24.2 第2课时 根据方差做决策-教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

第2课时 利用数据的集中趋势和离散程度做决策人教版八年级数学下册 平行四边形的性质的运用 教案 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：习题课/应用课 一、教学目标 1. 知识与技能：熟练掌握平行四边形的三大核心性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）及邻角互补的推论；能灵活运用这些性质解决边长计算、角度推理、对角线相关计算、折叠拼接等实际应用问题；规范书写几何解题步骤，明确每一步的推理依据。 2. 3. 过程与方法：通过典例分析、变式训练、小组探究，梳理平行四边形性质的应用思路和解题技巧，培养学生的逻辑推理能力、综合分析能力和数形结合思想，提升运用几何性质解决实际问题的能力。 4. 5. 情感态度与价值观：感受平行四边形性质的实用性，激发学生运用几何知识解决问题的兴趣，培养严谨的解题习惯和合作探究意识，增强学习几何知识的信心，体会数学与生活的密切联系，建立完整的几何应用思维。 6. 二、教学重难点 重点：平行四边形性质的灵活运用；针对不同应用场景（边长、角度、对角线、折叠等）选择合适的性质解题；规范书写几何解题步骤。 难点：灵活运用平行四边形的性质解决含多条件、折叠、拼接、与其他几何知识结合的综合问题；明确几何推理的逻辑顺序，规范标注推理依据。 三、教学准备 教师：多媒体课件（包含性质梳理、典例示意图、变式练习题、易错点解析）、板书模板、直尺、圆规、三角板、平行四边形纸片；学生：复习平行四边形的定义及三大核心性质，整理前期错题，准备直尺、圆规、三角板，预习性质应用相关题型。 四、教学过程 （一）复习回顾（5分钟） 1. 快速回顾：提问学生，平行四边形有哪些核心性质？引导学生完整表述，并规范书写几何语言： ① 对边性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC； ② 对角性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补：∠A+∠B=180°）； ③ 对角线性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD（O为对角线交点）。 2. 导入课题：强调平行四边形的性质是解决几何计算、推理的核心依据，今天我们重点学习“平行四边形的性质的运用”，通过典例和变式训练，掌握不同场景下的解题思路和技巧，突破应用难点。 （二）核心应用梳理（7分钟） 梳理平行四边形性质的常见应用场景，明确解题核心思路，帮助学生建立应用框架： 1. 场景一：边长计算（核心用“对边相等”） 思路：已知平行四边形的一组对边长度，可直接求另一组对边；结合周长公式（周长=2×（邻边和）），可求未知边长或周长。 2. 场景二：角度推理（核心用“对角相等、邻角互补”） 思路：已知平行四边形的一个角，可求其余三个角；结合角的和差、角平分线等知识，可解决复杂角度推理问题。 3. 场景三：对角线相关计算（核心用“对角线互相平分”） 思路：已知平行四边形一条对角线的长度或其中一段的长度，可求对角线的另一段或整条对角线长度；结合勾股定理，可求边长、面积等。 4. 场景四：综合应用（折叠、拼接、与三角形结合） 思路：先利用平行四边形的性质，转化已知条件，再结合折叠的性质（对应边相等、对应角相等）、三角形全等、勾股定理等知识，逐步求解。 强调：所有应用的前提的是“明确四边形是平行四边形”，解题时先标注已知条件，再选择对应的性质，规范书写推理步骤，注明每一步的依据。 （三）典例精讲（18分钟） 结合不同应用场景，精讲典例，拆解解题步骤，强化解题技巧，规范书写格式。 例1（基础应用：边长与周长计算）：在▱ABCD中，已知AB=8cm，BC=5cm，E、F分别是AB、CD的中点，求EF的长度及▱ABCD的周长。 讲解步骤：① 明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，AB=8cm，BC=5cm，E、F是AB、CD中点；② 选择性质：平行四边形对边平行且相等，故AB=CD=8cm，AB∥CD；③ 推导EF长度：E、F是中点，AE=EB=4cm，CF=FD=4cm，又AB∥CD，故EB∥CF且EB=CF，四边形EBCF是平行四边形，EF=BC=5cm；④ 计算周长：周长=2×（AB+BC）=2×（8+5）=26cm；⑤ 规范书写解题过程，注明每一步依据（平行四边形性质、中点定义等）。 例2（进阶应用：角度与角平分线结合）：在▱ABCD中，∠A=100°，BE平分∠ABC，交AD于点E，求∠AEB、∠BED的度数。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，∠A+∠ABC=180°（邻角互补），∠A=∠C=100°，故∠ABC=80°；② BE平分∠ABC，故∠ABE=∠EBC=40°；③ 由AD∥BC（平行四边形对边平行），内错角相等，故∠AEB=∠EBC=40°；④ 由平角定义，∠AEB+∠BED=180°，故∠BED=140°；⑤ 规范书写推理过程，强调“平行四边形对边平行”“邻角互补”的灵活运用。 例3（综合应用：对角线与勾股定理结合）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AC=12cm，BD=16cm，AB=10cm，求证：▱ABCD是矩形。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，对角线互相平分，故OA=OC=6cm，OB=OD=8cm；② 已知AB=10cm，观察OA、OB、AB的长度，6²+8²=10²，由勾股定理逆定理，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°；③ 对角线互相垂直的平行四边形是矩形，故▱ABCD是矩形；④ 规范书写证明过程，体现平行四边形性质与勾股定理逆定理的综合运用，注明每一步推理依据。 例4（拓展应用：折叠与性质结合）：将▱ABCD沿边BC折叠，使点C落在点C'处，连接AC'，已知AB=6cm，AD=4cm，∠ABC=60°，求△ABC'的面积。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，AB=CD=6cm，AD=BC=4cm，AB∥CD；② 折叠后，BC=BC'=4cm，∠C=∠C'，∠ABC'=∠ABC=60°；③ 由AB∥CD，∠ABC+∠C=180°，故∠C=120°，∠C'=120°；④ 过点C'作AB的垂线，垂足为H，在Rt△C'BH中，∠C'BH=60°，BC'=4cm，可求C'H=2√3cm；⑤ 计算△ABC'的面积=1/2×AB×C'H=1/2×6×2√3=6√3cm²；⑥ 规范书写解题步骤，梳理折叠性质与平行四边形性质的结合点。 教师板书每道典例的规范解题步骤，重点强调：① 先标注已知条件和图形中的隐含条件；② 选择合适的平行四边形性质，结合其他几何知识（角平分线、勾股定理、折叠性质）；③ 推理过程要严谨，每一步都要注明依据；④ 计算时注意准确性，规范书写单位。 （四）变式训练（10分钟） 布置分层变式练习，贴合典例场景，强化性质运用，及时巩固解题技巧： 1. 基础变式（边长与角度）：在▱ABCD中，AB=7cm，AD=5cm，∠B=70°，E是AD的中点，求CE的长度（提示：过C作AD的垂线）；已知▱ABCD中，∠A比∠B小20°，求四个角的度数。 2. 进阶变式（对角线）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA=5cm，OB=12cm，求▱ABCD的边长和面积；若AC⊥BD，AB=13cm，求AC、BD的长度。 3. 综合变式（折叠与全等）：将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处，连接A'C，已知AB=5cm，AD=3cm，求A'C的长度（提示：证明△A'CD是等腰三角形）。 学生独立完成，小组内核对答案、交流解题思路，教师巡视指导，针对易错点（如忽略平行四边形对边平行的性质、推理过程不规范、计算失误）集中讲解，强化解题技巧。 （五）易错点总结（3分钟） 梳理学生在性质运用中常见的易错点，重点强调： 1. 忽略前提条件：运用性质前，未明确“四边形是平行四边形”，直接套用性质； 2. 性质混淆：误用“对角互补、邻角相等”，混淆对边、对角的关系； 3. 推理不规范：未注明推理依据，步骤跳跃，逻辑混乱； 4. 综合应用中，无法灵活结合其他几何知识（如勾股定理、折叠性质），难以转化已知条件。 引导学生针对性规避易错点，养成“先找条件、再选性质、规范推理”的解题习惯。 （六）课堂小结（2分钟） 引导学生回顾：本节课重点掌握了平行四边形性质的四大应用场景（边长、角度、对角线、综合应用），梳理了不同场景的解题思路和技巧；明确了运用性质的核心是“先明确平行四边形，再选择对应性质，规范书写推理步骤”；通过典例和变式训练，提升了综合解题能力。师生共同梳理核心解题技巧，加深记忆。 （七）布置作业（2分钟） 基础作业：整理本节课典例及变式题，规范书写解题步骤，注明每一步依据；完成教材对应性质应用习题，巩固基础应用。 拓展作业：收集生活中需要运用平行四边形性质解决的实际问题（如测量边长、角度），尝试写出解题过程；思考：平行四边形的性质在矩形、菱形中的应用有哪些异同。 五、板书设计 平行四边形的性质的运用 一、核心性质（几何语言） 1. 对边：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 2. 对角：∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补） 3. 对角线：OA=OC，OB=OD（O为交点） 二、常见应用场景及思路 1. 边长计算：对边相等+周长公式 2. 角度推理：对角相等+邻角互补 3. 对角线：互相平分+勾股定理 4. 综合应用：性质+折叠/全等/勾股定理 三、解题关键 1. 明确前提：四边形是平行四边形 2. 规范步骤：注明推理依据，逻辑严谨 四、典例精讲（规范书写步骤） 例1：边长与周长 例2：角度与角平分线 例3：对角线与勾股定理 例4：折叠综合 六、教学反思 本节课聚焦平行四边形性质的运用，以典例精讲、变式训练为核心，梳理了不同应用场景的解题思路和技巧，重点强化了几何推理的规范性和性质的灵活运用，衔接前期所学的平行四边形性质、勾股定理、折叠性质等知识，符合八年级学生的认知规律和应用能力培养需求，基本达成教学目标。但部分学生在综合应用场景中，难以快速结合平行四边形性质与其他几何知识，转化已知条件的能力不足；部分学生解题步骤不够规范，推理依据标注不完整；对对角线互相平分的性质应用不够灵活，容易忽略对角线与边长的关联。后续需增加综合变式训练，针对性突破转化难点，强化解题步骤的规范性指导，设计分层习题，兼顾不同层次学生的需求，帮助学生熟练掌握平行四边形性质的运用技巧，提升几何综合解题能力。 教学目标 课题 24.2 第2课时 利用数据的集中趋势和离散程度做决策 授课人 素养目标 1.学会运用方差分析数据并进行优化选择和决策. 2.综合运用平均数、众数、中位数和方差解决实际问题. 3.通过解决简单的实际问题，形成一定的数据意识，提高解决问题的能力，进一步体会数学的应用价值. 教学重点 数据的集中趋势与离散程度的实际应用. 教学难点 综合运用平均数、众数、中位数和方差解决实际问题. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：复习回顾，旧知启发 【知识回顾】 1.反映数据集中趋势的统计量有哪些? 答：平均数、中位数和众数. 2.反映数据离散程度的统计量有哪些? 答：离差平方和、方差. 3.方差的意义是什么? 答：方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小. 4.用样本估计总体的意义是什么? 答：当考察具有破坏性或总体中个体的数目太大时，用样本估计总体能够节省时间和成本. 在前面我们已经学习了反映数据集中趋势和离散程度的相关统计量，在日常生活中，我们进行一些选择与决策时，也会受到这些统计量的影响.下面我们将进行本节课的学习. 【教学建议】 教师引导学生自 由回答，最后总结引入，为新课的学习做好铺垫. 设计意图 通过回顾前面学过的知识，加深印象，为本课时的内容奠定基础. 活动二：问题引入，自主探究 探究点1 利用方差作决策 例1 (教材P172 例2)自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差(实际含量一标准含量).甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为500mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10瓶饮料进行测量，结果(单位：mL)如表所示. 甲 501 496 498 499 503 498 505 498 501 501 乙 496 493 504 495 500 506 504 505 498 499 (1)如果有一瓶饮料含量的误差的绝对值超过10mL，此条灌装线的灌装质量为不合格，那么两条灌装线的灌装质量是否都合格? 解：甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量500mL的误差如表所示. 甲组误差/mL 1 －4 －2 －1 3 －2 5 －2 1 1 乙组误差/mL －4 －7 4 －5 0 6 4 5 －2 －1 从表中的数据可以看出，甲、乙灌装线的误差绝对值最大分别为5mL，7mL，两者都小于10mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的. (2)哪个统计量可以用来评价灌装线的灌装质量? 答：在饮料含量的误差的绝对值符合要求前提下，灌装饮料的实际含量与标准含量的差异越小，说明灌装线的质量越好.因此可以用方差来评价灌装线的灌装质量. (3)哪条灌装线的灌装质量更好? 解：通过计算可得，甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为 类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度分别为 可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小. 根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好. 【对应训练】 教材P174练习. 【教学建议】 教师提醒学生： 在日常生活中，并不一定是方差越小就越好，需要结合实际情况进行抉择. 设计意图 通过生活实例，类比平均数和方差，反映了方差在实际生活中的应用. 设计意图 探究点2 综合利用数据的集中趋势和离散程度分析数据 例2 (教材P173例3)甲、乙两地同一天的气温记录如表所示. 试比较两地的气温差异. (1)请画出甲、乙两地同一天的气温的折线图分析两地的气温差异. 答：以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把表中数据用折线图进行表示，得到如图的折线图. 从折线图中可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地的最高气温高于乙地，而最低气温低于乙地. (2)请通过数据的集中趋势分析两地的气温差异. 答：两地气温的平均数分别为 将两地气温按从小到大排列，可以发现两地气温的中位数都是16，众数各有两个(甲地是16和21，乙地是15和17)且都出现两次，因为重复次数太少，所以不具有代表性.因此，从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显. (3)请通过数据的离散程度分析两地的气温差异. 答：两地气温的方差分别为： 由可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定. 【对应训练】 教材P175习题24.2第4题. 【教学建议】 教师提醒学生：对数据进行分析时，在不同的条件下，所关注的统计量也不相同. 结合生活实例，综合统计图、集中趋势和离散程度等相关统计量，对数据进行分析，强化巩固学生对统计知识的掌握. 活动三：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 如何表现一组数据的集中趋势和离散程度?结合数据做决策时有哪些需要注意的地方? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P175习题24.2第3，5题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 24.2 数据的离散程度 第2课时 利用数据的集中趋势和离散程度做决策 1.数据的集中趋势. 2.数据的离散程度. 3.用样本估计总体. 教学反思 本节课主要是对前面所学知识的综合复习与应用，让学生进一步理解平均数、中位数、众数、方差等相关统计量的意义.通过对教材例题的探索，让学生理解数学来源于生活，又反过来作用于生活的观点，学会思考如何对实际问题做决策.在探索过程中，要有针对性地进行引导，培养学生的自主意识和探索精神. 解题大招 分析数据做决策 统计的基本思想：用样本的特征(平均数、方差等)估计总体的特征. 统计的决策依据：利用数据做决策时，要全面、多角度地去分析已有数据，从数据的变化中发现它们的规律和变化趋势，减少人为因素的影响. 通常情况下，方差越小越好，但也有例外，此时需要结合题目条件，具体情况具体分析. 例1 去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，这四个品种每棵产量的平均数(单位：kg)及方差s2如下表所示.今年准备从这四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是 乙 .(填“甲”“乙”“丙”或“丁”) 甲 乙 丙 丁 24 24 23 20 S2 2.1 1.9 2 1.9 解析：因为甲、乙两个品种葡萄树产量的平均数比丙、丁两个品种葡萄树产量的平均数大，而乙品种葡萄树产量的方差比甲品种葡萄树产量的方差小， 所以乙品种葡萄树的产量既高又稳定， 故应选的品种是乙. 学科网（北京）股份有限公司 $