2026年内蒙古自治区初中学业水平考试数学模拟试卷（二）

2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数 学 模 拟 试 卷（二） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列实数中是无理数的是(    ) A. B. C. D. 2.芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为米，将数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.下列各命题是真命题的是(    ) A. 如果两个角互补，那么它们是邻补角 B. 经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 4.如图，在矩形中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，若，，则矩形的周长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，若，，，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 6.在平面直角坐标系中，点，均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是(    ) A. B. C. D. 7.如图，已知与互补，平分，，那么(    ) A. B. C. D. 8.已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个黄球、个绿球，这些球除颜色外无其他差别从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率为        ． 10.如图，为的直径，，，则的度数为      ． 11.如图是某种云梯车，如图是其示意图，当云梯升起时，与底盘的夹角为，液压杆与底盘的夹角为已知液压杆，某一工作时刻，，此时的长为        精确到小数点后一位，参考数据：，，，，， 12.如图，在矩形中，，，连接点为上的一点，连接，且平分，连接交于点，则的长为      ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算和化简： ． ． 14.本小题分我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于分的评为优秀． 根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题： 本次抽测了______名九年级学生， ______； 若该地区有万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？ 在本次抽测的优秀学生中抽取名学生，其中有名男生若从所抽取的名学生中随机选取名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率． 15.本小题分 为了庆祝中共二十大胜利召开，雅礼某初中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有道题，满分分，每一题答对得分，答错扣分，不答得分． 若某参赛同学有道题没有作答，最后他的总得分为分，则该参赛同学一共答对了多少道题？ 若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于分才可以被评为“二十大知识小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“二十大知识小达人”？ 16.本小题分 如图，是的直径，半径垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，过点作的切线，切点为，交的延长线于点． 求的长； 求的度数； 求的值． 17.本小题分 某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点，为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为． 求雕塑高． 求落水点，之间的距离． 若需要在上的点处竖立雕塑，，，问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 18.本小题3分 四边形是边长为的正方形，是的中点，连结，点是射线上一动点不与点重合，连结，交于点． 如图，当点是边的中点时，求证：≌； 如图，当点与点重合时，求的长； 在点运动的过程中，当线段为何值时，？请说明理由． 2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数学模拟试卷（二）答案和解析 1.【答案】  【解析】解：不是无理数，不符合题意； B.不是无理数，不符合题意； C.是无理数，符合题意； D.不是无理数，不符合题意； 故选：． 根据无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 本题考查无理数，掌握无理数的定义是解答本题的关键． 2.【答案】  【解析】解：． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3.【答案】  【解析】解：如果两个角互补，它们不一定是邻补角，故此选项不合题意； B.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项不合题意； C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，故此选项符合题意； D.直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离，故此选项不合题意． 故选：． 直接利用邻补角的定义以及点到直线的距离、平行线的性质、垂线等性质分别判断得出答案． 此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关性质与定理是解题关键． 4.【答案】  【解析】解：四边形是矩形， ，， ， 根据作图过程可知： 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ≌， ， 连接， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得 ， 矩形的周长为． 故选：． 根据作图过程可得，是的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明≌，可得，再根据勾股定理可得的长，进而可得矩形的周长． 本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 5.【答案】  【解析】解：与是以点为位似中心的位似图形，，， 与相似比为：， ， 点的坐标为． 故选：． 由题意得与相似比为：，再结合位似的性质可得答案． 本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． 6.【答案】  【解析】解：点，均在直线上，且， 随的增大而增大， ， 直线经过第一、三象限， 该直线经过的点的坐标还可以是． 故选：． 由点，的坐标及，可得出随的增大而增大，进而可得出，利用一次函数的性质，可得出直线经过第一、三象限，再对照四个选项中点的坐标，即可确定结论． 本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：与互补， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 故选：． 根据题意，由条件得到，从而得到，结合角平分线得到，即可得到的度数． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：由可知：反比例函数图象分布在一、三象限，在每一个象限随的增大而减小， ，， ． 故选：． 根据反比例函数性质，反比例函数图象分布在一、三象限，在每一个象限随的增大而减小，进行判断即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 9.【答案】  【解析】解：袋子中绿球的个数为，  球的总数为，  根据概率计算方法用绿球的个数除以总球的个数可知：  抽到绿球的概率为，  故答案为：． 用绿球的个数除以总球的个数即可得出答案． 本题考查了概率公式．熟练掌握该知识点是关键． 10.【答案】  【解析】解：连接，如图， ， ， 为的直径， ， ． 故答案为：． 连接，如图，先利用圆周角定理得到，，然后利用互余计算出的度数． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 11.【答案】  【解析】解：过点作于点，如图， 在中， ， ， ， 在中， ，， ， ． 此时的长为． 故答案为：． 过点作于点，如图，在中利用正弦的定义求出的长，再在中利用余弦的定义求出，在中利用正切的定义求出，然后计算即可． 本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：在矩形中，，， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 先根据矩形中，，，得出，再解直角三角形得出，再利用相似求出即可． 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质和解直角三角形，掌握其性质是解题的关键． 13.【答案】   【解析】解：， 原式 ． 先利用平方差公式，完全平方公式进行因式分解， ，， 原式 ． 利用学到的绝对值化简，二次根式运算，负指数幂运算，特殊角的三角函数求解； 进行因式分解，再约分． 本题考查了实数的运算与分式的化简，利用绝对值的化简，负整数指数幂的求解公式进行运算，记住特殊角的三角函数值． 14.【答案】；．   约有人．  ．  【解析】解：本次抽测了名九年级学生． ， ． 故答案为：；． 人． 体育成绩优秀学生的约有人． 抽取名学生中有名男生， 女生人数为人．   列表如下： 男 男 男 女 女 男 男，男 男，男 男，女 男，女 男 男，男 男，男 男，女 男，女 男 男，男 男，男 男，女  男，女 女 女，男 女，男 女，男  女，女 女 女，男 女，男  女，男  女，女 共有种等可能的结果，其中恰好抽取一男一女的结果有种， 恰好抽取一男一女的概率为． 由扇形统计图可得的百分比，用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次抽测的学生人数；用乘以本次抽测中的人数所占的百分比，即可得答案． 根据用样本估计总体，用乘以的人数所占的百分比，即可得出答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽取一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． 15.【答案】解：设该参赛同学一共答对了道题，则答错了道题， 依题意得：， 解得：． 答：该参赛同学一共答对了道题． 设参赛者需答对道题才能被评为“二十大知识小达人”，则答错了道题， 依题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为． 答：参赛者至少需答对道题才能被评为“二十大知识小达人”．  【解析】设该参赛同学一共答对了道题，则答错了道题，根据该同学的总得分为分，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 设参赛者需答对道题才能被评为“二十大知识小达人”，则答错了道题，根据参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于分才可以被评为“二十大知识小达人”，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 16.【答案】；     ；    ．  【解析】解：连接，  ，，  是等边三角形，  ，  ，  的长；  ，  ，  ，  ，  ；  连接，  切圆于，  半径，  ，  ，  ，  ，  ，    ． 连接，判定是等边三角形，得到，由弧长公式即可求出的长；  求出，由等腰三角形的性质得到；  连接，由切线的性质得到半径，由余角的性质推出，由，求出，得到因此． 本题考查切线的性质，解直角三角形，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，关键是掌握弧长公式，锐角的余弦定义，由锐角的正切定义求出的长． 17.【答案】解：当时，， 点的坐标为， 雕塑高 当时，， 解得：舍去，， 点的坐标为， ． 从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ， ． 当时，， 点在抛物线上． 又， 顶部不会碰到水柱．  【解析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标；利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标；利用二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线上横坐标为的点的坐标． 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，进而可得出雕塑高的值； 利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，进而可得出的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出的长，结合即可求出落水点，之间的距离 代入求出值，进而可得出点在抛物线上，将与比较后即可得出顶部不会碰到水柱． 18.【答案】证明：四边形是正方形， ，， 点，分别是、的中点， ，， ， ≌； 在正方形中，，，， ， ， ∽， ，即， ； 当时，， 理由如下： 如图所示，设交于点， 若使，则有， ， ， 又， ， ， 在中，，即，  解得， ， ， ∽， ，即， ， 故当时，．  【解析】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点． 由正方形性质知，，结合点，分别是、的中点可得，利用“”即可证明全等； 先求出，根据证∽，得，即，解之即可得出答案； 当时，设交于点，先证得，再根据，可求得，，证∽得，据此求解可得． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $