精品解析：宁夏吴忠市滨河中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷

吴忠市滨河中学2025—2026学年高一第二学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答策写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 在中，角所对的边分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若，则（ ） A. -1 B. -7 C. 1 D. 7 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7 5. 正方形的边长是2，是的中点，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 6. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知角，，，，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分. 9. 下列四个命题为真命题的是（ ） A. 若点，则线段的中点的坐标为； B. 若向量满足，，，则； C. 若向量，则不能作为平面向量的一组基底； D. 若单位向量和的夹角为，则在上的投影向量为 10. 如图是函数的部分图象，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 是函数的一条对称轴 D. 将函数的图象向右平移个单位后，得到函数，则函数的解析式为 11. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，是边的中点，，则（ ） A. 是等腰三角形 B. C. 的面积为 D. 的周长为 三､填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分. 12. 已知，若向量与相互垂直，则实数的值为__________. 13. 在中，角､､所对边分别是､､，若，则___________. 14. 已知函数的最小正周期为，其图像向左平移个单位长后所得图像关于轴对称，则的值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知均为第二象限角，求的值. 16. 已知向量，． （1）求； （2）求； （3）求． 17. 在中，已知. （1）求角； （2）若为锐角三角形，求的面积. 18. 设的内角的对边分别为，且. （1）证明：； （2）求角； （3）若，的面积为，求. 19. 已知向量，设函数. （1）将函数化简为的形式； （2）求函数的最小正周期及单调递减区间； （3）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠市滨河中学2025—2026学年高一第二学期期中考试 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答策写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，然后求得. 【详解】因为，所以. 故选：D 2. 在中，角所对的边分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理可得，所以或， 因，则，故为锐角，即. 3. 已知，，若，则（ ） A. -1 B. -7 C. 1 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，， 因为，可得，解得. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先根据同角三角函数的基本关系求得，再根据两角和的正切公式求解即可. 【详解】由，，则， 所以， 则. 故选：B 5. 正方形的边长是2，是的中点，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 6. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是的中点，， 因为，所以，又， 由题意得，故B正确. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 展开整理得，即. 8. 已知角，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平方关系求得，，再结合两角差的正弦公式求解即可. 【详解】由，，则， 则， ， 所以 . 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分. 9. 下列四个命题为真命题的是（ ） A. 若点，则线段的中点的坐标为； B. 若向量满足，，，则； C. 若向量，则不能作为平面向量的一组基底； D. 若单位向量和的夹角为，则在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，因为，，所以线段的中点坐标为，故A正确； 对于B，因为，，，所以，故B错误； 对于C，，与不共线，所以与能作为平面向量的一组基底，故C错误； 对于D，因为，，所以在上的投影向量为，故D正确. 10. 如图是函数的部分图象，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 是函数的一条对称轴 D. 将函数的图象向右平移个单位后，得到函数，则函数的解析式为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象得到的解析式，利用正弦函数的性质和图象变换一一判断即可. 【详解】对于A，由的图象可得，故A正确； 对于B，设的最小正周期为，则，得，故B正确； 对于C，因为，所以，又，得， 得，又，所以，所以， 又，所以不是的一条对称轴，故C错误； 对于D，将函数的图象向右平移个单位后， 得到，故D正确. 11. 在中，角，，的对边分别为，，，且，，是边的中点，，则（ ） A. 是等腰三角形 B. C. 的面积为 D. 的周长为 【答案】AC 【解析】 【分析】计算角判断三角形形状判断A；根据余弦定理及正弦定理计算判断B；根据三角形面积公式计算判断C；求解周长判断D. 【详解】对于A，因为，所以或， 因为，所以， 则，则是等腰三角形，故A正确. 对于B，在中，由余弦定理可得， 即，则， 由正弦定理可得，故B错误. 对于C，的面积为，故C正确， 对于D，周长为，故D错误. 三､填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分. 12. 已知，若向量与相互垂直，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为向量与相互垂直，所以，即， 又因为，所以，即. 13. 在中，角､､所对边分别是､､，若，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦定理直接求解即可. 【详解】， ， ，. 故答案为：. 14. 已知函数的最小正周期为，其图像向左平移个单位长后所得图像关于轴对称，则的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据周期求，再根据函数的性质求，即可求函数的解析式. 【详解】函数的最小正周期为， ，． 因为其图象向左平移个单位后，可得的图象； 所以根据所得图象关于轴对称，可得，，即，， 又，则． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知均为第二象限角，求的值. 【答案】， 【解析】 【详解】因为均为第二象限角， 所以， 所以， . 16. 已知向量，． （1）求； （2）求； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. （2）根据向量模的计算公式计算可得. （3）利用向量夹角余弦公式可求出答案. 【小问1详解】 因为，, 所以 【小问2详解】 因为，, 所以， 所以, 【小问3详解】 . 17. 在中，已知. （1）求角； （2）若为锐角三角形，求的面积. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得，即可得结果； （2）由题意可得，利用两角和差公式可得，进而可得面积. 【小问1详解】 由正弦定理，可得， 因为，所以或. 【小问2详解】 因为为锐角三角形，则， 则， 所以的面积. 18. 设的内角的对边分别为，且. （1）证明：； （2）求角； （3）若，的面积为，求. 【答案】（1） 证明：在中，， ， . 即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和为，结合诱导公式，证明； （2）先用正弦定理将边化角，再用第（1）问结论代入，化简后求出的值，进而得到角； （3）先用三角形面积公式求出的值，再用余弦定理结合的值得到的值，最后通过完全平方公式联立方程，求出和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正弦定理， 将已知条件中的边化为角，得， 由（1）知，代入上式得， 即， 整理得， .， 又.，. 【小问3详解】 ，且，解得. 由余弦定理，得，即. 将代入上式，得，， ，， ，. 联立，解得. 19. 已知向量，设函数. （1）将函数化简为的形式； （2）求函数的最小正周期及单调递减区间； （3）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）最小正周期为，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标运算结合三角恒等变换运算求解； （2）根据正弦型函数的最小正周期公式求函数的最小正周期，以为整体，结合正弦函数单调性运算求解； （3）根据图象变换可得，以为整体，结合正弦函数有界性运算求解. 【小问1详解】 因为， 则， 所以. 【小问2详解】 因为，则的最小正周期； 令，解得， 所以函数的最小正周期为，单调递减区间为. 【小问3详解】 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 可得， 由可得， 因为，则， 当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值， 即，可得，即 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $