精品解析：河南郑州市2026年中招适应性测试数学试题卷

郑州市2026年中招适应性测试 数学试题卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在，0，，这四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看．下列方法得到的平面图形是长方形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为 ，则这个数对应的原数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某种折叠椅子的图片及其左视图，已知与地面平行，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 甲种糖果每千克元，乙种糖果每千克15元，将3千克甲种糖果和千克乙种糖果混合，得到的什锦糖果的单价应为每千克（） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值不能为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 7. 拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长，当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服．若此时拉杆伸长长度，拉杆与水平面夹角为，则拉杆把手处到地面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“零和点”．下列函数的图象中不存在“零和点”的是（ ） A. B. C. D. 9. 定义：将边长相同的菱形与正方形的接近程度叫做菱形的“接近度”，记作，且，其中，为菱形的两个相邻内角的度数．下列说法不正确的是（ ） A. 内角等于130°的菱形的接近度 B. 接近度越大的菱形越接近于正方形 C. 当时，该菱形是正方形 D. 菱形的接近度的取值范围是 10. 如图，，为线段上两点，且，点为线段上的动点，并从点向点匀速运动，，分别是以，为斜边的等腰直角三角形，点为线段的中点，设点的运动时间为，点到的距离为，则与的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则__________0．（填“”“”或“”） 12. 韩店唢呐、齐天圣鼓、豫西狮舞、超化吹歌是河南省省级非物质文化遗产项目．如图，四张卡片正面分别印有这四种非物质文化遗产项目，它们除正面外完全相同把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽到的两张卡片正面恰好是“齐天圣鼓”和“豫西狮舞”的概率是_______． 13. 已知一个函数具备以下特征： ①函数的图象经过第二象限； ②当时，随的增大而增大； ③函数的图象关于原点中心对称 请写出一个符合上述特征的函数的表达式：_________． 14. 如图，平面直角坐标系中，某圆弧经过点，，，点在轴正半轴上，若直线与该圆弧相切，则点的坐标为__________． 15. 如图，在矩形中，，，点为对角线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在射线上，当的垂直平分线经过矩形一边的中点时，的长为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算与化简 （1）； （2）． 17. 某校数学活动小组研究七年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖的距离）与身高的关系，在本校七年级男生中随机抽取50人，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行整理、描述和分析，得到如下信息．信息1：50名七年级男生的身高、臂展的频数直方图，如图1、图2． 信息2：50名七年级男生的身高、臂展的统计量，如表1． 信息3：50名七年级男生的身高、臂展的散点图，如图3．图3中大部分点近似地在一条直线上，利用计算机和简单统计软件可以发现臂展（）与身高（）的函数关系大约满足． 统计量 身高 臂展 平均数 中位数 方差 表1 根据以上信息，回答下列问题： （1）根据信息1，从两幅频数直方图中分别可以获得这50名七年级男生身高、臂展的哪些信息？（各写出一条即可） （2）根据信息2，对比分析这50名七年级男生的身高、臂展具有怎样的特点． （3）经查询可知：普通健康成年人臂展（）与身高（）的函数关系大约满足，青少年通常具有“臂展略大于身高”的规律．你认为该校七年级男生臂展与身高的关系是否符合该规律？说说你的理由． 18. 中，，，均为的中线，与相交于点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，连接并延长，交于点．通过推理还能得到新的发现．请写出两条新发现，并证明其中的一条． 19. 在中，为的中点，请仅用一把无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）如图1，在上找到一点，使点是的中点． （2）如图2，在上找到一点，使点是上靠近点的三等分点，并说明理由． 20. 牡丹花茶是以牡丹花为原料制成的花草茶，饮用历史可追溯至隋唐时期，是洛阳特色名优花茶．某茶叶店经营的牡丹花茶有全花茶与花瓣茶两种，据了解，一盒全花茶的价格是一盒花瓣茶的价格的2倍，用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒． （1）分别求出购进的全花茶、花瓣茶每盒的价格． （2）该茶叶店购进这两种花茶共100盒，且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的，求本次采购的最少花费． 21. 如图，为的直径，点是上方的上一点，，． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规在下方的上确定一点，使（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）中得到的图形中，连接，求的度数和的长． 22. 二次函数的图象的对称轴为直线，点在二次函数的图像上． （1）求二次函数的表达式． （2）若该二次函数图象上的点向左平移8个单位长度后，所得的点也在该二次函数的图象上，求点的坐标． （3）将该二次函数的图象平移，使其顶点始终在直线上，则平移后所得二次函数的图象与轴交点的纵坐标是否存在最大值或者最小值？若存在，请求出该值；若不存在，请说明理由． 23. 如果一个三角形的一边是另一边的2倍，那么称这个三角形为“和谐三角形”． （1）初步探索：如图1，和谐三角形中，，是的角平分线，是的中线．猜想与的位置关系，并说明理由． （2）尝试应用：在（1）的条件下，，，求的长度． （3）拓展延伸：如图2，和谐三角形中，，点在上，且，的平分线与的平分线交于点．点与点，，的距离分别为，，，写出，，之间的等量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州市2026年中招适应性测试 数学试题卷 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 在，0，，这四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数是． 故选：C． 2. 把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看．下列方法得到的平面图形是长方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的切截、展开图及三视图，掌握常见几何体的特征是解题关键． 【详解】．被平行于底面的平面截，截面是五边形，故该选项不符合题意； ．圆锥沿过顶点和底面直径的平面截，截面是等腰三角形，故该选项不符合题意； ．侧面展开图是圆柱的侧面展开图，是一个长方形，故该选项符合题意； ．圆台从正面看，得到的平面图形是等腰梯形，故该选项不符合题意； 3. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为 ，则这个数对应的原数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵对于科学记数法，当 时，将的小数点向左移动位即可得到原数， 本题中，，， ∴将的小数点向左移动位，得到原数为． 4. 如图是某种折叠椅子的图片及其左视图，已知与地面平行，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行内错角相等的性质即可求出，根据邻补角的性质求出． 【详解】解：根据题意得： ，， ， ． 5. 甲种糖果每千克元，乙种糖果每千克15元，将3千克甲种糖果和千克乙种糖果混合，得到的什锦糖果的单价应为每千克（） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵甲种糖果3千克，每千克元， ∴甲种糖果的总价为元 ∵乙种糖果千克，每千克元， ∴乙种糖果的总价为元 ∴混合后什锦糖果的总价格为元， 混合后什锦糖果的总质量为千克 ∴什锦糖果的单价为元每千克． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的值不能为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式的公式是解题的关键． 根据方程有实数根推出判别式非负，求出的取值范围，即可判断出符合题意的选项． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴根的判别式， 方程中，，，代入得， 整理得， 解得， ∵，，，， ∴的值不能为，故A符合题意． 7. 拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长，当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服．若此时拉杆伸长长度，拉杆与水平面夹角为，则拉杆把手处到地面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 8. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“零和点”．下列函数的图象中不存在“零和点”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】“零和点”在直线上，将代入各函数解析式，判断方程是否有实数解，无实数解即为不存在“零和点”. 【详解】解：A、对于，令，解得，方程有实根，存在“零和点”，不符合题意； B、对于，令，解得，方程有实根，存在“零和点”，不符合题意； C、 对于，令，整理得，，方程有实根，存在“零和点”，不符合题意； D、 对于，令，，两边同乘得，即，方程无实数解，不存在“零和点”，符合题意. 9. 定义：将边长相同的菱形与正方形的接近程度叫做菱形的“接近度”，记作，且，其中，为菱形的两个相邻内角的度数．下列说法不正确的是（ ） A. 内角等于130°的菱形的接近度 B. 接近度越大的菱形越接近于正方形 C. 当时，该菱形是正方形 D. 菱形的接近度的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题为新定义问题，结合菱形的邻角互补性质，逐一验证选项即可得到不正确的结论. 【详解】解：∵菱形对边平行，∴菱形相邻内角满足， 对选项A：若菱形一个内角为，则相邻内角为， ，A正确； 对选项B：由可知，越大，越小，相邻内角越接近，菱形越接近正方形，B正确； 对选项C：当时，，即，结合得，此时菱形是正方形，C正确； 对选项D：∵菱形的内角满足，， ，可得，的最大值为， 因此的取值范围是，不包含，D错误. 10. 如图，，为线段上两点，且，点为线段上的动点，并从点向点匀速运动，，分别是以，为斜边的等腰直角三角形，点为线段的中点，设点的运动时间为，点到的距离为，则与的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别延长交于点，则可证得四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质：对角线相互平分，可得为的中点，也是的中点，所以的运动轨迹是三角形的中位线，所以点到直线的距离为是一个定值， 问题得解． 【详解】解：如图， 分别延长交于点， ∵，分别是以，为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ，， ∴四边形为平行四边形， ∴与互相平分， ∴为的中点， ∵的中点为， ∴从点运动到点时，始终为的中点， ∴运动的轨迹是三角形的中位线， 又∵， ∴到直线的距离为一定值， ∴与点移动的时间之间函数关系的大致图象是一平行于轴的射线， 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则__________0．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】异号两数相加，符号取绝对值较大的数的符号，根据数轴比较两数的绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴． 12. 韩店唢呐、齐天圣鼓、豫西狮舞、超化吹歌是河南省省级非物质文化遗产项目．如图，四张卡片正面分别印有这四种非物质文化遗产项目，它们除正面外完全相同把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽到的两张卡片正面恰好是“齐天圣鼓”和“豫西狮舞”的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“齐天圣鼓”和“豫西狮舞”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把韩店唢呐、齐天圣鼓、豫西狮舞、超化吹歌四张卡片分别记为：A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“齐天圣鼓”和“豫西狮舞”的结果有2种， ∴两张卡片正面图案恰好是“齐天圣鼓”和“豫西狮舞”的概率为． 13. 已知一个函数具备以下特征： ①函数的图象经过第二象限； ②当时，随的增大而增大； ③函数的图象关于原点中心对称 请写出一个符合上述特征的函数的表达式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】分析题中三个特征，可知符合条件的函数可以是反比例函数，再根据性质确定比例系数的取值范围，即可写出符合要求的函数表达式． 【详解】解：由函数图象关于原点中心对称，结合增减性特征，可知符合条件的函数可以为反比例函数， 设反比例函数解析式为， 根据当时，随的增大而增大，由反比例函数的性质可得， 当时，反比例函数图象经过第二，四象限，满足函数图象经过第二象限的条件，且反比例函数图象关于原点中心对称，符合所有特征，取， 所以符合条件的函数表达式为（答案不唯一）． 14. 如图，平面直角坐标系中，某圆弧经过点，，，点在轴正半轴上，若直线与该圆弧相切，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由A、B、C三点坐标可先确定出圆弧所在圆的圆心F的坐标，设，则可表示出、和的长，由勾股定理可得到关于x的方程，可求得D点坐标． 【详解】解：设圆弧所在圆的圆心为F， 作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心，设， 由题意可知，，， ∵与圆相切， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 15. 如图，在矩形中，，，点为对角线上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在射线上，当的垂直平分线经过矩形一边的中点时，的长为_______． 【答案】 或或 【解析】 【分析】根据含角直角三角形的性质结合勾股定理可得，的长，根据旋转的性质得到， ， 分情况讨论： 当经过的中点时，当经过的中点时，当经过的中点时，当经过的中点时，根据线段垂直平分线的性质结合相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ，， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， 分情况讨论： 当经过的中点时，交于点，连接，， 如图所示， ， ， ， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ，即， ； 当经过的中点时，交于点，连接， 如图所示， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ； 当经过的中点时，交于点，连接，，过点作于，如图所示，则四边形是矩形， ，， 垂直平分， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ，解得， ； 点在上，在射线上， 的垂直平分线位于的右侧，与的延长线会存在交点，但不存在与线段相交的情况，故不会存在经过的中点的情况； 综上，的长为或或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算与化简 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算立方根，算术平方根和二次根式乘法，再合并计算结果，用到二次根式乘法法则． （2）利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项得到化简结果． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 某校数学活动小组研究七年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖的距离）与身高的关系，在本校七年级男生中随机抽取50人，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行整理、描述和分析，得到如下信息．信息1：50名七年级男生的身高、臂展的频数直方图，如图1、图2． 信息2：50名七年级男生的身高、臂展的统计量，如表1． 信息3：50名七年级男生的身高、臂展的散点图，如图3．图3中大部分点近似地在一条直线上，利用计算机和简单统计软件可以发现臂展（）与身高（）的函数关系大约满足． 统计量 身高 臂展 平均数 中位数 方差 表1 根据以上信息，回答下列问题： （1）根据信息1，从两幅频数直方图中分别可以获得这50名七年级男生身高、臂展的哪些信息？（各写出一条即可） （2）根据信息2，对比分析这50名七年级男生的身高、臂展具有怎样的特点． （3）经查询可知：普通健康成年人臂展（）与身高（）的函数关系大约满足，青少年通常具有“臂展略大于身高”的规律．你认为该校七年级男生臂展与身高的关系是否符合该规律？说说你的理由． 【答案】（1） 解：通过身高频数直方图可得：身高在至的人数最多； 通过臂展频数直方图可得：臂展在至的人数最多； （2） 综合来看，这 50 名七年级男生的臂展整体上略大于身高，且臂展数据的波动比身高更大； （3） 解：符合规律，理由如下： ∵，且， ∴， 即， ∴该校七年级男生臂展与身高的关系符合该规律． 【解析】 【分析】（1）根据频数直方图获取信息； （2）通过平均数、中位数以及方差进行对比分析； （3）根据函数关系进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴身高的平均数小于臂展的平均数； ∵， ∴身高的中位数小于臂展的中位数； ∵， ∴身高的方差小于臂展的方差， ∴身高的数据更稳定； 【小问3详解】 略 18. 中，，，均为的中线，与相交于点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，连接并延长，交于点．通过推理还能得到新的发现．请写出两条新发现，并证明其中的一条． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，均为的中线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）两条新发现：①垂直平分； ②，证明如下： 由上已证：， ∴，， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）先得出，，再证出即可得证； （2）两条新发现：①垂直平分；②；发现①的证明：得出，则，由此即可得证；发现②的证明：得出，结合即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：两条新发现：①垂直平分；②． 发现①垂直平分，证明如下： 由上已证：， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 发现②略 19. 在中，为的中点，请仅用一把无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． （1）如图1，在上找到一点，使点是的中点． （2）如图2，在上找到一点，使点是上靠近点的三等分点，并说明理由． 【答案】（1） 如图，点就是所求作的点． （2） 如图，点就是所求作的点； 【解析】 【分析】（1）连接和，交点为，连接并延长交即为，通过证明即可； （2）连接交于点，只需满足求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 连接和，交点为，连接并延长交于 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，即， ∴点是的中点． 【小问2详解】 解：如图， 连接交即为点， ∵， ∴， ∴， ∴，即点是的一个三等分点． 20. 牡丹花茶是以牡丹花为原料制成的花草茶，饮用历史可追溯至隋唐时期，是洛阳特色名优花茶．某茶叶店经营的牡丹花茶有全花茶与花瓣茶两种，据了解，一盒全花茶的价格是一盒花瓣茶的价格的2倍，用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒． （1）分别求出购进的全花茶、花瓣茶每盒的价格． （2）该茶叶店购进这两种花茶共100盒，且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的，求本次采购的最少花费． 【答案】（1）全花茶每盒100元，花瓣茶每盒50元 （2）本次采购的最少花费为6700元 【解析】 【分析】（1）设每盒花瓣茶的价格为x元，则每盒全花茶的价格为元，根据用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒列出分式方程求解即可. （2）设购进全花茶m盒，总采购花费为w元，则购进花瓣茶盒．先根据且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的求出m的取值范围，再列出w关于m的一次函数关系式，根据一次函数的图象和性质即可求出本次采购的最少花费． 【小问1详解】 解：设每盒花瓣茶的价格为x元，则每盒全花茶的价格为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 则， 答：每盒花瓣茶的价格为50元，则每盒全花茶的价格为100元． 【小问2详解】 解：设购进全花茶m盒，总采购花费为w元，则购进花瓣茶盒． 根据题意∶， 解得， 因为m为正整数，所以m的最小值为34， 总花费， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，最小值为， 答：本次采购的最少花费为6700元． 21. 如图，为的直径，点是上方的上一点，，． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规在下方的上确定一点，使（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）中得到的图形中，连接，求的度数和的长． 【答案】（1） 解：如图所示，点即为所求； （2）， 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，根据垂径定理即可得出； （2）连接，，过点作于点，根据圆周角定理可得，根据是直径，得出，勾股定理求得，进而证明，分别求得，根据等腰直角三角形的性质可得，进而求得的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，，过点作于点， 由（1）可知： ∴ ∵ ∴， ∵是直径， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴，即 解得： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 22. 二次函数的图象的对称轴为直线，点在二次函数的图像上． （1）求二次函数的表达式． （2）若该二次函数图象上的点向左平移8个单位长度后，所得的点也在该二次函数的图象上，求点的坐标． （3）将该二次函数的图象平移，使其顶点始终在直线上，则平移后所得二次函数的图象与轴交点的纵坐标是否存在最大值或者最小值？若存在，请求出该值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在最小值，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用二次函数对称轴公式和点A的坐标，列出关于a，b的方程组，求解得到二次函数表达式． （2）设点P的坐标为，则点，根据点P和都在二次函数的图象上，则列出关于m，n的方程组求解即可得出点P的坐标． （3）则平移后二次函数表达式为，令，则，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知， 解得， 则二次函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：设点P的坐标为， 则点， ∵点P和都在二次函数的图象上， ∴， 解得， ∴． 【小问3详解】 解：∵，平移后的二次函数顶点始终在直线上， ∴设平移后的顶点坐标为， 则平移后二次函数表达式为， 令，则， ∵， ∴抛物线开口向上，有最小值， ∴当时，． 23. 如果一个三角形的一边是另一边的2倍，那么称这个三角形为“和谐三角形”． （1）初步探索：如图1，和谐三角形中，，是的角平分线，是的中线．猜想与的位置关系，并说明理由． （2）尝试应用：在（1）的条件下，，，求的长度． （3）拓展延伸：如图2，和谐三角形中，，点在上，且，的平分线与的平分线交于点．点与点，，的距离分别为，，，写出，，之间的等量关系，并证明． 【答案】（1） 解：，理由如下： 为“和谐三角形”，是的中线， ，， ， 为等腰三角形 是的角平分线，即平分， ，即 （2） （3） ； 证明：， ∴ ， ∴是“和谐三角形” 如图，延长交于点， 的平分线与的平分线交于点， 又，，， ， ， 延长至点，使，连接 在中 ， 在中，根据勾股定理可得 ∴，即 【解析】 【分析】（1）先证明为等腰三角形，再根据三线合一的性质，即可求解； （2）勾股定理求得，过点作，交于点，证明，，根据相似三角形的性质可得，进而求得，即可求解； （3）证明得出，，即可证明是“和谐三角形”； 延长交于点，得到 ， ， ，延长至点，使，连接，证明得出，，根据勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 为和谐三角形，是的中线， ， 为等腰三角形 平分， 在中， 如图，过点作，交于点 ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $