精品解析：广东河源市2026年初中学业水平模拟考试试题 数学

河源市2026年初中学业水平模拟考试试题 数学 本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号、将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的定义．根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐一分析各选项即可. 【详解】解：根据轴对称图形的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形， 中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能和原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形，逐一判断各选项即可， 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意； 选项是中心对称图形，也是轴对称图形，选项符合题意； 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，选项不符合题意； 选项不是轴对称图形，是中心对称图形，选项不符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据积的乘方法则，完全平方公式，合并同类项法则，逐一判断选项即可. 【详解】解：选项A，， A错误； 选项B，， B错误； 选项C，和不是同类项，不能合并， C错误； 选项D，， D正确. 4. 不等式x+3＞0的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式的解法移项即可求解． 【详解】解：x+3＞0 移项得 ． 故选：B 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，考查了计算能力，属基础题． 5. 小亮在处理一组数据“，，，，”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数、众数、中位数、方差的概念，各统计量的定义，判断哪个统计量不随未知数据的变化改变即可． 【详解】解：设被污染的数据为，由题意得，这组数据共个数，将数据从小到大排列后，中位数是排列后的第个数， ∵，无论在之间取何值，从小到大排序后，前两个数恒为，，第三个数恒为， ∴中位数始终为，不发生变化；平均数和方差会随的变化改变， 若，众数变为和，众数也会改变， 因此无论在范围内取何值，都不影响这组数据的中位数． 6. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理，进行解答即可． 【详解】解：， ． 在中，． 7. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵平行四边形的对角线与相交于点O， ∴，，， 但无法证明． 8. 如图，是的内接三角形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理求出的度数，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴. 9. 如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．已知矩形的宽为x米，当矩形面积S最大时，则矩形的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式构建S关于x的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，S最大， 此时． 10. 将一组数按如下方式进行排列：则第九行左起第3个数是（ ） 第一行 第二行 2 第三行 …… A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先整理得到原数列的统一规律，再根据排列规则确定所求数是原数列的第几项，代入规律计算即可． 【详解】解：将原数列统一改写为二次根式形式，可得原数列第个数为，为正整数， 观察排列规律可得：第行有个数， ∵前8行的数的总个数为 ， ∴第九行左起第3个数是原数列的第个数， 将代入规律得：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】将原式利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：． 12. 如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是________． 【答案】 5 【解析】 【分析】作，垂足为，然后根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：如图，作，垂足为， ∵平分，点在上，， ∴， ∴点到射线的距离是． 13. 如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“中”的对面的字是________． 【答案】 们 【解析】 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的特征可知，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形， 所以“中”与“们”是对面． 14. 河源国家5A级旅游景区万绿湖，拥有丰富的旅游资源，核心景点包括水月湾、龙凤岛、镜花缘等．小明和小花两人相约来到河源旅游，两人分别从水月湾、龙凤岛、镜花缘三个景点中随机选择一个景点游览，小明和小花两人同时选择水月湾的概率为____． 【答案】 【解析】 【分析】先列出所有等可能的结果，确定两人同时选择水月湾的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：用A、B、C分别表示水月湾、龙凤岛、镜花缘三个景点， 画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能结果，其中小明和小花两人同时选择A景点的有1种结果， 小明和小花两人同时选择水月湾的概率为． 15. 如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为________． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 过点作，， 则：， ∵，且， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解：， ∴， ∴， ∴四边形的面积为60． 故答案为：60． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 【答案】 0 【解析】 【详解】解：原式 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，已知点，点的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）如果点坐标为，求的面积； （3）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键． （1）将点A代入反比例函数中，可求出a的值，然后把代入，即可求出B点坐标，然后根据A点和B点，即可求出一次函数的解析式； （2）设直线与轴交点为，先求出C点坐标，再根据计算求解即可； （3）由图象知，一次函数图象不高于反比例函数的图象部分所对应的自变量的范围即为所求． 【小问1详解】 解：将代入得，解得， ∴反比例函数的解析式为． 将代入得， ∴点坐标为， 将，代入得，， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图，设直线与轴交点为， 将代入得， ∴直线与轴交点的坐标为， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由图象可得或时，． 18. 为充分利用网络资源，某校计划为学生提供多种在线学习方式，为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，形成调查报告如下： 调查目的 1. 了解学生最感兴趣的在线学习方式； 2. 帮助学校更好地了解学生需求，提高学习热情。 调查方式 调查对象 部分学生 调查内容 你对哪类在线学习方式最感兴趣？ A. 在线阅读 B. 在线听课 C. 在线答疑 D. 在线讨论 E. 其他类型 调查结果 学生最感兴趣在线学习方式条形统计图 学生最感兴趣在线学习方式扇形统计图 建议 … 请结合以上信息回答下列问题： （1）本次调查方式属于_________调查（填“普查”或“抽样”）； （2）求本次被调查的总人数，并补全条形统计图； （3）若该校共有名学生，请你估计该校喜欢在线答疑的有多少名学生？ （4）请你根据调查报告给学校线上学习课的设置提出一条合理的建议． 【答案】（1）抽样 （2）人， 补全条形图如下： （3）名 （4）该校应该设置在线阅读课程 【解析】 【分析】（1）根据调查对象为“部分学生”，判断调查方式为抽样调查； （2）用已知的类人数和占比求出总人数，再依次算出、类人数，补全条形统计图； （3）用样本中选择在线答疑的学生人数占比，乘以全校总人数，估计出该校喜欢在线答疑的学生人数； （4）根据调查数据中最受欢迎的学习方式，提出合理的课程设置建议． 【小问1详解】 解：根据题意可知，调查方式为抽样调查． 【小问2详解】 解：根据题图可知，对类学习方式感兴趣的人数为，占比， 故被调查的总人数为（人）， 对类学习方式感兴趣的人数为（人）， 则对类学习方式感兴趣的人数为（人）． 【小问3详解】 解：根据题图可知，选择在线答疑的学生人数为， 故该校喜欢在线答疑的学生人数为（名）． 【小问4详解】 解：根据调查数据可知，在所有在线学习方式中，学生对在线阅读最感兴趣，故该校应该设置在线阅读课程． 19. 如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程． 例：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等、乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度． 可可： 琪琪： 根据以上信息，解答下列问题． （1）可可同学所列方程中的x表示________； 琪琪同学所列方程中的y表示________； （2）在可可和琪琪所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系：________； （3）利用（2）中你所选择的方程，解答该例题． 【答案】（1）甲队每天修路的长度；甲队修路700米所用时间 （2）选择可可的方程：甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等；选择琪琪的方程：乙队每天比甲队多修30米； （3） 解：①选择可可的方程， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 经检验，是原方程的解． 答：甲队每天修路70米． ②选择琪琪的方程， 去分母得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 经检验，是原方程的解， ． 答：甲队每天修路70米． 【解析】 【分析】（1）根据所列方程，结合题意即可解答； （2）根据所列方程，结合题意即可解答； （3）解分式方程即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，可可同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度；琪琪同学所列方程中的y表示甲队修路700米所用时间． 【小问2详解】 解：选择可可的方程：甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等； 选择琪琪的方程：乙队每天比甲队多修30米； 【小问3详解】 略 20. 数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为．若斜坡的坡比，，且点B，C，E在同一水平线上．． （1）求点D到水平线的距离； （2）求砖塔的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）点D到水平线的距离为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，坡度坡角问题，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，则，根据斜坡的坡比，，结合勾股定理求出的长即可得解； （2）作于，则四边形为矩形，设 ，则 ，则，，根据，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图1，作于，则， 斜坡的坡比， ， 设 ，则 ， 由题意得：，， ， 解得：， ， 点到水平线的距离为； 【小问2详解】 解：如图2，作于， 则， 四边形为矩形， ，， 设，则， ，， ， ， 解得：， ， 砖塔的高度为． 21. 已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 【答案】问题解决：（1）证明：由操作过程可知，． 设，则， ， 由折叠的性质，得， ， ， 矩形是黄金矩形． （2）作图如图． 拓展延伸： 解：矩形也是黄金矩形． 证明：由问题解决（1）可得，， ， ， 矩形也是黄金矩形． 【解析】 【分析】本题考查几何变换综合题，黄金矩形的定义，正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，翻折变换，二次根式的运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由操作过程可知，．设，则，表示，结合，计算，可得矩形是黄金矩形． （2）在线段的延长线上截取，过作的垂线交于，结合（1）的结论可得矩形是黄金矩形． （3）根据问题解决（1）可得，，求解，再进一步求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 拓展延伸 ：略 22. 如图①，在圆内接四边形中，点E是四边形中对角线上的一点，且满足，分别延长，交于点M，N，连接． （1）求证：是的直径． （2）如图②，若．求的长． （3）在内是否存在其他点G，使？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图1，连接，，， 则有，． ∵， ∴， ∴三点在同一直线上， ∴ 是的直径 ； （2）5 （3） 解：存在其他点G，使， 证明： 如图3，在下方任作直径，连接，，，与相交于 G，则有，． ∵ ∴． 【解析】 【分析】（1）结合已知条件，利用直径所对的圆心角为即可证明； （2）由题意可知是等边三角形，而是已知的，因此将绕点C逆时针旋转得，连接，则使建立联系，进而求解； （3）参照第（1）问的解题思路，点G需要满足这两个角所对的圆心角和为，因此从构造直径入手即可解决． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，将绕点C逆时针旋转得，连接，则是等边三角形． 所以，． ∵， ∴即 ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∴ ， ∴． 在中，，，由勾股定理，得 ． ∴； 【小问3详解】 略 23. 在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（m是常数，且），则称点A，B是“m一共倾移动点对”． （1）已知点A，B在反比例函数图像上，其中点A的坐标为，若点A，B是“1一共倾移动点对”，则点B的坐标是_________． （2）若机器人从直线与曲线的交点A移动到交点B，若A和B是“1一共倾移动点对”．且 ①求m的取值范围； ②若，求m的值． （3）已知智能图形绘制器绘制的抛物线过点，点是抛物线对称轴上一点，且，点C为平面内一点，点B为抛物线上的动点．若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相对的两个顶点是“一共倾移动点对”？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）设，根据点A，B是“1一共倾移动点对”得，解方程即可求解； （2）①先根据新定义得到，然后联立两解析式得到，利用根的判别式和求出m的取值范围即可 ②根据列方程求出m的值即可； （3）先根据对称轴求出，即可得到抛物线的解析式为，然后分为点B在点A的上方或点B在点A的下方两种情况，分别根据全等三角形的判定和性质求出点B的坐标，然后根据中点坐标公式得到点C的坐标，再根据新定义求出t的值，进而得到点B的坐标，代入解析式即可解题． 【小问1详解】 解：设， ∵点A，B是“1一共倾移动点对”， ∴， ∴， ，（舍去）， ∴； 【小问2详解】 解：①把，代入得，， ∴， 又∵点和是“一共倾移动点对”， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； ②∵， ∴， ∴，符合m的取值范围； 【小问3详解】 解：∵抛物线过点， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴抛物线的解析式为， 如图，当点B在点A的上方时，过点D作轴于点H，过点B作轴于点E， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， 由正方形的对角线互相平分，根据中点坐标可得：，， 解得：，， ∴点C的坐标为， 当A，D两个顶点是“一共倾移动点对”， 则，解得， 当D，C两个顶点是“一共倾移动点对”， 则， 解得，不符合题意舍去； 当B，C两个顶点是“一共倾移动点对”， 则， 解得， 当B，A两个顶点是“一共倾移动点对”， 则， 解得，不符合题意舍去； 当时，点B的坐标为， 代入抛物线解析式得， 解得； 当点B在点A的下方时，过点D作轴于点H，过点B作轴于点E， 同理可证， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， 由正方形的对角线互相平分，根据中点坐标可得：，， 解得：，， ∴点C的坐标为， 当A，D两个顶点是“一共倾移动点对”， 则，解得， 当D，C两个顶点是“一共倾移动点对”， 则， 解得，不符合题意舍去； 当B，C两个顶点是“一共倾移动点对”， 则， 解得， 当B，A两个顶点是“一共倾移动点对”， 则， 解得，不符合题意舍去； ∴当时，点B的坐标为， 代入抛物线解析式得， 解得； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河源市2026年初中学业水平模拟考试试题 数学 本试卷共4页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号、将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式x+3＞0的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 小亮在处理一组数据“，，，，”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在之间，则“”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 6. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形的对角线与相交于点O，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的内接三角形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小明的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形鸭舍，并在垂直于墙的某一边中间留一个宽为的门（由其他材料制成）．已知矩形的宽为x米，当矩形面积S最大时，则矩形的长为（ ） A. B. C. D. 10. 将一组数按如下方式进行排列：则第九行左起第3个数是（ ） 第一行 第二行 2 第三行 …… A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 因式分解：_______． 12. 如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是________． 13. 如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“中”的对面的字是________． 14. 河源国家5A级旅游景区万绿湖，拥有丰富的旅游资源，核心景点包括水月湾、龙凤岛、镜花缘等．小明和小花两人相约来到河源旅游，两人分别从水月湾、龙凤岛、镜花缘三个景点中随机选择一个景点游览，小明和小花两人同时选择水月湾的概率为____． 15. 如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，已知点，点的横坐标为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）如果点坐标为，求的面积； （3）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 18. 为充分利用网络资源，某校计划为学生提供多种在线学习方式，为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，形成调查报告如下： 调查目的 1. 了解学生最感兴趣的在线学习方式； 2. 帮助学校更好地了解学生需求，提高学习热情。 调查方式 调查对象 部分学生 调查内容 你对哪类在线学习方式最感兴趣？ A. 在线阅读 B. 在线听课 C. 在线答疑 D. 在线讨论 E. 其他类型 调查结果 学生最感兴趣在线学习方式条形统计图 学生最感兴趣在线学习方式扇形统计图 建议 … 请结合以上信息回答下列问题： （1）本次调查方式属于_________调查（填“普查”或“抽样”）； （2）求本次被调查的总人数，并补全条形统计图； （3）若该校共有名学生，请你估计该校喜欢在线答疑的有多少名学生？ （4）请你根据调查报告给学校线上学习课的设置提出一条合理的建议． 19. 如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程． 例：有甲、乙两个工程队，甲队修路700米与乙队修路1000米所用时间相等、乙队每天比甲队多修30米，求甲队每天修路的长度． 可可： 琪琪： 根据以上信息，解答下列问题． （1）可可同学所列方程中的x表示________； 琪琪同学所列方程中的y表示________； （2）在可可和琪琪所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系：________； （3）利用（2）中你所选择的方程，解答该例题． 20. 数学兴趣小组在学习解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识进行综合实践活动．他们选择测量一座砖塔的高度，在点C处测得砖塔顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的D点，在点D处测得砖塔顶端A的仰角为．若斜坡的坡比，，且点B，C，E在同一水平线上．． （1）求点D到水平线的距离； （2）求砖塔的高度（结果保留根号）． 21. 已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 22. 如图①，在圆内接四边形中，点E是四边形中对角线上的一点，且满足，分别延长，交于点M，N，连接． （1）求证：是的直径． （2）如图②，若．求的长． （3）在内是否存在其他点G，使？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 23. 在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（m是常数，且），则称点A，B是“m一共倾移动点对”． （1）已知点A，B在反比例函数图像上，其中点A的坐标为，若点A，B是“1一共倾移动点对”，则点B的坐标是_________． （2）若机器人从直线与曲线的交点A移动到交点B，若A和B是“1一共倾移动点对”．且 ①求m的取值范围； ②若，求m的值． （3）已知智能图形绘制器绘制的抛物线过点，点是抛物线对称轴上一点，且，点C为平面内一点，点B为抛物线上的动点．若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相对的两个顶点是“一共倾移动点对”？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $