所以，所以的取值范围是． 高一期中考试--高一数学答案 第 页，共4页1 学科网（北京）股份有限公司 $ 祁东一中2025-2026学年下学期期中考试高一数学 全解全析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1. 设复数，则其共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【解析】， 所以，其虚部为.故选：B. 2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（　　） A． B． C． D． 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点， （） 故选：C. 3．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【解答】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A． 第3题图 第4题图 第5题图 4. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【解答】在斜二测直观图中，，且， 所以为等腰直角三角形，所以， 且，由斜二测画法可知，在中，， ，， 故．【答案】C 5. 如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上. 则处与小岛之间的距离为 （ ）    A. B. C. 10 D. 【分析】（1）在中利用正弦定理计算可得； （2）在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出； 【详解】（1）由题可知在中，，，所以， 由正弦定理可得：，及， 所以（海里）． 【答案】B 6．若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【分析】利用二倍角公式将已知等式化为，然后利用正弦定理边角互化得，进而求得，即可判断. 【详解】利用二倍角公式将已知等式化为， 即，由正弦定理得，即，所以， 所以是直角三角形. 故选：A. 7.在祁东县某乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【分析】先根据台体的体积公式求台体的高，再计算台体的斜高，进而可求四棱台的侧面积. 【解答】如图,点分别是棱台上下底面的中心，分别取边的中点,连接. 设四棱台的高为， 则. 由图知，, 设正四棱台的斜高. 所以正四棱台的侧面积为：. 故选：D 8．在△ABC中，，且，，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【解析】由可得， 又因为，，所以， 建立如图所示的平面直角坐标系，可得， 所以，， ， 所以， ， 表示轴上一点到和的距离之和， 所以求即， 关于轴的对称点为， 所以， 所以的最小值为， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知z1，z2都是复数，下列选项中正确的是（　　） A．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0 B．若，则z1＝z2 C．若，则z1+z2是实数 D．若，则|z1|＝|z2| 【解析】故选：ACD 若z1z2＝0，则|z1z2|＝0，可得|z1|＝0或|z2|＝0，所以z1＝0或z2＝0，故A正确；设，则1，但是z1≠z2，故B 错误；设z1a+bi（a，b为实数），则z2＝a﹣bi，可得z1+z2＝2a为实数，故C 正确；设，则，即，可得，，即，所以，可得|z1|＝|z2|，故D正确． 10. 已知向量，，则下列叙述中正确的是（    ） A．不论取何值都有 B．存在实数，使 C．存在实数，，使 D．存在实数，，使 【分析】利用向量垂直的坐标表示判断A；利用共线向量的坐标表示推理判断BCD. 【详解】对于A，任意实数，，则，A正确； 对于B，，而方程无实数解，即不共线，B错误； 对于C，，若，则，而此方程无实数解，C错误； 对于D，令，则，无论为何值，都有，D正确. 故选：AD 11． 已知正四棱锥的底面边长为1，高为，该正四棱锥的顶点在正方体的内部（包括表面），则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围是 B．若正四棱锥的侧棱长为，则 C．当点为正方体的上底面的中心时，正四棱锥外接球的表面积为 D．当点为正方体的内切球球心时，正方体的内切球与正四棱锥的公共部分的体积为 【分析】设正方形和正方形的中心分别为，当在线段（不含端点）上，即可判断A；根据勾股定理即可判断B；设正四棱锥的外接球球心为，半径为，则点在上，连接，根据勾股定理求得，由球的表面积公式即可判断C；当为正方体的内切球球心时，此时正方体被分割为6个与四棱锥相同的四棱锥，正方体的内切球与正四棱锥的公共部分的体积为内切球体积的，根据球体积公式即可判断D． 【详解】对于A，设正方形和正方形的中心分别为， 因为正四棱锥的底面边长为1，高为， 该正四棱锥的顶点P在正方体的内部（包括表面）， 所以当在线段（不含端点）上，此时，故A错误； 对于B，如图，在中，，故B错误； 对于C，设正四棱锥的外接球球心为，半径为，则点在上，连接， 在中，， 则，解得， 所以正四棱锥的外接球表面积，故C正确； 对于D，当为正方体的内切球球心时， 此时正方体被分割为6个与四棱锥相同的四棱锥， 所以正方体的内切球与正四棱锥的公共部分的体积为内切球体积的， 所以公共部分的体积为，故D正确； 故选：CD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知复数 【答案】 13. 已知某圆台的上、下底面面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积______________． 【分析】根据圆的面积公式和圆台的侧面积公式求出圆台的上、下底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆台的高，最后利用圆台的体积公式求解. 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h， 则，，，． 又，， ， ． 故答案为： 14．如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 【详解】与的夹角为，与的夹角为，且，； 对两边平方得：①； 对两边点乘得：，两边平方得：②； ①②得：；根据图象知，， ，代入得，； ． 故答案为：3 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分13分）已知复数，，且是实数. (1)求； (2)在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 【详解】（1）∵，， ∴. ∵是实数，∴，解得. ∴，∴. （2）由（1）知，∴. ∵复数对应的点在第四象限， ∴，解得，即实数m的取值范围为. 16．（本题满分15分）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 【答案】(1)缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 (2)缉毒船的行驶方向为北偏东 【详解】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 17．（本题满分15分） 已知单位向量满足． (1)求的最大值； ． 【详解】（1）因为单位向量满足， 则， 当且仅当时等号成立， 故当时，取得最大值为1； （2）在上投影的数量为， 又，则得，所以； （3）设，， 则， ， 因， 故， 整理得， 设函数， 则在区间上存在零点，则， 即，解得，即， 又，， 且当时，，即， 即在区间上存在零点，所以的取值范围为 18．（本题满分17分）在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），求： （1）四棱台的表面积； （2）四棱台的体积； （3）的最小值。 【分析】求出四棱台的表面积即可判断A；由正四棱台的体积公式计算出体积，即可判断B；将侧面展开在同一平面，结合余弦定理即可判断CD． 【解答】（1）由题可知，四边形为正方形，所以， 分别取的中点，则为侧面高， 因为侧面为等腰梯形，侧面高， 所以一个侧面的面积为， 故正四棱台的表面积为， （2），连接，取中点，连接，过点作，则正四棱台的高为，，则， 在梯形中，， 所以四棱台的体积，    （3）当点共线时，最短，由侧面展开图知： 由余弦定理得，，解得， 所以的最小值为，故D正确；    【点评】涉及几何体表面上两点间的距离的最小值问题是一种常见题型，一般沿某一条线（如旋转体的母线）展开，从而将空间图形平面化，于是便将问题转化为求平面图形上两点间的距离的最小值问题. 19.（本题满分17分）在锐角△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)求； (2)若，△ABC的面积为，求△ABC的周长； (3)若，求的取值范围． 【分析】（1）对原等式进行展开化简，即可求出. （2）根据三角形面积公式和余弦定理求出三角形边长. （3）根据正弦定理将的表达式列出来，然后根据三角函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）在△ABC中，， . 所以 所以 所以 所以，所以． 因为，所以，所以． （2）因为△ABC的面积为， 所以，． 由余弦定理，得， 所以，所以，所以， 所以△ABC的周长为． （3）由正弦定理， 得，， 所以． 因为△ABC为锐角三角形，且，所以，所以． 因为函数在上单调递增，所以， 所以，所以的取值范围是． 高一期中考试--高一数学答案 第 页，共12页1 学科网（北京）股份有限公司 $祁东一中2025-2026学年下学期期中考试 音蓝风 高一 数学答题卡 扫描关注错题 班级 姓名 学校 考场号 座位号 1.答题前请将姓名、班级、考场、座号 和准考证号填写清楚。 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修 意 改时用橡皮擦干净。 3.主观题必须使用黑色签字笔书写。 贴条码区域 事 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超 项 出答题区域书写无效。 5.保持答卷清洁完整。 正确填涂■ 错误填涂名巴 考生禁填 缺考☐ 违规☐ (由监考老师填涂) 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1【A]B]【C[D 6 [A][B]IC][D] 2 [A][B][C][D] 7【A][BI ICI [D] 3 [A]IBIICIID] 8【A][B]IC][D] 4 [A][B][CI[D] 5【AJ【BIIC][D 二、 多项选择题：每小题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分 9【A】[BJIC1[D] 10【A】[B]IC]IDJ 11 [A][B]IC][D] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12、 13 14 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第1页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第2页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题满分15分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第3页共6页 请保持答题卡干净整洁，不要污损 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题满分15分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 第4页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题满分17分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第5页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题满分17分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第6页共6页 祁东一中2025-2026学年下学期期中考试试题 高一数学 （命题人：曾建湘） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设复数，则其共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（　　） A． B． C． D． 3．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 4. 如图，是利用斜二测画法画出的的直观图，其中，且，则的面积是（    ） A． B． C． D． 5. 如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上. 则处与小岛之间的距离为 （ ）    A. B. C. 10 D. 6．若△ABC的三个内角满足，则△ABC是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 7. 在祁东县某乡村用来盛粮食的小容器通常被称为“升篓”（如图所示）.升篓呈棱台形，全木制作，上口大，下口小，制作形态为榫卯契合，完全不用一颗钉子.如图是一个正四棱台形的升篓，体积，上､下底面棱长分别为，则该正四棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 8．在△ABC中，，且，，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知z1，z2都是复数，下列选项中正确的是（　　） A．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0 B．若z13=z23，则z1＝z2 C．若z1=，则z1+z2是实数 D．若z12=z22，则|z1|＝|z2| 10. 已知向量，，则下列叙述中正确的是（    ） A．不论取何值都有 B．存在实数，使 C．存在实数，，使 D．存在实数，，使 11． 已知正四棱锥的底面边长为1，高为，该正四棱锥的顶点在正方体的内部（包括表面），则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围是 B．若正四棱锥的侧棱长为，则 C．当点为正方体的上底面的中心时，正四棱锥外接球的表面积为 D．当点为正方体的内切球球心时，正方体的内切球与正四棱锥的公共部分的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知复数 13. 已知某圆台的上、下底面面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积______________． 14．如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本题满分13分）已知复数，，且是实数. (1)求； (2)在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围. 16．（本题满分15分）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 17．（本题满分15分） 已知单位向量满足． (1)求的最大值； ． 18．（本题满分17分）在正四棱台中，，，为棱上的动点（含端点），求： （1）四棱台的表面积； （2）四棱台的体积； （3）的最小值。 19.（本题满分17分）在锐角△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，． (1)求； (2)若，△ABC的面积为，求△ABC的周长； (3)若，求的取值范围． 高一期中考试 数学试题 第 页，共4页。1 学科网（北京）股份有限公司 $