培优01 分式（8大重难题型+强化训练）数学新教材苏科版八年级下册

培优01分式8大重难题型+强化训练 题型1分式的识别与有无意义判定 判断是不是分式，只看分母含有字母，分母含字母就是分式，不含就是整式。 分式有意义只需**分母不等于零，无意义就是分母等于零。 求分式值为零，要同时满足分子为零、分母不为零**两个条件。 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、属于整式，不是分式，不符合题意； B、属于整式，不是分式，不符合题意； C、的分母是含字母的整式，符合分式定义，是分式，符合题意； D、属于整式，不是分式，不符合题意． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在代数式中，属于分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】若，是整式，中含有字母且，则是分式，据此可得答案． 【详解】解：在代数式中，属于分式有，共2个． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式无意义的条件及分式的值为0的条件即可判断． 【详解】解：A、当时，分母，有意义，当时，分子，分母，无意义，故选项不符合题意； B、当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值为0，故选项符合题意； C、当时，分母，有意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； D、当时，分母，无意义，当时，分子，分母，的值不为0，故选项不符合题意； 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）分式的值为0，那么x的值为_______． 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件，即分子等于零且分母不等于零，先求解分子等于零得到x的可能值，再根据分母不为零舍去不符合条件的值，得到最终结果． 【详解】解：若分式的值为， 根据分式值为零的条件可得： 解，解得或， 又，即， 因此． 5．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）下列代数式，，，，，，，其中分式共有______个． 【答案】 【分析】分式的定义为：若，表示两个整式，，且中含有字母，则是分式，逐个判断后统计分式个数即可． 【详解】解：，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； ，是圆周率，属于常数，分母为常数，不含字母，是整式，不是分式； ，分母含有字母，是分式； ，分母含有字母，是分式； 综上可得：分式共有个． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）当取什么值时，分式． (1)分式有意义； (2)分式的值为0． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式值为零的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件是分子为零且分母不为零是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件即可求解； （2）根据分式值为零的条件即可求解． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得：； （2）解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 题型2分式值为零及正负取值题型 分式值为零，分子等于零且分母不能为零，缺一不可。 分式值为正，分子分母同正或同负，同时分母不为零。 分式值为负，分子分母一正一负，切记始终避开分母为零的情况。 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式值为0时需同时满足分子为0、分母不为0，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏·期中）已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查分式值的正负性，解一元一次不等式等知识点，若对于分式（）时，说明分子、分母同号；分式（）时，分子、分母异号． 根据分式的值是非负数，分母恒为正数，因此只需分子是非负数即可． 【详解】解：∵，的值是非负数， ∴，即． ∴的取值范围是． 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏·期末）若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查分式的值、解不等式．根据分式的值为正数得到，解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为正数，， ∴， 解得：． 故选：A 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如果分式的值为零，那么_____． 【答案】 【分析】分式值为零的条件：需同时满足分子为零，分母不为零．据此分别求解后取公共部分即可得到x的值． 【详解】解：若分式的值为零， 则. 解得或， 由，得. 因此． 5．（25-26八年级下·江苏南京·月考）当______时，分式值为零． 【答案】 【详解】解：依题意， 由 解得或， 由解得， 综上所述，的值为． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知分式，回答下列问题． (1)若分式的值是零，求的值； (2)若分式的值是正数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式值为零、分式值为正，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件． （1）根据分式值为零的条件：分子为零，分母不为零，解答即可； （2）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可． 【详解】（1）解：∵分式的值是， ∴且， ∴， ∴当时分式的值是零． （2）解：∵分式的值为正数， ∴或 不等式组①无解， 解不等式组②得：， ∴的取值范围是． 题型3分式基本性质与约分题型 分式分子分母同乘同除一个不为零的整式，分式值保持不变。 分式约分先找分子分母公因式，约去公因式化为最简分式。 遇负号可在分子、分母、分式前灵活移动，统一符号后再约分计算。 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大6倍 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，将扩大3倍后的x,y代入原式，化简后与原分式比较即可得到结果. 【详解】解：∵把和都扩大3倍后，得到新分式为， ∴新分式与原分式相等，分式的值不变. 2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若，则M为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的分母的变化确定分子分母都乘以，从而可得答案. 【详解】解：∵，而， ∴， 故选：D 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是约分，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．根据分式的约分法则计算，判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，不能约分，故本选项结论不正确，不符合题意； B、，故本选项结论不正确，不符合题意； C、，结论正确，符合题意； D、，故本选项结论不正确，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期中）时，分式的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，首先将分式约分化简，然后将a的值代入化简后的结果进行计算即可． 【详解】∵ ∴ ． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是______． 【答案】16 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．由题意得，将分式中，用，代替，利用分式的基本性质化简，再结合原分式的值即可得出答案． 【详解】解：将分式中，都扩大为原来2倍后，所得式子为： ， 若分式的值为8，则所得分式的值是． 故答案为：16． 6．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）将下列分式化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）约去分子，分母的最大公因式即可； （2）先分解因式，然后约分计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 题型4分式通分与最简公分母求解 先把各分式分母**彻底因式分解**，系数取最小公倍数、相同因式取**最高次幂**，相乘就是最简公分母；通分时看原分母扩倍乘了什么因式，分子同步乘该因式即可；遇到互为相反数的因式先提负号统一形式，避免通分出错。 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）分式与的最简公分母是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和，和的最小公倍数为，的最高次为，的最高次为， ∴最简公分母为因式． 2．（25-26八年级下·江苏·期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了通分，需掌握最简公分母的求法：取各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积．通分的关键是确定最简公分母，分式和的公分母为 ，据此计算即可． 【详解】解：∵最简公分母为：， ∴分式的分子和分母需同乘， ∴分子变为． 故选：A． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）填空：①，②，括号内依次填入_____，_____． 【答案】 / 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案． 【详解】解：①； ②． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）分式，的最简公分母是______． 【答案】 【分析】根据最简公分母的定义，分别确定系数部分与各字母因式的最高次幂，计算得到结果即可． 【详解】解：确定最简公分母时，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作为公分母. 两个分式的分母分别为和，系数部分的最小公倍数为，的最高次幂为，的最高次幂为，因此最简公分母为 5．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）通分： (1)，； (2)，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 6．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）通分 (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了通分．解答此题的关键是熟知找公分母的方法：系数取各系数的最小公倍数；凡出现的因式都要取；相同因式的次数取最高次幂． （1）最简公分母是，利用分式的性质变形即可； （2）中分式的分母分别为，，确定最简公分母是，然后利用分式的基本性质变形即可． 【详解】（1）解：∵最简公分母为， ∴，； （2）解：∵最简公分母为， ∴， ． 题型5分式乘除及乘方运算题型 分式乘除先把分子分母因式分解，除法变乘倒数，先交叉约分再相乘；分式乘方是分子分母各自整体乘方，再化简求值；全程遵循**先分解、先约分、后计算**，能约先约，避免繁琐运算。 1．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）已知，能使等式恒成立的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．· D．÷ 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的除法法则是解题的关键． 根据分式的除法法则计算，判断即可． 【详解】解：∵， ∴能使等式恒成立的运算符号是， 故选：D． 2．（25-26八年级下·江苏·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式利用乘方的意义计算即可得到结果． 【详解】解：== 故选 C 【点睛】此题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（25-26八年级上·江苏·寒假作业）____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除运算，分式的乘方运算，熟练运用分式运算法则是解题的关键． 分别计算两个分式的乘方，然后将除法转换为乘法，最后进行约分即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 4．（21-22八年级下·江苏泰州·期中）化简： ___________． 【答案】 【分析】先用完全平方公式变形分子，再约分来求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式乘除法运算，理解完全平方公式和运算法则是解答关键． 5．（25-26八年级下·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，解题思路为将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约去公因式，即可计算得到结果，用到分式乘除运算法则和因式分解的知识． 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 6．（25-26八年级下·江苏常州·月考）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型6分式加减乘除混合运算题型 分式加减乘除混合运算 解题大招 先算乘除后算加减，有括号先算括号内；乘除先因式分解、颠倒约分，加减先通分再合并分子；全程随时约分，结果一定要化成最简分式。 1．（22-23八年级下·江苏·期末）化简：的结果是（　　） A． B．a C． D．1 【答案】B 【分析】先计算括号里的，再把除法转化成乘法计算． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查的是分式的混合运算，对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇括号要先算括号里面的． 2．（21-22八年级下·江苏扬州·月考）计算：____． 【答案】 【分析】先计算括号内的分式化简，然后再计算除法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查分式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据分式的乘法运算法则进行运算，结果化为最简分式； （2）先计算小括号内的加法，再计算除法，结果化为最简分式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可解答； （2）先将括号内的分式通分，再进行减法运算，最后进行乘除运算即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 题型7分式化简求值常规题型 #分式化简求值常规题型 解题大招 先按运算顺序化简分式，先因式分解、约分、通分，把式子化成最简形式再代入求值； 代入前先观察字母取值，避开使原式分母为零的无意义数值； 遇到整体代入题型，不用单独求字母，直接把已知代数式整体替换即可快速求解。 1．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的混合运算，简化给定方程中的分式表达式，通过通分和约分得到简化形式，然后解出并考虑分母不为零的条件． 【详解】解： ，（其中 且 ）， 代入原方程得：， ∴ ，且， 故选：D． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）若，则的值是______． 【答案】6 【分析】将，变形得，再两边平方，最后等式变形即可． 【详解】由，得， 两边平方，得， 得， ∴． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先算括号内的减法，再算加法，化简得到最简结果，然后根据负整数指数幂的运算法则计算出的值，再将其代入求出结果． 【详解】解：原式， ， 原式． 5．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中从0，1，2中选一个恰当的数求值． 【答案】，当时，原式 【分析】先把小括号内的式子通分，然后因式分解后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定m的值，然后代入求解． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∵从0，1，2中选一个恰当的数 ∴当时，原式． 题型8分式方程 分式方程及其应用 解题大招 解分式方程先找最简公分母去分母化为整式方程，求解后必须验根，公分母为零就是增根，直接舍去。 分式方程应用题**先设未知数**，找准等量关系列方程，常见工程、行程、价格类，理清速度、效率、单价的数量关系。 解完方程既要检验方程增根，还要检验结果是否符合实际题意，负数、不合情理的值一律舍去。 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）古代建筑中，榫卯结构至关重要，它使得建筑物连接牢固且难以松动．已知在一组榫卯中，一个榫需要的木材是一个卯需要的木材的倍．若用木材制作榫的数量比用木材制作卯的数量少个．设制作个卯需要木材，符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设制作个卯需要木材，则制作一个榫需要木材， 根据题意可得， 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求．现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，关键抓住亩数减少的等量关系列方程． 根据题意，改良后总产量为万千克，原计划种植亩数为，改良后种植亩数为，亩数减少10亩，故得方程． 【详解】解：设原来平均每亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为万千克． ∵原计划总产量30万千克， ∴原计划种植亩数为亩； ∵改良后总产量增加6万千克， ∴改良后总产量为36万千克， ∴改良后种植亩数为亩； ∵种植亩数减少了10亩， ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）关于x的方程会产生增根，那么k的值（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程即可求出k的值． 【详解】解：分式方程去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：， 故选：A． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程可得，再根据分式方程有增根可得，从而得出，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵关于的分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 【答案】 【分析】先将给定分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根得到使最简公分母为的的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解： ， ∵分式方程有增根， ∴ 解得， 把代入得， 解得． 6．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）若关于x的分式方程的解是正数，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解分式方程得到的表达式，再根据解为正数且分式有意义的条件列出不等式，求解即可，掌握分式方程的解法是解题的关键。 【详解】解： 去分母，化为整式方程得 展开并整理得 解得 ∵该分式方程的解为正数 ∴，且分母 解不等式得 由得，解得 ∵已满足 ∴的取值范围是． 7．（25-26八年级下·江苏南京·月考）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前40天完成了这一任务．如果设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，那么可列方程为：______． 【答案】 【分析】根据工作效率的关系求出原计划每天绿化的面积，再根据原计划工作时间减去实际工作时间等于提前的天数列方程即可． 【详解】解：由题意知，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了， 原计划每天绿化的面积为万平方米， 原计划完成任务所需天数为， 实际完成任务所需天数为， 可列方程：． 8．（22-23八年级下·江苏扬州·月考）已知关于的方程无解，则的值为________． 【答案】1或/或1 【分析】先将分式方程去分母，化为整式方程，再进行分类讨论：①当整式方程无解时，②当分式方程有增根时，即可求解． 【详解】解： 当整式方程无解时：即，解得：； 当分式方程有增根时：增根为，即，解得． 9．（25-26八年级下·江苏南京·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原分式方程无解 (2)原分式方程无解 【分析】（1）先去分母，转化为整式方程，解整式方程后再检验即可； （2）先去分母，转化为整式方程，解整式方程后再检验即可． 【详解】（1）解：， 原方程化为：， 两边同乘以，得：， 解得：， 检验，当时，， ∴是增根，原方程无解； （2）解：， 两边同乘以，得：， 解得：， 检验，当时，， ∴是增根，原方程无解． 10．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 【答案】小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟 【分析】设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟，利用“时间路程速度”的关系，根据两人的时间差为4分钟列方程求解即可． 【详解】解：设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟,根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意 ， 此时， 答：小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟． 11．（25-26八年级下·江苏南京·期中）用方程解决问题：为了提高工作效率，公司计划整理文件1080份．由于青年员工支援，实际每天整理的文件份数比原计划每天多，结果提前6天完成任务．原计划每天整理多少份文件？ 【答案】 原计划每天整理60份文件 【分析】设原计划每天整理份文件，则实际每天整理份文件，根据实际比原计划提前6天完成任务建立方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天整理份文件，则实际每天整理份文件， 由题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划每天整理60份文件． 12．（24-25八年级上·江苏南通·期末）小华计划购买A，B两种型号的笔记本，已知A，B两种型号笔记本的单价比是3：2，用480元购买A型号的笔记本的数量比用360元购买B型号笔记本的数量少2本，求A，B两种笔记本的单价． 【答案】A笔记本的单价为30元/本，则B笔记本的单价为20元/本 【分析】本题考查了分式方程的应用，设A笔记本的单价为3x元/本，则B笔记本的单价为2x元/本，根据用480元购买A型号的笔记本的数量比用360元购买B型号笔记本的数量少2本，列出分式方程，解方程，即可 【详解】解：设A笔记本的单价为3x元/本，则B笔记本的单价为2x元/本． 由题意，得，解得． 经检验，原分式方程的解是，且符合题意． 元/本，元/本 答：A笔记本的单价为30元/本，则B笔记本的单价为20元/本． 一、单选题 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】将x，y同时扩大3倍后代入原分式化简，再和原分式比较即可得到结果． 【详解】解：将和分别替换原分式中的和， ∵ ∴新分式的值是原分式的倍，即分式的值扩大到原来的倍． 2．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）要使分式有意义，则x的取值应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式有意义的条件求解． 分式有意义时分母不为零，求解即可得到的取值要求． 【详解】解：分式有意义， ． 解得． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的分子和分母没有公因式，无法继续约分的分式，只需对各选项分子分母因式分解后，判断是否存在公因式即可． 【详解】解：A：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； B：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； C：的分子和分母没有公因式，不能约分，是最简分式； D：，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列分式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A．，故变形错误，不符合题意； B．，故变形错误，不符合题意； C．，故变形正确，符合题意； D．，故变形错误，不符合题意． 5．（25-26八年级下·江苏南京·月考）解分式方程，去分母后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将互为相反数的分母变形，再给方程两边同乘最简公分母得到去分母后的结果． 【详解】解：原方程为 ， ， 原方程可变形为， ∴方程的最简公分母为， ∴方程两边同时乘，去分母得． 二、填空题 6．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若，则__________． 【答案】/ 【分析】将已知条件整体代入所求分式，约分后即可得到计算结果． 【详解】解：∵， ∴． 7．（25-26八年级下·江苏南京·期中）分式，，的最简公分母是____________． 【答案】 【分析】 取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，则最简公分母为． 8．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）计算________． 【答案】1 【详解】解：原式 9．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 【答案】 【分析】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值，根据增根的定义即可求解． 【详解】解：对于分式方程， 它的最简公分母为， 分式方程的增根使最简公分母为， 则， 解得． 三、解答题 10．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）（2）先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以是原分式方程的解． （2）解：， ， ， ， ， ； 检验，当时，， 所以是增根，原分式方程无解． 12．（25-26八年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 13．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前天完成任务，原计划每天种多少棵树？ 【答案】原计划每天种棵树 【分析】设原计划每天种棵树，根据提前天完成任务，列分式方程求解． 【详解】解：设原计划每天种棵树， 根据题意得：， 解这个方程得：， 经检验，是方程的解， 答：原计划每天种棵树． 14．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）兴化具有独特的旅游资源．其中千岛样式形成的垛田景观享誉全国，每年四月份，油菜花开，蓝天、碧水、“金岛”织就了“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”的奇丽画卷．来自世界各地的游客都会来观赏游玩，体验兴化的人文风情．油菜花谢了之后会留下油菜荚，其中包含油菜籽．油菜花开花后会慢慢结出果实，这些果实就是油菜籽，油菜籽可以用于榨油．已知千岛菜花风景区内，2015年油菜籽的总产量达到400万千克，更新技术后，到2024年油菜籽的总产量达到了600万千克，平均每亩产量比2015年多了200千克，2024年每亩产量达到多少千克？ 【答案】2024年每亩产量达到600千克 【分析】设2024年每亩产量达到千克，则2015年每亩产量为千克，根据题意，得解答即可． 本题考查了分式方程的应用，抓住田地的亩数不变是解题的关键． 【详解】解：设2024年每亩产量达到千克，则2015年每亩产量为千克 ， 经检验，是所列方程的解． 答：2024年每亩产量达到600千克． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01分式8大重难题型+强化训练 题型1分式的识别与有无意义判定 判断是不是分式，只看分母含有字母，分母含字母就是分式，不含就是整式。 分式有意义只需**分母不等于零，无意义就是分母等于零。 求分式值为零，要同时满足分子为零、分母不为零**两个条件。 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列代数式是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在代数式中，属于分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 0 * 无意义 * … A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）分式的值为0，那么x的值为_______． 5．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）下列代数式，，，，，，，其中分式共有______个． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）当取什么值时，分式． (1)分式有意义； (2)分式的值为0． 题型2分式值为零及正负取值题型 分式值为零，分子等于零且分母不能为零，缺一不可。 分式值为正，分子分母同正或同负，同时分母不为零。 分式值为负，分子分母一正一负，切记始终避开分母为零的情况。 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏·期中）已知分式的值是非负数，那么的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 3．（24-25八年级下·江苏·期末）若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如果分式的值为零，那么_____． 5．（25-26八年级下·江苏南京·月考）当______时，分式值为零． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）已知分式，回答下列问题． (1)若分式的值是零，求的值； (2)若分式的值是正数，求的取值范围． 题型3分式基本性质与约分题型 分式分子分母同乘同除一个不为零的整式，分式值保持不变。 分式约分先找分子分母公因式，约去公因式化为最简分式。 遇负号可在分子、分母、分式前灵活移动，统一符号后再约分计算。 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大6倍 D．不变 2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若，则M为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，约分正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期中）时，分式的值为________． 5．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是______． 6．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）将下列分式化简 (1) (2) 题型4分式通分与最简公分母求解 先把各分式分母**彻底因式分解**，系数取最小公倍数、相同因式取**最高次幂**，相乘就是最简公分母；通分时看原分母扩倍乘了什么因式，分子同步乘该因式即可；遇到互为相反数的因式先提负号统一形式，避免通分出错。 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）分式与的最简公分母是（） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏·期中）若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）填空：①，②，括号内依次填入_____，_____． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）分式，的最简公分母是______． 5．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）通分： (1)，； (2)，． 6．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）通分 (1) (2) 题型5分式乘除及乘方运算题型 分式乘除先把分子分母因式分解，除法变乘倒数，先交叉约分再相乘；分式乘方是分子分母各自整体乘方，再化简求值；全程遵循**先分解、先约分、后计算**，能约先约，避免繁琐运算。 1．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）已知，能使等式恒成立的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．· D．÷ 2．（25-26八年级下·江苏·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏·寒假作业）____． 4．（21-22八年级下·江苏泰州·期中）化简： ___________． 5．（25-26八年级下·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)． 6．（25-26八年级下·江苏常州·月考）化简： (1) (2) 题型6分式加减乘除混合运算题型 分式加减乘除混合运算 解题大招 先算乘除后算加减，有括号先算括号内；乘除先因式分解、颠倒约分，加减先通分再合并分子；全程随时约分，结果一定要化成最简分式。 1．（22-23八年级下·江苏·期末）化简：的结果是（　　） A． B．a C． D．1 2．（21-22八年级下·江苏扬州·月考）计算：____． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 题型7分式化简求值常规题型 #分式化简求值常规题型 解题大招 先按运算顺序化简分式，先因式分解、约分、通分，把式子化成最简形式再代入求值； 代入前先观察字母取值，避开使原式分母为零的无意义数值； 遇到整体代入题型，不用单独求字母，直接把已知代数式整体替换即可快速求解。 1．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）若，则的值是______． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）先化简，再求值：，其中． 4．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）先化简，再求值：，其中． 5．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中从0，1，2中选一个恰当的数求值． 题型8分式方程 分式方程及其应用 解题大招 解分式方程先找最简公分母去分母化为整式方程，求解后必须验根，公分母为零就是增根，直接舍去。 分式方程应用题**先设未知数**，找准等量关系列方程，常见工程、行程、价格类，理清速度、效率、单价的数量关系。 解完方程既要检验方程增根，还要检验结果是否符合实际题意，负数、不合情理的值一律舍去。 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）古代建筑中，榫卯结构至关重要，它使得建筑物连接牢固且难以松动．已知在一组榫卯中，一个榫需要的木材是一个卯需要的木材的倍．若用木材制作榫的数量比用木材制作卯的数量少个．设制作个卯需要木材，符合题意的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求．现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）关于x的方程会产生增根，那么k的值（   ） A．3 B． C．1 D． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A．4 B．3 C． D．2 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为___． 6．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）若关于x的分式方程的解是正数，则实数a的取值范围为______． 7．（25-26八年级下·江苏南京·月考）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前40天完成了这一任务．如果设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，那么可列方程为：______． 8．（22-23八年级下·江苏扬州·月考）已知关于的方程无解，则的值为________． 9．（25-26八年级下·江苏南京·月考）解方程： (1)； (2)． 10．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 11．（25-26八年级下·江苏南京·期中）用方程解决问题：为了提高工作效率，公司计划整理文件1080份．由于青年员工支援，实际每天整理的文件份数比原计划每天多，结果提前6天完成任务．原计划每天整理多少份文件？ 12．（24-25八年级上·江苏南通·期末）小华计划购买A，B两种型号的笔记本，已知A，B两种型号笔记本的单价比是3：2，用480元购买A型号的笔记本的数量比用360元购买B型号笔记本的数量少2本，求A，B两种笔记本的单价． 一、单选题 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 2．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）要使分式有意义，则x的取值应满足（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）下列分式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江苏南京·月考）解分式方程，去分母后的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若，则__________． 7．（25-26八年级下·江苏南京·期中）分式，，的最简公分母是____________． 8．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）计算________． 9．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 三、解答题 10．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 11．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)． 12．（25-26八年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中． 13．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种，结果提前天完成任务，原计划每天种多少棵树？ 14．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）兴化具有独特的旅游资源．其中千岛样式形成的垛田景观享誉全国，每年四月份，油菜花开，蓝天、碧水、“金岛”织就了“河有万湾多碧水，田无一垛不黄花”的奇丽画卷．来自世界各地的游客都会来观赏游玩，体验兴化的人文风情．油菜花谢了之后会留下油菜荚，其中包含油菜籽．油菜花开花后会慢慢结出果实，这些果实就是油菜籽，油菜籽可以用于榨油．已知千岛菜花风景区内，2015年油菜籽的总产量达到400万千克，更新技术后，到2024年油菜籽的总产量达到了600万千克，平均每亩产量比2015年多了200千克，2024年每亩产量达到多少千克？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $