2026年九年级中考数学复习训练专题：直角三角形问题（二次函数综合）

2026年九年级中考数学复习训练专题：直角三角形问题（二次函数综合） 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)证明为直角三角形； (3)在抛物线上除C点外，是否还存在另外一个点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，点为抛物线上异于点的一动点，直线与轴交于点，点关于直线的对称点为．直线与抛物线交于另一点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若直线的表达式为，试探究k是否为定值．若是，请求出k值；若不是，请说明理由； (3)若为直角三角形，求点A的坐标． 3．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点，点，抛物线与y轴交于点，点D为抛物线顶点，对称轴与x轴交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是下方异于点D的抛物线上一动点，若，求此时点P的坐标； (3)点Q是抛物线上一动点，是否存在以点B、C、Q为顶点的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，过点的抛物线的对称轴是直线，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点，设点P在直线下方且在抛物线上，过点P作y轴的平行线交于点Q． (1)求a、b的值； (2)求的最大值； (3)当是直角三角形时，求的面积． 5．如图，平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为直线上的一动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，当点D在线段上时，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标； (3)如图2，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线交y轴于点，交x轴于点和点B（点A在点B的左侧）． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使点A、B、P构成的三角形是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在直角坐标系中有，O为坐标原点，，，将此三角形绕原点O顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过A，B，C三点． (1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标； (2)过定点Q的直线与二次函数图象相交于M，N两点． ①若，求k的值； ②证明：无论k为何值，恒为直角三角形． 8．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P． (1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式； (2)当的周长最小时，求抛物线对应的函数关系式； (3)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，过点作轴的垂线，在上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式； （2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形； （3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标； （4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 11．如图1，抛物线与直线（是常数）交于A，B两点（点A在点B的左边），且是直角三角形．    (1)求的值； (2)如图2，将抛物线向下平移，得到抛物线，若抛物线与直线交于C，D两点（点C在点D的左边），与x轴正半轴交于点E．求证：是直角三角形； (3)如图3，若抛物线（）与直线交于M，N两点（点M在点N的左边），点K在抛物线上，当是直角三角形时，直接写出点K的坐标．（用含，的代数式表示） 12．如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点是边上的一个动点．将线段绕点顺时针旋转的度数到，点的对应点是点．二次函数的图象经过点和点． (1)求二次函数的表达式； (2)当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求的长； (3)如图2，过点作轴的平行线交位于第一象限的抛物线于点，连接，，若为直角三角形，求此时点的坐标． 13．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其对称轴交x轴于点C，P为抛物线第四象限上一点，连接交y轴于点E． (1)求点C的坐标及线段的长； (2)当时，若点E将线段分成两部分，求点E的坐标； (3)Q为线段中点，直线交y轴于点F，现将抛物线L绕平面内一点旋转得到抛物线，使得点A，P都落在抛物线上，记抛物线与y轴相交于G．当时，试探究是否存在a的值，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 14．如图1，在平面直角坐标系中，是抛物线对称轴上的一点．且抛物线与y轴的交点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)A，B是抛物线上的两动点，点A在点B的左侧． ①当点A，B均在对称轴的右侧时，若是以为直角的直角三角形，且，点A和点B的坐标； ②如图2，点A，B，P在同一直线上，过点作y轴的垂线l，设l与直线交于点Q，是否存在m，使得恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）解： 抛物线与轴交于、两点， ．即． 解之得：，． 点、的坐标为，、，． 将代入，得点的坐标为； （2）解：由两点间的距离公式得：，，， ，则， 是直角三角形； （3）解：当轴，即点与点是关于抛物线对称轴的对称点，而点坐标为 设，把代入得： ， ，． 点坐标为，． 【点睛】此题考查了二次函数与轴的交点的纵坐标为0；与轴的交点的横坐标为0；直角三角形的判定，二次函数的对称性等知识点． 2．(1)； (2)为定值，理由见解析 (3)点的坐标为或或或． 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）求点，即可求解； （3）当为直角时，证明，得到，即，即可求解；当为直角时，过点作轴的平行线，过点作的垂线，垂足分别为点，求得，，，，证明，利用相似三角形的性质列式计算可求解；当为直角时，同理可解． 【详解】（1）解：抛物线经过点，则， 将点的坐标代入， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：为定值，理由： 设点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 令， 解得：，则点， 则点， 由点、的坐标得，的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 即； （3）解：当为直角时， 过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， 由（2）知，，， 则，，，， ，， ， ，即， 解得：或， 即点的坐标为：或； 当为直角时， 即， 过点作轴的平行线，过点作的垂线，垂足分别为点，如图， ∵，，， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 则点； 当为直角时， 即， 同理，求得， 则点， 综上，点的坐标为或或或． 3．(1) (2)的坐标为 (3)或或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）在轴上取点，使，过点作的平行线交抛物线于点，则点为所求点，进而求解； （3）分三种情况讨论：，求出直线CQ的解析式，再求出CQ与抛物线的交点Q坐标；，求出直线BQ的解析式，再求出BQ与抛物线的交点Q坐标．当时，设，分别求出BQ与CQ的解析式，两直线垂直，得，求出的值，从而求出点Q的坐标． 【详解】（1）由题意得：， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）在轴上取点，使，过点作的平行线交抛物线于点，则点为所求点， 理由：点、和直线的间隔相同，则到的距离相同，故， 设直线的表达式为， 则， 解得， 故直线的表达式为， ， 故设的表达式为， 将点的坐标代入上式并解得， 故直线的表达式为， 联立 解得 （不合题意的值舍去）， 故点的坐标为； （3）分三种情况讨论： 当时， ∵直线的表达式为，设直线BQ的解析式为， ∵直线过点， ∴ ∴， ∴直线BQ的解析式为． 联立， 解得：（舍去）或， 当时，， 此时； 当时， ∵直线的表达式为，设直线CQ的解析式为， ∵直线过点， ∴ ∴， ∴直线CQ的解析式为． 联立， 解得：或（舍去）， 当时，， 此时； 当时，设 设的解析式为 则 解之得 设的解析式为 则 解之得 ∵ ∴， ∴ ∵， ∴ 化简得， 解之得， ∴，． 综上所述，为直角三角形时，点的坐标为：或或或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．熟练掌握并应用一次函数的性质是解决本题的关键：若直线与直线平行，则有；若直线与直线垂直，则有． 4．(1) (2) (3)或 【分析】 （1）用待定系数法即可求得； （2）求出直线的解析式，设，则，则可得关于x的二次函数，即可求得的最大值； （3）设D点的坐标为，求出，分三种情况考虑，利用勾股定理建立方程求出m的值，即可求得的面积． 【详解】（1）解：∵过点的抛物线的对称轴是直线， ∴，解得, 故． （2）解：设直线过点，可得直线． 由（1）可得抛物线， 设，则， ∴， ∴当时，最大，最大值为． （3）解：设点C的坐标是．由（1）可得抛物线， ∴抛物线的顶点D的坐标是，点B的坐标是． 则，，， ①当时，有． ∴，解得， ∴． ②当时，有． ∴，解得， ∴． ③当时，有． ∴，此方程无解． 综上所述，当为直角三角形时，的面积是或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，涉及分类讨论的思想，综合运用这些知识是解题的关键． 5．(1) (2) (3)存在，点D的坐标是 【分析】（1）待定系数法求二次函数的表达式即可； （2）如图1，连接，作轴交于点，由，可得，则，待定系数法求直线的解析式为，设，则，，，根据二次函数的图象与性质求解作答即可； （3）设，则，，，分，，三种情况，利用勾股定理求解作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）解：如图1，连接，作轴交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， 且， 当时，取得最大值．此时； （3）解：设，则，，， ①当时，，即， 解得，（舍去）； ②当时，，即 ， 解得，， ∴； ③当时，，即， 解得，（舍去），， ∴； 综上所述，存在点D，点D的坐标是． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与几何综合，平行线间的距离，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与几何综合，二次函数的最值，勾股定理是解题的关键． 6．(1) (2)存在，或 【分析】（1）将，代入，列方程组并且解该方程组求出、的值，即可求得该抛物线的函数表达式为； （2）设抛物线的对称轴交轴与点，求得抛物线的对称轴为直线，则，，再分两种情况讨论，一是点在轴的上方，则，所以，得；二是点在轴的下方，则，所以，得． 【详解】（1）抛物线交y轴于点， ∴， 将代入中，得，解得． ∴该抛物线的函数表达式为：． （2）存在， 设抛物线的对称轴交轴与点， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 点与点关于直线对称， ， 如图1，是以为斜边的直角三角形，点在轴的上方， ， ， ； 如图2，是以为斜边的直角三角形，点在轴的下方， ， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 7．(1)，； (2)①；②见详解； 【分析】(1)根据正切的定义求出，根据旋转变换的性质求出，利用待定系数法求出二次函数的解析式，利用配方法把一般式化为顶点式，求出顶点P的坐标； (2)①根据题意求出，根据三角形的面积公式得到，根据一元二次方程根与系数的关系解答即可；②过点P作轴，垂足为G，分别过点M，N作的垂线，垂足分别为E、F，根据正切的定义得到，，运用①中，，进而证明，据此证明结论． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴， 根据旋转的性质可得：， ∴， 把、分别代入解析，得 ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）①设，， ∵直线l：过定点，抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， ∴， 联立与 可得， ∴，， ∴， ∴； ②证明：过点P作轴，垂足为G，分别过点M，N作的垂线，垂足分别为E、F， 设，． ∵M，N在二次函数图象上， ∴， ． ∵， ∴， ， ， ， ∴， ， 由①可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴无论k为何值，恒为直角三角形； 【点睛】本题主要考查的是待定系数法求二次函数的解析式、旋转的性质、直角三角形的判定、正切的概念、一元二次方程根与系数的关系，熟练运用二次函数与一元二次方程的关系，旋转的全等性、直角三角形的判定、正切的定义、一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键． 8．(1)； (2)； (3)抛物线的函数关系式为：或． 【分析】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及勾股定理解答． （1）根据抛物线：求出点，的坐标，由抛物线与是“共根抛物线”，可设出抛物线的解析式，最后把点代入即可求解； （2）连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小，先求出直线的解析式，从而求出点的坐标，据此即可求解； （3）设点的坐标为，求得，，，分点在轴上方和点在轴下方，利用勾股定理列式，求得点的坐标，据此即可求解． 【详解】（1）解：在抛物线：中，令，则， 解得：或， 即点，点， 根据题意，设抛物线的函数关系式为：， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （2）解：连接交对称轴直线于点，连接，交轴于点，此时的周长最小． 令，则， ∴， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； （3）解：假设存在，设点的坐标为， ∵，， ∴，，， 当点在轴上方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 当点在轴下方时， 由题意得，即， 解得， 即点的坐标为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为：； 综上，抛物线的函数关系式为：或． 9．(1)抛物线的表达式为 (2)，的最大值是 (3)存在，是直角三角形时，点的坐标为或或或，理由见详解 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）如图所示，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，根据平行线分线段成比例，将的值转换为，用含的一元二次方程表示的比值，根据关于的二次函数即可求解； （3）根据题意，分类讨论：①当时，是直角三角形；②当时，是直角三角形；③当时，是直角三角形；根据相似三角形的判定和性质，图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得，， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图所示，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∴， ∴， 抛物线与轴的交点的坐标为，设直线所在直线的解析式为，且， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点在抛物线的图像上，且点在直线下方， ∴设， ∴点的横坐标为，且点在直线的图像上， ∴， ∴， ∵点， ∴点的横坐标为，且点在直线的图像上， ∴， ∴， ∴， ∴当，有最大值，且最大值为， ∴，的最大值为． （3）解：存在，是直角三角形时，点的坐标为或或或，理由如下： 由（2）可知，，过点作轴的垂线，点在直线上， ∴点的横坐标为， ①当时，是直角三角形，如图所示， 过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点， ∵，是直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，，且， ∴，即， ∴， ∴； ②当时，是直角三角形，如图所示， 过点作轴于点， ∵，， ∴， ∴，且，点在过点的直线上，即点的横坐标为， ∴, ∴，即， ∴， ∴； ③当时，是直角三角形，如图所示， 在中，， ∴线段， ∵，， ∴线段的中点的坐标横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点在过点的直线上，即点的横坐标为， ∴点在直线上，设， 在中，线段是斜边的中线，即， ∴，解得，或， ∴或； 综上所述，是直角三角形时，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数图像与几何图形综合，掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像的性质，几何图形的性质等知识的综合是解题的关键． 10．（1）y=-x2+2x+3；（2）t=1或t=；（3）点F的坐标为（2，3）．（4）． 【详解】试题分析：（1）先由直线AB的解析式为y=-x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）由直线与两坐标轴的交点可知：∠QAP=45°，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3-t，然后再图①、图②中利用特殊锐角三角函数值列出关于t的方程求解即可； （3）设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），则EP=3-t，点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），则FQ=3t-t2，EP∥FQ，EF∥PQ，所以四边形为平行线四边形，由平行四边形的性质可知EP=FQ，从而的到关于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后将t=1代入即可求得点F的坐标； （4）设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3-t），然后由抛物线的解析式求得点M的坐标，从而可求得MB的长度，然后根据相似相似三角形的性质建立关于t的方程，然后即可解得t的值． 试题解析：（1）∵y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0）， 当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）， 将A（3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c， 得，解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3； （2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°， ∴∠QAP=45°． 如图①所示：∠PQA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3-t． 在Rt△PQA中，，即：，解得：t=1； 如图②所示：∠QPA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3-t． 在Rt△PQA中，，即：，解得：t=． 综上所述，当t=1或t=时，△PQA是直角三角形； （3）如图③所示： 设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），则EP=3-t，点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），则FQ=3t-t2． ∵EP∥FQ，EF∥PQ， ∴EP=FQ．即：3-t=3t-t2． 解得：t1=1，t2=3（舍去）． 将t=1代入F（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），得点F的坐标为（2，3）． （4）如图④所示： 设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3-t）． ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴点M的坐标为（1，4）． ∴MB=． 当△BOP∽△QBM时，即：，整理得：t2-3t+3=0， △=32-4×1×3＜0，无解： 当△BOP∽△MBQ时，即：，解得t=． ∴当t=时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似． 考点：二次函数综合题． 11．(1)4； (2)见解析； (3)或． 【分析】（1）设与y轴的交点为P．可得是等腰直角三角形，进而可得点B的坐标为．将其代入即可求解； （2）分别过点C，D作轴于点H，轴于点Q．可通过证求证，也可通过勾股定理的逆定理求证； （3）设平移后得到．过点作x轴的平行线l3，分别过点M'，N'作于点L，于点T．证即可求解． 【详解】（1）解：如图1，设与y轴的交点为P． ∵平行于x轴，的图象关于y轴对称， ∴    ∵是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴点B的坐标为． ∵点B在抛物线上， ∴． ∵， ∴． （2）证明：如图2，分别过点C，D作轴于点H，轴于点Q．    联立 解得 ∴点C的坐标为，点D的坐标为 将代入，解得，(舍去)． ∴点E的坐标为 ∴，， ，． 证法一：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴是直角三角形． 证法二：在中，根据勾股定理，得 ． 同理可得 ． ∴． ∵ ∴． ∴是直角三角形． （3）解：点K的坐标为，或． 将抛物线向左平移h个单位得到抛物线． 设平移后得到， 如图3．过点作x轴的平行线l3，分别过点M'，N'作于点L，于点T．      联立 解得    ∴点M'的坐标为(，)，点N'的坐标为(，)． 设的坐标为(，)，． ∴． 易证． ∴． 即． ∴． ∵， ∴． ∴点的纵坐标为，即点的纵坐标为． 解方程，得． ∴点K的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．需要学生熟练掌握二次函数的各项性质． 12．(1) (2)2 (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作，交于点，过点作轴，证明，得到点在所在的直线上移动，进而求出的解析式，根据点在抛物线的对称轴上，求出点坐标，进而求出的长，即可； （3）分和，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点， ∴， ∵二次函数的图象经过点和点， ∴，解得：， ∴； （2）过点作，交于点，过点作轴， ∵旋转， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴当点在上移动时，点在所在的直线上移动， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：，， 在中：，即：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵， ∴对称轴为， ∴当点在对称轴上时，， ∴， ∴， ∴； （3）存在：①当时，如图， 此时点在线段上， 由（2）知，， ∵轴，点在抛物线上， ∴； ②当时，如图：设交于点， 设点，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，矩形的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判断和性质，旋转的性质，综合性强，难度大，属于压轴题．解题的关键是利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 13．(1)点C的坐标为； (2)E的坐标为或 (3)存在a的值，使是以为斜边的直角三角形，此时 【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式即可求得点的坐标，令，解出点的坐标即可求解的长； （2）过点作轴，垂足为点，由此可知，当时，，由（1）可知，再分为①，②，两种情况分别讨论，利用相似比分别求解出的长，即可求解出点E的坐标； （3）设点P为，由于点P在第四象限，则，，即，由中点坐标公式可得点Q的坐标为，设直线的表达式为，将点C和点Q坐标代入求解出直线的表达式为，由此可得点的坐标与的长，设直线的表达式为，将点和点的坐标代入求解出直线的表达式为，由此可得点的坐标与的长，由，可解得，即可分别得出点的坐标，由题意可知的顶点与L的顶点关于旋转中心对称，且开口方向相反，则设的表达式为，将点A，P的坐标代入可得的表达式为，由此可求解出点的坐标，再求解出的长利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：对称轴为x， 点C的坐标为， 当y时， ， 解得：，， 即点A坐标为，点B坐标为， ； （2）如图，过点作轴，垂足为点， ， 当时，， 由（1）可知， 由于点E将线段分成两部分，则 ①当时， ， ， 则点的横坐标为3， ， ， 则， ， 则点E的坐标为； ②当时， 同理可得：， ， 此时，点的横坐标为， ， ， 则， ， 则点E的坐标为； 综上，点E的坐标为或； （3）存在a的值，使是以为斜边的直角三角形，理由如下： 由题意知设点P为 由于点P在第四象限，则，， 即， ， 则的中点Q的坐标为， 由（1）可知，点C的坐标为， 设直线的表达式为， 将点C和点Q坐标代入得： ， ， 化简得：， ， 则直线的表达式为， ∴点坐标为， 则，， 设直线的表达式为， 将点和点的坐标代入得： ， 解得：，， 则直线的表达式为， 令,则， ∴点的坐标为， 则， 由，可得：， 解得：， ， ， ， 抛物线L绕平面内一点旋转得到抛物线， 则的顶点与L的顶点关于旋转中心对称，且开口方向相反， 所以设的表达式为， 因为点A，P都落在抛物线上， 则， 解得：，， 则的表达式为， 令，则， ∴点G的坐标为， 因为是以为斜边的直角三角形， 由勾股定理可得：， 而， ， ， 代入可得：， 化简得：， ， ， 综上，存在a的值，使是以为斜边的直角三角形，此时． 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，旋转的性质，中点坐标公式，待定系数法求函数表达式、勾股定理、相似三角形的判定与性质、抛物线对称轴公式等，熟练掌握相关知识，灵活运用抛物线与旋转的性质是解题的关键． 14．(1) (2)①，；② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①设，过点作对称轴，过点作对称轴，证明，求出点坐标，根据点都在抛物线上，进行求解即可； ②设直线，将点代入，得到，联立直线和抛物线的解析式，求出，，设直线与对称轴交于点，过点分别作，，得到，，根据，推出，进而得到，推出，根据恒成立，得到，即可得解． 【详解】（1）解：∵是抛物线对称轴上的一点．且抛物线与y轴的交点坐标为 ∴，解得：； ∴； （2）①设，过点作对称轴，过点作对称轴，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∵是抛物线上的两个动点， ∴，解得：（点左侧的舍去） ∴，； ②设直线，把，代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或， ∴，， 设直线与对称轴交于点，过点分别作，， 则：，， ，， ∴，， ∴， 当时，即：，则：， ∴， ∴， ∴， ∵恒成立， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $