24.3 数据的四分位数-教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版八年级数学下册 平行四边形的性质的运用 教案 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：习题课/应用课 一、教学目标 1. 知识与技能：熟练掌握平行四边形的三大核心性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）及邻角互补的推论；能灵活运用这些性质解决边长计算、角度推理、对角线相关计算、折叠拼接等实际应用问题；规范书写几何解题步骤，明确每一步的推理依据。 2. 3. 过程与方法：通过典例分析、变式训练、小组探究，梳理平行四边形性质的应用思路和解题技巧，培养学生的逻辑推理能力、综合分析能力和数形结合思想，提升运用几何性质解决实际问题的能力。 4. 5. 情感态度与价值观：感受平行四边形性质的实用性，激发学生运用几何知识解决问题的兴趣，培养严谨的解题习惯和合作探究意识，增强学习几何知识的信心，体会数学与生活的密切联系，建立完整的几何应用思维。 6. 二、教学重难点 重点：平行四边形性质的灵活运用；针对不同应用场景（边长、角度、对角线、折叠等）选择合适的性质解题；规范书写几何解题步骤。 难点：灵活运用平行四边形的性质解决含多条件、折叠、拼接、与其他几何知识结合的综合问题；明确几何推理的逻辑顺序，规范标注推理依据。 三、教学准备 教师：多媒体课件（包含性质梳理、典例示意图、变式练习题、易错点解析）、板书模板、直尺、圆规、三角板、平行四边形纸片；学生：复习平行四边形的定义及三大核心性质，整理前期错题，准备直尺、圆规、三角板，预习性质应用相关题型。 四、教学过程 （一）复习回顾（5分钟） 1. 快速回顾：提问学生，平行四边形有哪些核心性质？引导学生完整表述，并规范书写几何语言： ① 对边性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC； ② 对角性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补：∠A+∠B=180°）； ③ 对角线性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD（O为对角线交点）。 2. 导入课题：强调平行四边形的性质是解决几何计算、推理的核心依据，今天我们重点学习“平行四边形的性质的运用”，通过典例和变式训练，掌握不同场景下的解题思路和技巧，突破应用难点。 （二）核心应用梳理（7分钟） 梳理平行四边形性质的常见应用场景，明确解题核心思路，帮助学生建立应用框架： 1. 场景一：边长计算（核心用“对边相等”） 思路：已知平行四边形的一组对边长度，可直接求另一组对边；结合周长公式（周长=2×（邻边和）），可求未知边长或周长。 2. 场景二：角度推理（核心用“对角相等、邻角互补”） 思路：已知平行四边形的一个角，可求其余三个角；结合角的和差、角平分线等知识，可解决复杂角度推理问题。 3. 场景三：对角线相关计算（核心用“对角线互相平分”） 思路：已知平行四边形一条对角线的长度或其中一段的长度，可求对角线的另一段或整条对角线长度；结合勾股定理，可求边长、面积等。 4. 场景四：综合应用（折叠、拼接、与三角形结合） 思路：先利用平行四边形的性质，转化已知条件，再结合折叠的性质（对应边相等、对应角相等）、三角形全等、勾股定理等知识，逐步求解。 强调：所有应用的前提的是“明确四边形是平行四边形”，解题时先标注已知条件，再选择对应的性质，规范书写推理步骤，注明每一步的依据。 （三）典例精讲（18分钟） 结合不同应用场景，精讲典例，拆解解题步骤，强化解题技巧，规范书写格式。 例1（基础应用：边长与周长计算）：在▱ABCD中，已知AB=8cm，BC=5cm，E、F分别是AB、CD的中点，求EF的长度及▱ABCD的周长。 讲解步骤：① 明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，AB=8cm，BC=5cm，E、F是AB、CD中点；② 选择性质：平行四边形对边平行且相等，故AB=CD=8cm，AB∥CD；③ 推导EF长度：E、F是中点，AE=EB=4cm，CF=FD=4cm，又AB∥CD，故EB∥CF且EB=CF，四边形EBCF是平行四边形，EF=BC=5cm；④ 计算周长：周长=2×（AB+BC）=2×（8+5）=26cm；⑤ 规范书写解题过程，注明每一步依据（平行四边形性质、中点定义等）。 例2（进阶应用：角度与角平分线结合）：在▱ABCD中，∠A=100°，BE平分∠ABC，交AD于点E，求∠AEB、∠BED的度数。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，∠A+∠ABC=180°（邻角互补），∠A=∠C=100°，故∠ABC=80°；② BE平分∠ABC，故∠ABE=∠EBC=40°；③ 由AD∥BC（平行四边形对边平行），内错角相等，故∠AEB=∠EBC=40°；④ 由平角定义，∠AEB+∠BED=180°，故∠BED=140°；⑤ 规范书写推理过程，强调“平行四边形对边平行”“邻角互补”的灵活运用。 例3（综合应用：对角线与勾股定理结合）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AC=12cm，BD=16cm，AB=10cm，求证：▱ABCD是矩形。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，对角线互相平分，故OA=OC=6cm，OB=OD=8cm；② 已知AB=10cm，观察OA、OB、AB的长度，6²+8²=10²，由勾股定理逆定理，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°；③ 对角线互相垂直的平行四边形是矩形，故▱ABCD是矩形；④ 规范书写证明过程，体现平行四边形性质与勾股定理逆定理的综合运用，注明每一步推理依据。 例4（拓展应用：折叠与性质结合）：将▱ABCD沿边BC折叠，使点C落在点C'处，连接AC'，已知AB=6cm，AD=4cm，∠ABC=60°，求△ABC'的面积。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，AB=CD=6cm，AD=BC=4cm，AB∥CD；② 折叠后，BC=BC'=4cm，∠C=∠C'，∠ABC'=∠ABC=60°；③ 由AB∥CD，∠ABC+∠C=180°，故∠C=120°，∠C'=120°；④ 过点C'作AB的垂线，垂足为H，在Rt△C'BH中，∠C'BH=60°，BC'=4cm，可求C'H=2√3cm；⑤ 计算△ABC'的面积=1/2×AB×C'H=1/2×6×2√3=6√3cm²；⑥ 规范书写解题步骤，梳理折叠性质与平行四边形性质的结合点。 教师板书每道典例的规范解题步骤，重点强调：① 先标注已知条件和图形中的隐含条件；② 选择合适的平行四边形性质，结合其他几何知识（角平分线、勾股定理、折叠性质）；③ 推理过程要严谨，每一步都要注明依据；④ 计算时注意准确性，规范书写单位。 （四）变式训练（10分钟） 布置分层变式练习，贴合典例场景，强化性质运用，及时巩固解题技巧： 1. 基础变式（边长与角度）：在▱ABCD中，AB=7cm，AD=5cm，∠B=70°，E是AD的中点，求CE的长度（提示：过C作AD的垂线）；已知▱ABCD中，∠A比∠B小20°，求四个角的度数。 2. 进阶变式（对角线）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA=5cm，OB=12cm，求▱ABCD的边长和面积；若AC⊥BD，AB=13cm，求AC、BD的长度。 3. 综合变式（折叠与全等）：将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处，连接A'C，已知AB=5cm，AD=3cm，求A'C的长度（提示：证明△A'CD是等腰三角形）。 学生独立完成，小组内核对答案、交流解题思路，教师巡视指导，针对易错点（如忽略平行四边形对边平行的性质、推理过程不规范、计算失误）集中讲解，强化解题技巧。 （五）易错点总结（3分钟） 梳理学生在性质运用中常见的易错点，重点强调： 1. 忽略前提条件：运用性质前，未明确“四边形是平行四边形”，直接套用性质； 2. 性质混淆：误用“对角互补、邻角相等”，混淆对边、对角的关系； 3. 推理不规范：未注明推理依据，步骤跳跃，逻辑混乱； 4. 综合应用中，无法灵活结合其他几何知识（如勾股定理、折叠性质），难以转化已知条件。 引导学生针对性规避易错点，养成“先找条件、再选性质、规范推理”的解题习惯。 （六）课堂小结（2分钟） 引导学生回顾：本节课重点掌握了平行四边形性质的四大应用场景（边长、角度、对角线、综合应用），梳理了不同场景的解题思路和技巧；明确了运用性质的核心是“先明确平行四边形，再选择对应性质，规范书写推理步骤”；通过典例和变式训练，提升了综合解题能力。师生共同梳理核心解题技巧，加深记忆。 （七）布置作业（2分钟） 基础作业：整理本节课典例及变式题，规范书写解题步骤，注明每一步依据；完成教材对应性质应用习题，巩固基础应用。 拓展作业：收集生活中需要运用平行四边形性质解决的实际问题（如测量边长、角度），尝试写出解题过程；思考：平行四边形的性质在矩形、菱形中的应用有哪些异同。 五、板书设计 平行四边形的性质的运用 一、核心性质（几何语言） 1. 对边：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 2. 对角：∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补） 3. 对角线：OA=OC，OB=OD（O为交点） 二、常见应用场景及思路 1. 边长计算：对边相等+周长公式 2. 角度推理：对角相等+邻角互补 3. 对角线：互相平分+勾股定理 4. 综合应用：性质+折叠/全等/勾股定理 三、解题关键 1. 明确前提：四边形是平行四边形 2. 规范步骤：注明推理依据，逻辑严谨 四、典例精讲（规范书写步骤） 例1：边长与周长 例2：角度与角平分线 例3：对角线与勾股定理 例4：折叠综合 六、教学反思 本节课聚焦平行四边形性质的运用，以典例精讲、变式训练为核心，梳理了不同应用场景的解题思路和技巧，重点强化了几何推理的规范性和性质的灵活运用，衔接前期所学的平行四边形性质、勾股定理、折叠性质等知识，符合八年级学生的认知规律和应用能力培养需求，基本达成教学目标。但部分学生在综合应用场景中，难以快速结合平行四边形性质与其他几何知识，转化已知条件的能力不足；部分学生解题步骤不够规范，推理依据标注不完整；对对角线互相平分的性质应用不够灵活，容易忽略对角线与边长的关联。后续需增加综合变式训练，针对性突破转化难点，强化解题步骤的规范性指导，设计分层习题，兼顾不同层次学生的需求，帮助学生熟练掌握平行四边形性质的运用技巧，提升几何综合解题能力。 24.3 数据的四分位数 教学目标 课题 24.3 数据的四分位数 授课人 素养目标 1.了解百分位数，并借助百分位数认识四分位数. 2.会计算四分位数，能够画出箱线图. 3.了解四分位数与箱线图的关系，能够借助箱线图分析数据的分布信息. 教学重点 四分位数与箱线图的关系，借助箱线图分析数据的分布信息. 教学难点 借助箱线图分析数据的分布信息. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，导入新课 【情境引入】 某银行有A和B两个理财产品经营团队.近三年，这两个团队分别负责经营12项理财产品.两个团队的产品收益率的平均数(单位：%)和方差分别为 如果你是一位购买理财产品的投资者，会选择哪个团队的产品? 答：稳健型投资者可以选择团队B经营的理财产品；激进型投资者可以选择团队A经营的理财产品. 如果投资者还想进一步了解两个团队理财产品收益率的具体情况，例如收益率大部分在什么范围，哪些范围比较集中等信息，通过今天的学习，我们将找到答案. 【教学建议】 学生自由讨论后 指定学生代表回答，引导学生分析出做出不同决策的原因，并通过新的问题引发学生思考，为新课的学习做好铺垫. 设计意图 通过实际情境，先复习平均数和方差的相关知识，再通过设问引发学生思考，为导入新课做准备. 活动二：问题引入，自主探究 探究点1 百分位数、四分位数 平均数和方差虽然可以反映产品收益率的集中趋势和离散程度，但无法反映出投资客户关心的这些信息(收益率大部分在什么范围，哪些范围比较集中等).因此，我们需要能反映产品收益率更多分布信息的统计量. 概念引入：一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成2等份，将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数. 相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息. 概念引入：一组数据的25%分位数、50%分位数(即中位数)和75%分位数把这组按由小到大顺序排列的数据分成四等份，所以称它们为这组数据的四分位数，从小到大分别称为这组数据的第一四分位数、第二四分位数(中位数)、第三四分位数，分别记为Q1，Q2，Q3. (1)分析教材P176问题中的相关数据，分别确定A，B两个团队产品收益率的四分位数. 解：A：2.02 2.15 3.18 | 3.21 3.64 3.85 | 3.98 4.10 4.11 | 4.77 4.89 6.44 3.195 3.915 4.44 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 B：3.18 3.40 3.60 | 3.67 3.84 3.87 | 3.91 3.99 4.10 | 4.15 4.21 4.44 3.635 3.89 4.125 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 团队A产品收益率的四分位数分别为3.195(Q1)，3.915(Q2)，4.44(Q3)； 团队B产品收益率的四分位数分别为3.635(Q1)，3.89(Q2)，4.125(Q3). (2)结合四分位数，说明两个团队产品收益率的分布情况. 答：团队A：其产品收益率小于3.195%的项目数占总数的25%，产品收益率小于3.915%的项目数占总数的一半，产品收益率大于4.44%的项目数占总数的25%.产品收益率在3.195%至4.44%之间的项目数占总数的50%. 团队B：其产品收益率小于3.635%的项目数占总数的25%，产品收益率小于3.89%的项目数占总数的一半，产品收益率大于4.125%的项目数占总数的25%.产品收益率在3.635%至4.125%之间的项目数占总数的50%. 【对应训练】 1.某校18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得8个班的比赛得分如下：91，90，94，87，93，96，91，85，则这组数据的75%分位数为 93.5 . 2.一组数据按从小到大排列为：16，25，33，39，43，m，65，70.若这组数据的下四分位数与上四分位数的和是85，则m= 47 . 3.教材P180练习第3题. 【教学建议】 第一四分位数又称下四分位数，第三四分位数又称上四分位数. 学习相关概念后，教师可带领学生进行总结：第一四分位数是前半部分数据的中位数，第三四分位数是后半部分数据的中位数. 设计意图 在活动一问题的基础上，引入百分位数和四分位数的概念，并结合四分位数说明数据的分布情况. . 设计意图 探究点2 箱线图及其画法 概念引入：为了更加直观地观察数据的分布特征，我们可以用数据的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图. 箱线图主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段(称为须线)构成.箱线图中最左侧和最右侧的竖直线段分别表示这组数据的最小值和最大值，中间箱体的左端竖线表示第一四分位数，箱体中部的竖线表示第二四分位数(中位数)，箱体的右端竖线表示第三四分位数，整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距. (1)请尝试用统计图表示探究点1中A，B两个团队产品收益率的四分位数.解：如图. 由箱线图，容易看出数据分布的大致情况，如分布的范围、中位数的大小、集中的范围、分布是否对称等. 箱线图也可以按竖直方向画.为了便于比较两组数据的分布特征，可以把两个箱线图按竖直方向并列画在同一幅图中，如图. (2)请结合上面的箱线图，分析比较A，B两个团队产品收益率的分布情况. 答：观察箱线图可以发现，两个团队产品收益率的中位数几乎相等(表示中位数的水平线段差不多高)，但团队A的产品收益率波动明显比团队B的大(团队A的箱体和须线比团队B的长)，这与用平均数、方差比较的结果是一致的.团队B的产品收益率分布比团队A的更对称(中位数对应的水平线段在箱子的中间位置)，团队A有约25%的产品收益率高于团队B的最高产品收益率，也有约25%的产品收益率低于团队B的最低产品收益率，等等. 【对应训练】 教材P180练习第1题. 【教学建议】 教师提醒：箱线 图除了要表示出对应的五个数值外，还要表示出相应统计量的刻度线，且刻度线的度量单位应与数据的单位一致，起点比最小值稍小，终点比最大值稍大. 在四分位数的基础上进一步探究，将四分位数与图形结合，得到箱线图. 活动三：重点突破，提升探究 例 (教材P179例题)根据教材P173例3中的数据，分别计算甲、乙两地气温的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点. 解：将表中两地的气温(单位：℃)分别按从小到大的顺序排列，可得 甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24 乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 甲、乙两地气温各有13个数据.甲地气温的最小值为9，最大值为24，三个四分位数分别为.乙地气温的最小值为11，最大值为21，三个四分位数分别为 在同一幅图中画出两地气温的箱线图如图. 可以看出，甲、乙两地气温的中位数相同，但甲地气温的波动明显比乙地的大，甲地约有25%时刻的气温高于乙地的最高温度，约有25%时刻的气温低于乙地的最低温度. 【对应训练】 教材P180练习第2题. 【教学建议】 当多组箱线图在同一幅图中时，可以很方便地比较不同组数据的分布特征，包括中位数的差异(中心位置)，四分位数间距的大小(离散程度)，从而快速发现组间的差异和规律. 设计意图 进一步强化学生借助箱线图描述数据、分析数据的能力. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 如何理解百分位数和四分位数?它们有什么区别?箱线图该怎么画?它是怎样反映数据的分布信息的? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P180~181习题24.3. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 24.3 数据的四分位数 1.百分位数. 2.四分位数. 3.箱线图. 教学反思 本节课采用了创设问题情境，启发学生思考的教学模式，引入百分位数与四分位数.同时，为了使数据的分布特征更加直观，将四分位数与最小值、最大值用图形的形式展示，得到箱线图.通过本节课的学习，让学生能够通过箱线图分析比较多组数据的分布情况. 解题大招一 百分位数的应用 一般地，一组数据的p%分位数是这样一个值，它是这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值. 例1 下表是16~17周岁男生的体重百分位数值表. 体重百分位数/kg m5 m10 m25 m50 m75 m90 m95 45.1 47.9 51.5 56.7 63.7 72.4 80.4 17岁的小明的体重是64kg，则他的体重超过 75% 的同龄人. 解析：观察表格可以发现，16~17周岁男生体重的75%分位数是63.7kg，90%分位数是72.4kg，64kg更接近63.7kg且大于63.7kg，所以小明同学的体重超过75%的同龄人. 解题大招二 求四分位数的方法 (1)将数据按从小到大的顺序排列； (2)找出这组数据的中位数，作为这组数据的第二四分位数，即Q2； (3)找出中位数左侧和右侧的数据各自的中位数，分别作为这组数据的第一四分位数和第三四分位数，即Q1和Q3. 注意：①在求四分位数之前，一定要对数据进行正确的排序；②求第一四分位数和第三四分位数时，以Q2为界，左右两侧的数据均不包含Q2. 例2 (1)数据14，10，16，30，12，18，24，26，20，22，28的四分位数分别是Q1= 14 ，Q2= 20 ，Q3= 26 . 解析：将这组数据按从小到大的顺序排列：10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30.这组数据的中位数为20，即Q2=20；20左侧数据的中位数为14，即Q1=14；20右侧数据的中位数为26，即Q3=26. (2)某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，79，80，80，81，84，85.若这组数据的上四分位数与下四分位数的平均数恰好与中位数相等，则a= 76 . 解析：由题中数据易知.Q2=80， 因为这组数据的上四分位数与下四分位数的平均数恰好与中位数相等， 所以即解得a=76. 培优点 借助箱线图(四分位数)分析数据的分布信息 箱线图(四分位数)可以帮助我们了解数据的离散程度.通过观察箱线图(或计算Q1，Q2和Q3)，我们可以得到四分位距(即箱体的长度)，四分位距可以用来衡量数据的离散程度，相比于极差(最大值与最小值的差)，它不容易受到极端值的影响.比如在一个班级学生成绩的统计数据中，如果我们知道了成绩的四分位数，就可以了解到成绩分布的大致情况.如果Q1较低，Q3较高，说明成绩分布比较分散；如果Q1和Q3比较接近，说明中间部分的学生成绩比较集中. 例 A班和B班某次测试成绩(单位：分)如下： A班：70，72，74，75，76，77，78，79，80，80，81，82，83，84，85，86，87，88，89，90； B班：40，50，55，60，62，65，68，70，72，73，74，75，76，78，80，82，84，85，88，90. 某同学想要利用百分位数分析A，B两个班的水平，如表是他记录的成绩/分A，B两个班成绩的百分位数. 请根据以上信息完成下列问题： (1)表中a= 63.5 ，b= 81 ； (2)该同学基于四分位数绘制了A班成绩的箱线图如图所示，获得了A班成绩的直观表示.请你根据A班成绩的箱线图在图中补全B班成绩的箱线图，并根据箱线图对A，B两个班的成绩作出评价. 解：补全B班成绩的箱线图如图所示. A班成绩整体更高且更稳定，B班成绩波动较大且存在极端低分现象. 学科网（北京）股份有限公司 $