第4章 命题点24 解直角三角形及其应用-【一战成名新中考】2026数学真题分类分层练

命题点24解直角三角形及其应用 A基础分点练 考向) 锐角三角函数 1.[2025天津]tan45o-√2cos45的值等于 A.0 B.1 C.1 D.1-√2 2 考向2解直角三角形(2025年10烤，2024年考，2023年10烤) 2.[2025广西]在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=7,AC=3,则sinB=( C.3 1 10 0.1 3.[2025南通]如图，网格图中每个小正方形的面积都为1.经过网格点 A的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中△BMN的面积为3， 则sin∠MWB的值为 第3题图 考向3解直角三角形的实际应用 类型1单个直角三角形(2025年5考，2024年6烤，2023年B考) 4.[2025浙江]无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济 高质量发展的重要实践方向.如图，在高速公路上，交警在A处操控 无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下 方公路上点B处有汽车发生故障.测得A处到P处的距离为500m, 从点A观测点P的仰角为α，cosa=0.98,则A处到B处的距离 为 m. 第4题图 第5题图 5.[2025东营]如图为一节楼梯的示意图，BC⊥AC,∠BAC=,AC= 5米.现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需 要 A.(,5+5)米B.(5tanx+5)米C.5米 5 D.5米 tang sina 6.[2025深圳]如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC 长为30米，则sin4的值为 ( A.22 √2 1 B.3 C. 3 4 0.3 B 正 A- B A 第6题图 第7题图 7.[2025绥化]如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1:√2 (斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比)，堤坝高 BC=15m,则迎水坡面AB的长度是 8.[2025湖北省卷]如图，甲、乙两栋楼相距30m,从甲楼A处看乙楼顶 部B的仰角为35°，A到地面的距离为18m,求乙楼的高.（参考数 据：tan35°≈0.7) 350 18m 30m 回▣ 第8题图 类型2共高型(2025年12考，2024年14考，2023年38考) 9.[2025眉山]人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若 AB、AC的长都为2m,当a=65°时，人字梯顶端离 地面的高度是 m.(结果精确到0.1m,参考 B 依据：sin65°≈0.91，c0s65°≈0.42，tan65°≈2.14) 第9题图 10.[2025成都]在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西 门A与东门B之间的距离.如图，无人机从西门A处垂直上升至C 处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60米到 达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°.求校园西门A与东门 真题分类分层练·数学 版权归一战成名新中考 B之间的距离.（结果精确到0.1米；参考数据：sin63.4°≈0.89， c0s63.4°≈0.45，tan63.4≈2.00，√3≈1.73) C 63.4° 30° 第10题图 11.[2025甘肃省卷]如图①，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一 墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉请十八年 (1539年).该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽 喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体 系.随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降 低.为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城 第一墩高度”的综合实践活动.如图②是他们测量长城第一墩高度 AB的示意图，点A为最高点，点B,F,D是地面同一直线上的三个 点（点D,F都在保护栅栏外），在D,F处分别用测角仪测得∠ACG =16.7°，∠AEG=22°，其中CD=EF=1.7m(测角仪的高度)，DF= CE=5.5m,求长城第一墩的高度AB(结果精确到0.1m).(参考数 据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sinl6.7°≈0.29， cos16.7°≈0.96，tanl6.7°≈0.30) 图① 图② 第11题图 12.[2025山西]项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主 体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两 栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见 底.从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形.第12题图 综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活 动，形成了如下活动报告 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 图①为该景点俯视图的示意图，点A,D是正八边形 中一组平行边的中点，BC为圆的直径，图中点A, B,C,D在同一条直线上 图②为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与 外栏墙分别交于，点E,F,外栏墙AE与DF均与水 平地面垂直，且AE=DF.BE,CF均表示步道的宽， BE=CF.图中各点都在同一竖直平面内 外栏墙 步道 步道 丙栏墙 方案 D A ( C泉池 (E) 说明 活动过程 俯视图的示意图 图① D 地面 地面 外栏墙 外烂墙 步道丁内栏墙 内栏墙 步道E 测量方案示意图 图② 在点A处测得点B和，点C的俯角分别为∠DAB= 数据 37°，∠DAC=8.5°，AD=26米.图中墙的厚度均忽 测量 略不计 计算 …… 交流展示 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确 到1米.参考数据：sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15， sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75). 36 类型3共直角型(2025年3考，2024年3考，2023年5考) 13.[2025长沙]如图，某景区内两条互相垂直的道路a,b交于点M,景 点A,B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品 质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测得景 点C位于景点B的北偏东60方向上，位于景点A的北偏东30°方 向上，景点B位于景点D的南偏西45方向上.已知AB=800m. (1)求∠ACB的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离.（结果保留根号） 北 东 45 609 309 a Bt 第13题图 类型4双垂直型(2025年考，2024年2考，2023年烤) 14.[2025凉山州]某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时 如图①，货物M与点O的连线M0恰好平行于地面，BM=3米， ∠B0M=18.17°.（参考数据：sin18.17°≈0.31，cos18.17°≈0.95， tanl8.17°≈0.33，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，结果 精确到1米) (1)求直吊臂OB的长； (2)如图②，直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针 旋转，当∠0BM=36时，货物M上升了多少米？ B 364 水平线 水平线8.17° 0 图① 图② 第14题图 真题分类分层练·数学 类型5构造型(2025年19考，2024年28考，2023年55考) 15.[2025上海]如图，某公司需要员工上班时通过门禁， 在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段 AB)的竖直高度为2.7米，某人（线段CD)身高为 1.8米，扫描仪测得∠A=53°，那么该人与扫描仪的 水平距离为 米.（参考数据：sin53°≈0.8， D cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，结果精确到0.1米) 第15题图 16.[2025安徽]某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬 挂彩带营造喜庆气氛.如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂 直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示.工作人员在点A处 测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°.已知AB= 13.20m,求AD的长（精确到0.1m) 参考数据：sin23.8°≈0.40，cos23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44， sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75. D 4369 T23.8° 777777777777777777777777 B 地面C 第16题图 17.[2025天津]综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟 建筑AB的高度（如图①）. 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A,E,C依次在同一条 水平直线上，CD⊥AC,EF⊥AC,且CD=EF=1.7m.在D处测得世 纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰 角为31°，CE=32m.根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑 AB的高度（结果取整数）. 参考数据：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6. 31F22D E 图① 图② 第17题图 18.[2025威海]小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB.测量 方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角 ∠2的度数，大楼底部点A的俯角∠1的度数.然后在点C正下方 点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数.若∠1=45°，∠2= 52°，∠3=65°，CD=10m,求大楼的高度AB.(精确到1m.) 参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3，sin65°≈0.9， cos65°≈0.4，tan65°≈2.1. 第18题图 19.[2025烟台]【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只 提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开 展了实践探究活动 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小 组同学收集到以下信息： 码头A在灯塔B北偏西14°方向 位置信息 14:30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15:00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将 天气预警 出现浓雾天气.请注意防范， 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到 达码头A(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75， sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tanl4°≈0.25). 码头 北 第19题图 20.[2025泸州]如图，在水平地面上有两座建筑物AD,BC,其中BC= 18m.从A,B之间的E点(A,E,B在同一水平线上)测得D点，C 点的仰角分别为75和30°，从C点测得D点的仰角为30. (1)求∠CDE的度数； (2)求建筑物AD的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）. 301C 759430° d AE B 第20题图 21.[2025重庆]为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两 种方式监测森林情况.如图，A,B,C,D在同一平面内.A是瞭望台， 某一时刻，观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，乙无 人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处.两无人机同时飞往C 处巡视，D位于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上 (参考数据：√2≈1.41，√5≈1.73，√5≈2.24，√7≈2.65) (1)求BD的长度（结果保留小数点后一位）； (2)甲、乙两无人机同时分别从B,D出发沿BC,DC往C处进行巡 视，乙无人机速度为甲无人机速度的2倍.当两无人机相距20千米 时，它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离B处多少千 米时，两无人机可以开始相互接收到信号（结果保留小数点后一 位)？ 西 东 309 南 30° 第21题图 真题分类分层练·数学 版权归一战成名新中考 类型6实物模型(2025年5考，2024年8考，2023年9考) 22.[2025青海省卷]数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架，产量少一半” 的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成65° 夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇 豆装了智能遮阳篷， 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成 65夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面 接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为65 环节二：数学抽象 如图，已知线段AB与CD交于点O,AB,CD与直线l分别交于点E, F,AB=CD=1.8m,BE=DF=0.3m,∠AEF=∠CFE=65°，EF= 0.6m,求0E的长度.（结果精确到0.1，参考数据：sin65°≈0.91， c0s65°≈0.42，tan65°≈2.14) 【模型求解】 B 第22题图 【问题总结】 交叉点O距顶端A的长度即OA为 m时，支架与地面形成 65夹角，这样更贴合作物的生长规律 23.[2025江西]图①是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图②所 示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是 门框，测得AB=BC=CD=60cm,∠ABC=∠BCD=135°，MW处是一 扇推拉门，推动推拉门时，两端点M,N分别在BC,CD对应的轨道 上滑动.当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑 动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得∠CNM=6°. (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①∠CMN的最小值为 度，最大值为 度； ②△CMW面积的变化情况是 A.越来越大 B.越来越小 C.先增大后减小 (2)当∠CMW=30时，求△CMW的面积 B MC 图① 图② 第23题图 类型7其他(2025年2考，2024年7考，2023年2考) 24.[2025兰州]天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难 题.某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距 离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月 球与地球之间的近似距离.具体研究方法与过程如下表： 问题 月球与地球之间的距离约为多少？ 工具 天文望远镜、天文经纬仪等 月球、地球的实物图与平面示意图 8 P 月球 地球A 续表 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测，点A,B,以线段 AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A,B两，点同时观测月球P 说明 (将月球抽象为一个点)，并测得∠ABP和∠BAP的度数.根据 实际问题画出平面示意图（如上图），过点P作PH⊥AB于点 H,连接AP,BP 数据 AB≈0.8万千米，∠ABP=8925'37.43”,∠BAP=8922'38.09" 根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH.(结果精确到 1万千米) (参考数据：tan89°25'37.43"≈100.00，tan89°22'38.09"≈92.00， sin89°25'37.43"≈0.99995，sin89°22'38.09"≈0.99994， c0s89°25'37.43"≈0.00999，c0s89°22'38.09"≈0.01087) B能力提升练 25.[2025自贡]如图①，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自 贡灯会的辉煌历史.小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小 组同学研讨完测量方案后，活动如下 (1)制作工具 如图②，在矩形木板1JK上O点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳 的另一端系小重物G,过点O画射线QM∥HK.测量时竖放木板，当 重垂线OG∥HI时，将等腰直角三角尺ACB的直角顶点C紧靠铁 钉，绕点O转动三角尺，通过OB边瞄准目标N,测量∠MOB可得仰 角度数.采用同样方式，可测俯角度数 测量时，QM是否水平呢？小蕊产生了疑问.组长对她说：“因为OG 始终垂直于水平面，满足OGLOM就行.”求证：OG⊥QM. (2)获取数据 如图③，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测 量.已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台P处测得塔底U的仰 角为5.1°，在25楼对应位置D处测得塔底U的俯角为9.1°，塔顶 T的仰角为14.5° 真题分类分层练·数学 如图④，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个 Rt△VWZ,∠W=90°，∠WWZ=14.5°，VW=10.0cm.在边WZ上取 两点X,Y,使∠YVW=5.1°，∠XY=4.0°，量得YW=0.91cm,XY= 0.70cm,ZX=0.94cm,则tan5.1°≈ ,tan9.1o≈ tanl4.5°≈ (结果保留小数点后两位). (3)计算塔高 请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）. (4)反思改进 小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差.为减小误差，小 组同学想出了许多办法.请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议 (总字数少于50字). 图① 图② R S 图③ 图④ 备用图 第25题图26.C【解析】：五边形ABCDE,A'B'CDE'是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，点A,A'的坐标分别为(2,0)，(3,0)， OE OD OA 2 0E-OD=0=3,”LD0E=∠D0E',.△D0E aD0eE-子E3E- 27.(-10,子)【解折】由题意得，△4A,C与△ABC的相似 比为2×2×2=8，设点A,的坐标为(a,b),则 1a-6=8×(4-6), 1a=-10, 么3《3三-泽寻5一之7气A三春名终年3一 3 2 27 28.(1)1;(2)7【解析】如解图，连接B,D1,B,D2,BC2,B1C, C,D,(1)△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线， 1 1 Sam=Sacw=2Sac=2×2=1,点A,C,C,G是线段 CC,的五等分点，AC=AC=C,C,=C,C,=C,C,=5CC, 点A,D,D是线段DD的四等分点，AD=AD=D,D =nD,=}DD,在△ACA和△ACD中， AC=AC, ∠C,AD,=∠CAD,.△AC,D1≌△ACD(SAS),.SaC4,= AD =AD. SAACD=1; B 第28题解图 (2)点A是线段B照，的中点AB=A=号B,在 (AB =AB △AB,D1和△ABD中 ∠B1AD1=∠BAD,∴.△ABD1≌ AD =AD, △ABD(SAS),S△，B,=S△AB=1,∠BDA=∠BDA, △ACD1≌△ACD,.∠C,D1A=∠CDA,.·∠BDA+∠CDA= 180°，.∠B1D,A+∠C,DA=180°，.C1,D1,B1三点共线， SG=M+C=1+1=2,AC=C C=CC,= CCSAMMe=4S=4X2=8.AD=D,D:=D:D3, Sa,=1,Sa=3Sa,=3X1=3,在△AC,D,和 3 △ACD中，AC AD,∠CAD,=LCD.△AC,, AD 5aw地=AS)=3=95c%=9Sam=9x △ACD,SAD AC 参考答案 4 =9,AC,=CC,=C,C=C,C5ac4=35ac4=3×9 =12,Sa,e4=SaC4,+Sag4,-Sa,6=12+3-8=7. 命题点24解直角三角形及其应用 1.A2.B 362 4 【解析】如解图，设格点C,D,NC=x,ADNB, ∠MAD=∠ANC,.·∠MDA=∠ACN,.△ANC△MAD,. AC_NC MD AD' ,每个小正方形的面积都为1，AC=AD=1, 0芹Nn=士△wv的厦积为3San-寸 ·8=宁(+1(+1)=3.整理得4解得=2 3,x2=2-√3（舍去），.NC=2+√3，在R1△AWC中，AW= √AC2+NC=√2+√6，.sin∠MNB=sin∠AWC= 1 √2+√6 =6-2 4… 第3题解图 4.4905.B6.D7.153m 8.解：如解图，由题意得，四边形AEDC为矩形，∠BAC=35°，AE= 18m,DE=30m, 35o 18m 30m 甲E D乙 第8题解图 .∠ACB=180°-∠ACD=180°-90°=90°，CD=AE=18m,AC =DE=30m, 在h△ABC中，an∠BC-BC AC .BC=AC·tan∠BAC=30×tan35°≈30x0.7=21(m), ..BD=BC+CD=21+18=39(m), 答：乙楼的高约为39m. 9.1.8【解析】如解图，过点A作AD⊥BC于点D,则∠ADC= 90°，在Rt△ADC中，AC=2m,a=65°，.AD=AC·sin65°≈ 1.8m,.人字梯顶端离地面的高度是1.8m. B D 第9题解图 ·数学 29 10.解：由题意得∠CAB=∠ACD=90°，∠ABC=30°，CD 60米， 在Rt△ACD中，AC=CD·tan63.4°≈60x2=120(米)， 在△1c中，AB==1205207.6(米. 答：校园西门A与东门B之间的距离约为207.6米. 11.解：由题意得BG=CD=EF=1.7m,∠AGE=∠AGC=90° 设AG=xm, 在R△AEG中，EG=AC=AG tan∠AEG tan222o≈04m, 在R△ACG中，CG=AC AG tan∠4CG tan16.7≈0.3m, x-x=5.5, CE=CG-EG=5.5m,030.4 解得x=6.6, ∴.AG=6.6m,∴.AB=AG+BG=8.3m, 答：长城第一墩的高度AB约为8.3m 12.解：由题意得∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形， ∴.EF=AD=26米，AD∥EF, ..∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5 设BE=CF=x米，则CE=(26-x)米，BC=(26-2x)米， 在R1△ABE中，LAEB=90°，1an∠ABE=AE BE .AE=BE·tan∠ABE=x·tan37°≈0.75x米， 在R△ACE中，∠AEC=90,tanLACE=A5 CE ..AE=CE·tan∠ACE=(26-x)·tan8.5°≈0.15(26-x) 0.75x=0.15(26-x),解得x=3 13 BC=26-2×3≈17（米）y 答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米. 13.解：(1)如解图，由题意可得∠CBE=60°，∠CAF=30 ∠BDM=45°， BM⊥DM,BE∥AF∥DM. ·.∠BCM=∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=30°， ∴.∠ACB=∠BCM-∠ACM=60°-30°=30°； h 北 15 E609 309 FH a B A M 第13题解图 (2).·∠CBE=60°， ..∠CBM=90°-∠CBE=90°-60°=30. 由(1)得∠ACB=30°..∠ABC=∠ACB AB=800 m,.'.AB=AC=800 m. 在R1△ACM中，sin∠ACM=A, AC,cos∠ACM=CH AC 30 参 ∴.AM=AC·sin∠ACM=800×sin30°=800 2=400(m), CM=AC·cos∠ACM=800xcos30°=800× 2 =4005(m), .BM=BA+AM=800+400=1200(m), .·∠BDM=45°，BM⊥DM,·.△BMD是等腰直角三角形 .DM=BM=1200(m), .DC=DM-CM=(1200-4005)m, .景点C与景点D之间的距离为(1200-4005)m. 14.解：(1)由题意得，BM⊥0M, ∠B0M=18.17°，BM=3米， 在R△B0M中，OB= BM 3 ≈10（米）， sin∠BOM0.31 答：直吊臂0B的长约为10米； (2)如解图，延长BM交水平线于点F,则∠BFO=90°， M 36 水平线方 第14题解图 OB=10米，∴.在Rt△BOF中，BF=OB·cos∠OBM≈10× 0.81=8.1(米)， ∴.MF=BF-BM=8.1-3=5.1≈5（米）， .货物M上升了约5米. 15.1.2【解析】如解图，过点C作CE⊥AB于点 E,则BE=CD=18米，.AB=27米，.AE= AB-BE=09米，在△ACE中，anA=CS =CE≈1.33CE≈1.2米. 0.9 D 16解：如解图，过点A作AE⊥CD,垂足为E. 第15题解图 D 4器E B地面C 第16题解图 :线段AB和CD都与地面垂直， .四边形ABCE为矩形，.CE=AB=13.20m 在RI△ACE中，an∠CAE=AE? CE .AE=- CE 13.2013.2 tan∠CAE tan23.8°0.44 =30.0(m). 在Rt△ADE中，cos_DAF=AD/ AE 30.030.0 eos∠DMEc0s36.9908037.5(m). .∴.AD= 答：AD的长约为37.5m 考答案·数学 17.解：如解图，延长DF与AB相交于点G, B 319F22cD A E 第17题解图 根据题意，可得∠GDB=22°，∠GFB=31°，∠DGB=90°，AG EF=CD=1.7 m.DF=CE=32 m. GB 在Rt△FGB中，tan∠GFB= GBGB ..GF= an310.6 GB 在Rt△DGB中，tan∠GDB= GD GBGB ∴.GD= an22o0.6' .·GF+DF=GD, 06*32=68 CB 0.4 .GB=38.4m, .·.AB=AG+GB≈1.7+38.4≈40(m). 答：世纪钟建筑AB的高度约为40m. 18.解：如解图，过点C作CG⊥AB于点G,过点D作DH⊥AB 于点H,则四边形CDHG是矩形， .∴.GH=CD=10m,CG=DH, .·∠1=45°， ..CG=AG, 设CG=AG=DH=xm, 在Rt△BCG中，∠2=52° .BG=CG·tan52°≈1.3xm, H 在RL△BDH中，∠3=65°， .BH=DH·tan65°≈2.1xm, 第18题解图 .GH=BH-BG=2.1x-1.3x=10 解得x=12.5, .AB=BG+AG=1.3×12.5+12.5=28.75≈29(m), 答：大楼的高度AB约为29m 19.解：(1)如解图，过点B作BE⊥ AE 北 AC于点E, 设BE=x海里， 依题意得∠EBC=53°，∠EBD= 45°，CD=10 2=5(海里)， 第19题解图 ∴.∠C=90°-∠EBC=37°，ED=x, ..EC=ED+DC=(x+5)海里， 在△BCE中，EC=BE=年 tanC tan337°0.75-3t, 六3=+5，解得x=15, 4 .·.渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里： (2)在Rt△ABE中，∠ABE=14°，BE=15海里， .AE=BE·tanl4°≈15×0.25=3.75（海里）， 参考答案 ·.AC=AE+DE+DC=3.75+15+5=23.75(海里)， 23.75÷10=2.375(小时)=142.5（分钟）， 从14：30，经过142.5分钟是16：52：30，在17：30之前到达 “.不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A 20.解：(1)如解图，过点C作CH⊥AD于点H,则∠DHC=90°， 由题意得∠DCH=30°，∠AED=75°，∠DAE=90°， .∠CDH=180°-∠DCH-∠DHC=60°，∠ADE=180°- ∠AED-∠DAE=15° .∠CDE=∠CDH-∠ADE=45°； H 30≥ 130° B 第20题解图 (2)如解图，过点E作ET⊥CD于点T,则∠ETD=∠ETC =90°， 由(1)知，∠CDE=45°， .∴.∠DET=90°-∠EDT=45°，ET=DT, .·.∠CET=180°-∠AED-∠DET-∠BEC=30°. .·BC=18m, BC 18 .·.在Rt△BCE中，CE= sin∠BECsing30=36(m）, 在Rt△CTE中，CT=CE·sin∠CET=36·sin30°=18(m), ET=CE·cos∠CET=36·cos30°=185(m), .'DT=ET=183 m, .CD=CT+DT=(18+183)m, 在Rt△DCH中，DH=CD·sin∠DCH=(18+18√3)·sin30° =(9+9√3)m, .·CH⊥AD,AD⊥AB,BC⊥AB, .四边形ABCH是矩形， .AH=BC=18 m, .AD=AH+DH=(27+9V5)m, 答：建筑物AD的高度为(27+95)m 21.解：(1)如解图，过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥ CD于点F, .∠AED=∠BFC=90°， 在R1△ADE中，AE=AD·cos∠DAE=20·cos30°=103 (千米)， DE=AD·sin∠DAE=20·sin30°=10（千米）， ·甲无人机位于A的正东方向10千米的B处，D位于C 的正西方向上， .AB∥CD,.AE⊥AB,BF⊥AB, 四边形AEFB是矩形， .EF=AB=10千米，BF=AE=105千米， ∴.DF=DE+EF=20(千米)， .BD=√DF2+BF=√20+(10W3)2=107≈265（千米）， 数学 31 答：BD的长度约为26.5千米； A 北 西 东 30 30 C 第21题解图 (2)当甲无人机运动到M,乙无人机运动到N时，此时满足 MN=20千米，如解图，过点M作MT⊥CD于点T, 由题意得∠BCF=90°-30°=60°， 在Rt△FBC中，BC BF105 sin∠BCFsinc60。-20(千米)， CF=BP 10 10(千米)， tan∠BCF tan60° ∴.CD=DF+CF=30(千米)， 设BM=x千米，则DN=2x千米，CM=(20-x)千米 在Rt△CMT中，CT=CM·cos∠MCT=(20-x)·cos60°= (10千米. M7=CM·sim∠Mc7=(20-x)·sim60°=(105-3 千米， N=cD-DN-67=30-2-(107)-=(203)千米. 在Rt△MNT中，由勾股定理得MW2=MT+WT, 20=(103 2)+(20 2), .x=15-55或x=15+55(此时大于BC的长，舍去)， .BM=15-55≈15-5×2.24=3.8（千米）， 答：甲无人机飞离B处约3.8千米时，两无人机可以开始 相互接收到信号， 22.解：【模型求解】如解图，过点0作0H⊥ EF于点H .·∠AEF=∠CFE=65°， .0E=0F, E .EF=0.6m, B H D .'EH=FH=0.3 m, 第22题解图 ·在B1△0EH中，cos65°=E ≈0.42 OE 0B=0.3 ≈0.7(m), 0.42 【问题总结】0.8. 23.解：(1)①0,39：②C: (2)如解图，过点N作NH⊥BC交BC的延长线于点H, 由题意可知，MW=BC=60 ∠CMw=30NH=2N=30, ∴.MH=MN·cos∠CMW=305, .∠BCD=135°， 32 参考答 ..∠NCH=∠CNH=45° ∴.CH=NH=30, .MC=MH-CH=303-30, 1 Saa=7CM·NH=x(30,万-30)×30=(4505y 450)cm2. 答：当∠CMW=30时，△CMN的面积为(4503-450)cm2. 24.解：设PH=x万千米， 在Rt△PAH中，∠BAP=8922'38.09, ian∠BAP=P AH =tan8922'38.09"≈92.00， .AH≈g2 .在Rt△PBH中，∠ABP=89°2537.43”， ian∠ABp=P =tan8925'37.43"≈100.00， BH BH≈x 1001 .AB≈0.8万千米，AB=AH+BH, 92+1000.8, 整理得100x+92x=7360. 解得x=3 115 ≈38 ∴.月球与地球之间的近似距离PH为38万千米. 25.(1)证明：四边形HWK为矩形，.∠H=90°， .QMHK,.∠1QM=∠H=90°， 又：0G∥Hl,∴.∠M0G=∠1QM=90°， .0G⊥QM; (2)解：0.09,0.16,0.26；【解法提示】在Rt△WY中， ∠W=90°，∠mW=5.1,∴tan5.1°=tan∠YW=W=10 ≈0.09：.∠XY=4.0°，∠VW=5.1°，XY=0.70cm,YW= 0.91cm,∴.∠XW=∠XY+∠WW=9.1°，XW=XY+YW= 1.61cm,在Rt△VWX中，∠W=90°，∠XVW=9.1°， tan9.1=tan w1.61 0.16：.YW=0.91cm,XY VM 10 =0.70 cm,ZX=0.94 cm,.'.ZW=ZX+XY+YW=2.55 cm,. 在Rt△VWZ中，∠W=90°，∠ZVW=14.5°，∴.tan14.5°= ZW2.55 tan∠ZVW= VW 10 ≈0.26. (3)解：如解图，延长DR交TU于F,延长PS交TU的延长 线于E, R E 第25题解图 则∠DFE=∠PEF=∠DFT=∠DPE=90°， 案·数学 四边形DPEF为矩形， ∴.DP=EF,DF=PE, 由题意可得DP=(25-15)×3=30(米)，∠EPU=5.1°， ∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°， 设EU=x米，则FU=EF-EU=(30-x)米， 'ian∠EPU=EU- PE PE =ian5.1≈0.09，ta∠FDU=FU DF=ian91≈0.16， 30-x .PE≈。0o,DF≈30t 0.161 30-xx 六0.160.09解得x=10.8, FU=30-10.8=19.2(米)，PE=DF≈108=120（米）. 0.09 TF TF .:tan∠TDF DF120=iaml14.5°≈0.26， .TF≈31.2米， .TU=TF+FU=31.2+19.2=50.4≈50（米）， 即该塔高度约为50米； (4)解：提出合理建议为：①多次测量取平均值：②取角的 正切值用分数 第五章四边形 命题点25多边形与平行四边形 1.C2.A3.C4.B5.2056.C7.D8.459.2 10.B11.B12.C变式B13.214.C 15.B【解析】解法一：如解图①，连接BD交AC于点O,四 边形ABCD是平行四边形，.OD=OB,·EF=DE,.OE是 △BFD的中位线，BF=20E,:0E=0C-CE=2AC-CE= 1.5,..BF=3. 0 B 第15题解图① 》一题多解 解法二：如解图②，过点F作FG∥AB交AC于点G,可得 FG∥CD,.∠DCE=∠FGE,在△DCE和△FGE中， I∠DCE=∠FGE, ∠DEC=∠FEG,∴.△DCE≌△FGE(AAS),GF=DC,GE DE=FE. =EC=1,AB=DC,.GF=AB,又GF∥AB,.四边形 ABFG为平行四边形，∴.BF=AG=AC-GE-EC=5-1-1=3. D A R 第15题解图② 16.证明：.：四边形ABCD是平行四边形， 参考答案 .BC∥AD,BC=AD=5,.∠D=∠FCE, .E是CD的中点，.DE=CE, 1∠D=∠FCE, 在△ADE和△FCE中，DE=CE, N∠AED=∠FEC. ∴.△ADE≌△FCE(ASA), .FC=AD=5,..BF=BC+FC=5+5=10. 17.证明：略 18.D19.D 20.(1)证明：略： (2)解：AB=16,.BC=7AB=8, .·△DAC≌△ECB,..CD=BE, 又.·CD∥BE .四边形BCDE是平行四边形， .DE=BC=8. 21.(1)证明：略； (2)解：BE=EF,.S△ABE=SAAEF=2, ·四边形AECF是平行四边形， .S△wr=SAcr=2,E0=F0, .△CF0的面积为1. 22.(1)证明：略； (2)解：如解图，过点E作EH⊥CD于点H, ·四边形ABCD是正方形，BC=12, y D .∴.CD=BC=12,∠B=∠BCD=90°. 又.·∠EHC=90°， .四边形EBCH是矩形. .CH=BE=5,EH=BC=12. 第22题解图 又.·DF=BE=5, .∴.HF=CD-DF-CH=12-5-5=2. 在R肚△EHF中，由勾股定理得EF=√EP+FF=√I2+2= /148=2/37. 23.(1)证明：∠ACB=90°，AC=BC, .∠A=∠B=45°， DEBC,点F在BC延长线上， ∴.∠ADE=∠ACB=90°，∠AED=∠B=45°，DE∥FC, .∠A=∠AED∴.AD=DE, CF=AD,..DE=CF, 又.DE∥FC, .四边形DFCE是平行四边形： (2)解：由(1)可知，AD=DE=CF 设AD=DE=FC=x,则CD=AC-AD=2-x, 由(1)可知，∠ADE=90°，.∠CDE=90°， 在Rt△DEC中，∠DCE=30°， .CE=2DE=2x, 由勾股定理得DE+CD2=CE2, 即x2+(2-x)2=(2x)2, 解得x=√3-1，x,=-√3-1（不符合题意，舍去）， 数学 33