10.5 分式方程 强化训练（例题+变式训练）2025-2026学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级数学下册10.5分式方程 题型一：分式方程的基本解法 ★☆☆基础层 2 例题1：解方程： 3 x-1x+1 解析：去分母，两边同乘（x-1)(x+1)得 2(x+1)=3(x-1) 2X+2=3x-3 移项得2X-3x=-3-2 -x=-5 解得x=5。 检验：当x=5时，x-1=4≠0，x+1=6≠0， 变式训练： 35 1.解方程：Xx+2 2解方程：24 3.解方程： 23 =0 X+3x-3 53 4.解方程：2x-1x+2 强化训练（例题+变式训练） 故x=5是原方程的解。 ★★☆提高层 例题2：解方程：x-21=4 解析：分母分解x2-4=(x-2)(x+2),最简公分母为（x-2)(x+2)。 去分母，两边同乘（x-2)(x+2)得： x(x+2)-(x2-4)=4 X2+2X-x2+4=4 2X+4=4 2x=0 解得x=0。 检验：当x=0时，分母x-2=-2≠0，x+2=2≠0，且x2-4=-4≠0，故x=0 是原方程的解。 变式训练： 1纺品 3416 2.解方程：x-2x+2X-4 3.解方程：x。=2-3 X-3 X-3 2x+2=4 4.解方程：x一1x+1X-1 ★★★拓展层 例题3：解方程：文2X+2X-4 x+2-X-2=16 解析：分母分解x2-4=(x-2)(x+2),最简公分母为（x-2)(x+2)。 去分母，两边同乘（x-2)(x+2)得： 左边利用平方差公式：（x+2+x-2)(x+2-x+2)=(2x)(4)=8x 即8x=16,解得x=2。 检验：当x=2时，分母x-2=0,原方程无意义，故x=2是增根，原方程无 解。 变式训练： 1.解方程： x+1x-1_4 X-1x+1x2-1 2.解方程：2x-3=2x2-1 x+1X-1x2-1 1,14 3.解方程：x+2x-2×-4 题型二：分式方程的增根与无解问题 ★☆☆基础层 例题4：若关于x的分式方程x3+x中3x 2+3=k 一有增根，求k的值。 解析：最简公分母(x-3)x+3),去分母得： 2(x+3)+3(x-3)=k 2x+6+3x-9=k 5x-3=k 增根即分母为零的根，即x=3或x=-3。 将x=3代入5x-3=k得15-3=k,k=12。 将x=-3代入得-15-3=k,k=-18。 所以k=12或k=-18。 变式训练： 1.若关于x的分式方程3+=m有增根，求m的值。 x-1x+1x2-1 2.若关于x的分式方程 23-a x-2x+2x2-4 有增根，求a的值。 1 .2k 3.若关于x的分式方程x=4+x+4x-16 有增根，求k的值。 ★★☆提高层 例题5：若天于X的分式方程名专+”无解，求m的狼 解析：最简公分母(x-2)(x+2),去分母得： 2(x+2)+m=3(x-2) 2x+4+m=3X-6 移项得4+m+6=3x-2x,即x=m+10。 无解的情况：整式方程的解是增根（分母为0）。 增根为x=2或x=-2。 当x=2时，2=m+10,解得m=-8。 当x=-2时，-2=m+10,解得m=-12。 检验：m=-8时x=2为增根，原方程无解；m=-12时x=-2 无解。 所以m=-8或m=-12。 变式训练： 1.若关于x的分式方程 3-2=k,无解，求k的值。 x-1x+1x2-1 2若关于x的分式方程2X1+Xm2无解，求m的值 x-2 3,若关于x的分式方程之3X+3,”。无解，求a的值 ★★★拓展层 例题6：者关于x的分式方程己3号1无解，求m的值。 解析：最简公分母x-3,去分母得： 2=m+(x-3) 2=m+x-3 x=5-m。 无解则整式方程的解是增根，即x=3(使分母为0)。 代入得3=5-m,解得m=2。 22 检验：当m=2时，原方程为x一3x一3+1，即0=1，无解。 为增根，原方程 所以m=2。 变式训练： 1若关于x的分式方程3=<冬+2无解，求k的值。 x-1x-1 2.若关于x的分式方程X=m-1无解，求m的值。 X+1X+1 题型三：含参数的分式方程 ★☆☆基础层 例题7：若关于x的分式方程X3X3+1的解为正数，求k的取值范用 解析：最简公分母x-3,去分母得： k=2+(x-3 k=X-1 解得x=k+1。 解为正数且分母不为0：x>0且x≠3。 由k+1>0得k>-1。 由k+1≠3得k≠2。 所以k的取值范围是k>-1且k≠2。 变式训练： 1若关于x的分式方程22+2的解为正数，求n的取值宿阳。 2.若关于x的分式方程？=1-1的解为负数，求a的取值范围 x+1x+1 3。若关于x的分式方程。4X24+3的解大于1，求b的取值范围。 ★★☆提高层 题8：若关于x的分式方程-x3一2的解为负数，求k的取值范 解析：最简公分母x-1,去分母得： k=3-2(x-1) k=3-2X+2 k=5-2x 整理得2x=5-k,即x=5k 2 解为负数且分母不为0：x<0且x≠1。 由 5k<0得5-k<0,即k>5。 k≠1得5-k≠2，即k≠3（自然满足k>5)。 由2 所以k的取值范围是k>5。 变式训练： 1若关于x的分式方程”2x2-3的解为负数，求m的取值指围 2,若关于x的分式方程中1x中+1的解大于2，求a的取值范围。 3、若关于x的分式方程，片g写1的解为正数，求b的取值范围。 题型四：综合运用（新定义、规律探究、综合推理） 例题9（新定义) 定义运算“※”：axb=号+号解方程：※(x:1)-2 解析：由定义得X+X二1=2。 x-1 x 通分得x2+乙i。 两边乘x(x-1)得2x-2x+1=2x(x-1)=2x2-2x。 化简得1=0，矛盾，故原方程无解。 变式训练： 1定义b=号名解方程：4-0. 2定义0b-0+ 2,解方程：x⊙(x-2)=5。 3想定ab=号+只若x2x=2,求X 例题10（规律探究） 观察下列方程及其解： x-2x3的解为X=1, 12 23 x-3x-4 的解为x=2; 246的解为X=3。 (1)写出第n个方程的形式及其解。 2024 2025 (2)直接写出方程 的解。 X-2025X-2026 解析： n+1 (1)观察规律：第n个方程为-+元r2+)》 解为x=n。 (2)由规律，方程 2024-2025 X-2025X-2026 的解为x=2024。 变式训练： 观察下列方程的解： 1=2 X-3x-4 的解为X=2:己4是写的解为X=3 3 心4 的解为x=4。 x-5x-6 (1)请写出第n个方程及其解。 20232024 (2)直接写出方程 X-2025x-2026 的解。 例题11（综合推理） 已知关于x的分式方程 2+3=k, x-1x+1x2-1 的解与方程2名 的解相同，求 k的值。 解析：先解第二方程 12 X-2X-1 去分母得x-1=2(x-2),即x-1=2x-4,解得x=3。 检验：x=3时分母不为0，是解。 将x=3代入第一方程： 2 3 k 3-13+1-9-1 2+3_k 248 1+3=7=k 4-4-8 解得k=8×7=14。 2+314 再检验：当k=14时，第一方程化为x1+x+1X-1! 去分母得 2(x+1)+3(x-1)=14,即5x-1=14,x=3,且分母不为0，解唯一，与第二方程 解相同。故k=14。 变式训练： 3=m的解与方程2=1 1.若关于x的分式方程x=2+x+2x2-4 x-1x+1 的解相 同，求m的值。 *-2x3的解互 2.若关于x的分式方程十=0的解方程3-2 x-1x+1x2-1 为相反数，求a的值。 答案专区（请勿提前查看） 题型一答案 基础层 1.解：去分母得3(x+2)=5x→3x+6=5x→2x=6→x=3。 检验：当x=3时，分母x=3≠0，x+2=5≠0，是原方程的解。 2.解：去分母得x+1=4(x-2)→x+1=4x-8→3x=9→x=3。 检验：当x=3时，分母x-2=1≠0，x+1=4≠0，是原方程的解。 子解，移项袋石3己去分母得2K-3引=3x+31一 2x-6=-3x-9→5x=-3→x=-3 。 检验：当X=号时，分母X+3=号0，《-3=-90，是原方程的解。 4.解：去分母得5(x+2)=3(2x-1)→5x+10=6x-3x=13。 检验：当x=13时，分母2x-1=25≠0，x+2=15≠0，是原方程的解。 提高层 1.解：去分母得2(x-1)+3(x+1)=6→2x-2+3x+3=6→5x+1=6→ x=1. 检验：当x=1时，分母x-1=0,x+1=2≠0，但x2-1=0,原方程无意 义，故x=1是增根，原方程无解。 2.解：去分母得3(x+2)-4(x-2)=16→3x+6-4x+8=16→-x+14=16 →X=-2。 检验：当x=-2时，分母x+2=0,原方程无意义，故x=-2是增根，原 方程无解。 3.解：去分母得x=2(x-3)-3x=2x-6-3x=2x-9→x=9。 检验：当x=9时，分母X-3=6≠0，是原方程的解。 4.解：去分母得2x(x+1)+2(x-1)=4→2x2+2x+2x-2=4→ 2x+4x-6=0→除以2得x2+2x-3=0→（x+3)(x-1)=0→x=-3或 x=1。 检验：当x=1时，分母x-1=0,增根；当x=-3时，分母 x-1=-4≠0，x+1=-2≠0，x2-1=8≠0，是原方程的解。 拓展层 1.解：去分母得飞→(x2+2x+1)-(x2-2x+1)=4一4x=4→x=1。 检验：当x=1时，分母x-1=0,原方程无意义，故x=1是增根，原方 程无解。 2.解：去分母得2x(x-1)-3(x+1)=2x2-1一2X2-2x-3x-3=2x2-1→ -5x-3=-1→-5x=2→x=-2。 检验：当x=号时，分母X+1-=是0，X1= 50, ×-1=若1=是0，是原方程的解。 3.解：去分母得（x-2)+(x+2)=42x=4→x=2。 检验：当x=2时，分母x-2=0,原方程无意义，故x=2是增根，原方 程无解。 题型二答案 基础层 1.解：去分母得3(x+1)+(x-1)=m→3x+3+x-1=m→4x+2=m→ x=m-2 49 增根为x=1或x=-1。 当X=1时，21一m-2=4一m=6 当x=-1时，m2=-1→m-2=-4→m=-2。 4 所以m=6或m=-2。 2.解：去分母得2(x+2)-3(x-2)=a→2x+4-3x+6=a-x+10=a→ x=10-a。 增根为x=2或x=-2。 当x=2时，10-a=2→a=8。 当x=-2时，10-a=-2→a=12。 所以a=8或a=12. 3.解：去分母得（x+4)+2(x-4)=k→x+4+2x-8=k3x-4=k→ x=k+4 39 增根为x=4或x=-4。 当X=4时，k牛4=4→k+4=12一k=8。 3 当x=-4时，34=4→k+4=-12→k=-16y 所以k=8或k=-16。 提高层 1.解：去分母得3(x+1)-2(X-1)=k→3x+3-2x+2=k→x+5=k→ X=k-5。 无解则解为增根x=1或x=-1。 当x=1时，k-5=1→k=6。 当x=-1时，k-5=-1→k=4。 所以k=6或k=4。 2.解：去分母得2x=(x-2)+m→2x=x-2+m→x=m-2。 无解则解为增根x=2,代入得m-2=2→m=4。 检验：m=4时，方程化为2器1+x42 1+x-2,右边X-2+4=x+2 x-2X-2' 则 2x=x+2,x=2,增根，原方程无解。 3.解：去分母得2(x+3)-（x-3)=a→2x+6-x+3=a→x+9=a→ X=a-9。 无解则解为增根x=3或x=-3。 当x=3时，a-9=3→a=12。 当x=-3时，a-9=-3→a=6。 所以a=12或a=6。 拓展层 1.解：去分母得3=k+2(x-1)→3=k+2x-2一2x=5-k一X=5k 2 无解则解为增根X=1,代入得5，k=1一5-k=2一k=3。 2 检验：k=3时，原方程化为3=3+2，即0=2，无解。 x-1-x-1 2.解：去分母得x=m-(x+1)→x=m-x-1→2x=m-1→x=m1 2 无解则解为增根X=-1,代入得m,1=-1→m-1=-2→m=-1。 2 检验：m=-1时，原方程化为1右边1=子 X+1X+1 则x=-x-2,2x=-2,x=-1,增根，无解。 题型三答案 基础层 1.解：去分母得m=1+2(x-2)一m=1+2x-4一2x=m+3一X=m+3 2 解为正数且分母不为0：x>0且x≠2。 m+3>0→m+3>0→m>-3。 m+3≠2→m+3≠4→m≠1。 故m>-3且m≠1。 2.解：去分母得a=1-(x+1)一a=1-x-1→x=-a。 解为负数且分母不为0：x<0且x≠-1。 -a<0→a>0。 -a≠-1→a≠1。 故a>0且a≠1。 3.解：去分母得b=2+3(x-4)→b=2+3x-12→3x=b+10一x=b+10 3 解大于1且分母不为0：x>1且x≠4。 b+10>1→b+10>3→b>-7。 3 b+10≠4b+10≠12→b≠2。 3 故b>-7且b≠2。 提高层 1.解：去分母得m=4-3(x-2)→m=4-3x+6→3x=10-m→ x=10-m 3。 解为负数且分母不为0：x<0且x≠2。 10-m<0→10-m<0→m>10。 3 10-m≠2→10-m≠6→m≠4（自然满足m>10）。 3 故m>10。 2.解：去分母得a=2+(x+1)→a=x+3→x=a-3。 解大于2且分母不为0：x>2且x≠-1。 a-3>2→a>5。 a-3≠-1→a≠2（自然满足a>5)。 故a>5。 3.解：去分母得b=5-（x-3)→b=5-x+3→x=8-b。 解为正数且分母不为0：x>0且x≠3。 8-b>0→b<8。 8-b≠3→b≠5。 故b<8且b≠5。 题型四答案 例题9变式 1.解：由定义得X-X+1=0。 x+1 x 通分得X2-i,分子X2-(x2+2x+1)=-2x-1=0,解得x=- 检验：分母xx+1=×号子0，是原方程的解。 2.解：由定义得2x+3x-2=5。 x-2 X 去分母得2x+3i。 展开：2x+3(x2-4x+4)=5x2-10x→2x2+3x2-12x+12=5x2-10x→ 5x2-12x+12=5x2-10x→-12x+12=-10X→2x=12→x=6。 检验：当x=6时，分母x-2=4≠0，x=6≠0，是原方程的解。 3解定义得2+2-2。 通分得x2+ii,即x2+4x2-4x+1=2x(2x-1)=4x2-2x→ 5x2-4X+1=4x2-2x→x2-2x+1=0→U→X=1。 检验：当x=1时，分母2x-1=1≠0，x=1≠0，是原方程的解。 例题10变式 (1)观察规律：第n个方程为x0 n+1 x-(n+2)x-(n+3, 解为x=n+1。 (2)由规律，方程2023=2024 X-2025X-2026 中，对应n=2023,解为 x=2023+1=2024。 例题11变式 1.解：先解方程己=1 X-1x+1° 去分母得2(x+1)=X-1→2x+2=X-1→x=-3。 检验：当x=-3时，分母x-1=-4≠0，x+1=-2≠0，是解。 将=-3代入第方程：号232品·号片号 -号1=g-8g→m=-8 5 55 -+1=-8 险验：m=-8时，第一方程化为2X+24去分福 3(x+2)+x-2)=-8→3x+6+x-2=-8→4x+4=-8→4x=-12→ x=-3,解唯一且分母不为0，与第二方程解相同。故m=-8。 2.解：先解方程3=2 X-2X-3 去分母得3(x-3)=2(x-2)→3x-9=2x-4→x=5。 检验：当x=5时，分母x-2=3≠0，x-3=2≠0，是解。其相反数为-5 将=-5代入第-为程：号1品一 81-02 -6-4-24 51-a10313-0a=26 6+424→12+12=1224 x1-26 检验：a=26时，第一方程化为x-1x+1X1,去分母得 x(x+1)-(x-1)=26→x2+x-x+1=26→x2+1=26→x2=25→x=±5 。其中x=5是有效解，x=-5是原方程的解吗？检验x=-5时分母 X-1=-6≠0，x+1=-4≠0，也是解。但题目要求与第二方程的解互为相反 数，第二方程的解为5，相反数为-5，符合。故a=26。