2026年内蒙古自治区初中学业水平考试数学模拟试卷（一）

2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数 学 模 拟 试 卷 （一） 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，检测个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是(    ) A. B. C. D. 2.国家宝藏节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，所示四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧两弧相交于，两点，作直线交于点，连接若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.已知，，三点在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是(    ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 5.在一个不透明的袋子中装有个除颜色外，形状、大小完全相同的球，其中有个红球、个蓝球、个白球，从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在水平桌面上的两个“”均垂直于桌面，，，在一条直线上若，，号“”的测试距离，则号“”的测试距离为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点若的面积为，则的面积是(    ) A. B. C. D. 8.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是(    ) A. 抛物线的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.某树苗原始高度为，如图是该树苗的高度与生长月数的有关数据示意图，假设一段时间内该树苗高度的变化与月数保持此关系，用式子表示生长个月时，它的高度单位：应为        ． 10.如图，图是生活中常见的人字梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”图是其工作时的示意图，拉杆，，当米时，两梯杆跨度、之间的距离为        米 11.智慧农业广泛应用智能机器人某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘个苹果，若该机器人搭载个机械手，则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为      个 12.如图，在矩形中，，，连接点为上的一点，连接，且平分，连接交于点，则的长为      ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 化简：． 14.本小题分中华文化源远流长，文学方面，西游记、三国演义、水浒传、红楼梦是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： 本次调查所得数据的总人数是______人，中位数是______部； 扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为______度；并补全条形图； 从没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率并针对此次调查结果给学校提一条合理化建议． 15.本小题分 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某农村合作社销售我区西部山区出产的甲、乙两种西红柿已知箱甲种西红柿和箱乙种西红柿的售价之和为元；箱甲种西红柿和箱乙种西红柿的售价之和为元． 求甲、乙两种西红柿每箱的售价． 某公司计划从该合作社购买甲、乙两种西红柿共箱，且乙种西红柿的箱数不超过甲种西红柿的箱数求该公司最少需花费多少元？ 16.本小题分 如图，在中，，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且． 求证：直线是的切线． 若，，求点到的距离． 在第的条件下，求的周长． 17.本小题分 如图是一个直角三角形斜坡截面，，米，米，坡面上有一棵小树小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，，现在斜坡点处安装一个喷水管高度忽略不计，喷水管喷出的水流呈抛物线形状，建立如图所示的平面直角坐标系，喷水管喷出水流的水平距离米与水流的高度米的变化规律如表：    求该抛物线解析式，并写出其顶点坐标；  若喷水管喷出水流恰好经过树顶点  求小树的最大高度；  若点到，两点距离相等，求点坐标． 18.本小题分 综合与探究 问题情境：在中，，点是边上一点不与端点重合，连接将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． 猜想求解：如图，若，，求的度数； 拓展延伸： 如图，，，过点作，交的延长线于，连接，求证：； 如图，点是的中点，点是的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系并证明． 2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数学模拟试卷（一）答案和解析 1.【答案】  【解析】解：因为，，，，而， 所以最接近标准的是选项C． 故选：． 先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近． 本题考查了正、负数和绝对值．理解绝对值表示的意义是解决本题的关键．要注意从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数． 2.【答案】  【解析】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项B、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，  故选：． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 3.【答案】  【解析】解：由作图过程可知：是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 故选：． 由作图过程可得是的垂直平分线，得到，则，，进而推出，由三角形内角和定理得，即可求解． 本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，能由作图过程判断出是的垂直平分线是解决问题的关键． 4.【答案】  【解析】解：反比例函数常量， 反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内随的增大而增大， A、当时，三点都在第二象限，则，原说法错误，不符合题意； B、当时，，在第二象限，在第四象限，，原说法正确，符合题意； C、当时，在第二象限，，在第四象限，原说法错误，不符合题意； D、当时，，，三点都在第四象限，，原说法错误，不符合题意； 故选：． 根据反比例函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 5.【答案】  【解析】解：一个不透明的袋子中装有个除颜色外，形状、大小完全相同的球，其中有个红球、个蓝球、个白球， 从袋子中随机摸出一个球，摸出红球的概率是， 故选：． 直接由概率公式求解即可． 本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：，且，，，  ，  ，  号“”的测试距离为；  故选：． 根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算即可． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键． 7.【答案】  【解析】解：过点作于点， 由作图过程可知，平分， ． ， ≌， ． ，， ， 平分， ， ， ， 即为等腰三角形， ， 的面积为． 故选：． 过点作于点，由作图过程可知，平分，可得，证明≌，可得由题意可得，则，即为等腰三角形，则，进而可得答案． 本题考查作图基本作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8.【答案】  【解析】解：由题意可得， 方程的两根异号， ， 解得， 二次项系数，开口向上，故A不符合题意； 的对称轴为直线， 当时，随增大而增大，故B不符合题意； 当时，， 最小值为，故C不符合题意； 当时，， ， 此时，故D符合题意； 故选：． 由二次函数图象与轴有两个交点且位于轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可． 本题考查的是抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，掌握其性质是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：根据题意可得，树苗每个月增长的高度是， 用式子表示生长个月时，它的高度单位：应为：． 故答案为：． 由题意可得树苗每个月增长的高度是，进而得出答案． 本题考查了函数的图象，得出树苗每个月增长的高度是解答本题的关键． 10.【答案】  【解析】解：， ，， ∽， ， ，米，， ， ， 解得：， 两梯杆跨度、之间的距离为米， 故答案为：． 证明∽，则，再将数据代入计算即可． 本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：由题意可得， 该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为个， 故答案为：． 根据每个机械手每分钟采摘个苹果，可以得到个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和． 本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 12.【答案】  【解析】解：在矩形中，，， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 先根据矩形中，，，得出，再解直角三角形得出，再利用相似求出即可． 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质和解直角三角形，掌握其性质是解题的关键． 13.【答案】；  ．  【解析】原式 ； 原式 ． 利用零指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质，负整数指数幂计算后再算加减即可； 将除法化为乘法，然后约分即可． 本题考查分式的乘除法，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 14.【答案】  ； ，建议学校多通过活动鼓励学生阅读名著  【解析】解：本次调查所得数据的总人数是人，读完部的人数是人， ，， 中位数是部． 故答案为：； “部”所在扇形的圆心角为， 补全条形图为 故答案为：； 将西游记、三国演义、水浒传、红楼梦分别记作，，，， 画树状图可得： 由图可知，共有种等可能的结果，其中符合条件的有种结果， 所以他们恰好选中同一名著的概率为． 根据调查可发现超过一半的学生阅读名著不超过部，学校应通过活动鼓励学生阅读名著． 将读完部的人数除以其百分比，即可求出总人数．求出读完部的人数，根据中位数的定义求解即可； 将乘以读完部的人数比例，即可求得对应扇形的圆心角度数，根据读完部的人数即可补全条形图； 运用列表法或画树状图的方法得到所有等可能结果，和其中选中同一名著的结果，根据概率公式计算即可；根据调查结果提出建议即可． 本题主要考查了扇形统计图以及条形统计图的运用，解答本题的关键要明确：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 15.【答案】每箱甲种西红柿的售价为元，每箱乙种西红柿的售价为元该公司最少需花费元  【解析】解：设每箱甲种西红柿的售价为元，每箱乙种西红柿的售价为元，  根据题意得：，  解得：  答：每箱甲种西红柿的售价为元，每箱乙种西红柿的售价为元；  设购买箱甲种西红柿，则购买箱乙种西红柿，  根据题意得：，  解得：，  设该公司需花费元，则，  即，  ，  随的增大而增大，  当时，取得最小值，最小值为元  答：该公司最少需花费元． 设每箱甲种西红柿的售价为元，每箱乙种西红柿的售价为元，根据“箱甲种西红柿和箱乙种西红柿的售价之和为元；箱甲种西红柿和箱乙种西红柿的售价之和为元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；  设购买箱甲种西红柿，则购买箱乙种西红柿，根据购买乙种西红柿的箱数不超过甲种西红柿的箱数，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设该公司需花费元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 16.【答案】解：且，在中， ， ， 又点在直径上， 直线是的切线． 如右图，作于点， ，， ， 解得：， 由勾股定理得：， 点到的距离为． 如右图，连接， 为直径， ， 中，， 又， ． ， ， ． 在中，， ， 的周长为．  【解析】根据且，在中，得到，从而得到，证得直线是的切线． 作于点，得到，从而利用，求得，再根据勾股定理求得点到的距离为． 先求出的长度，然后利用的比例线段关系求得的长度，再由勾股定理求出的长度，从而求得的周长． 本题考查了切线的判定与性质等知识，考查的知识点比较多，难度较大． 17.【答案】，；    的最大值为；点坐标为．  【解析】解：由题意可得：设，  将点代入得：，  解得，  ；  设直线解析式为  将，代入得，，  解得  即解析式为  设，则，    故当时，的最大值为  过作于点，设，则，    由得：为中点，即，  ，  ，  即，  将点坐标代入抛物线解析式得：，  整理方程得：，  解得舍去，，  故点坐标为． 由表格信息可知抛物线顶点为设抛物线解析式为，将点代入即可求解；  设直线解析式为，将，代入可求得即解析式为设，则，根据，即可求解；  过作于点，设，则，由可推出，得到，将点坐标代入抛物线解析式即可求解； 本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求函数解析式、一元二次方程等知识点，熟记相关结论即可． 18.【答案】；     如图，连接，      ，，   ，   由旋转知，，   ，   即，   ，   ≌，   ，，   ，   ，      ，   ，   ，   ≌，   ，；    ，理由如下：   连接，      点是的中点，，   ，   ，   ，   ，即   点是的中点，，   ，   ，   是等腰直角三角形，   ，   即，     【解析】解：，，  是等边三角形，  ，  由旋转得，  ，  ；  证明：如图，连接，    ，，  ，  由旋转知，，  ，  即，  ，  ≌，  ，，  ，  ，    ，  ，  ，  ≌，  ，；  解：，理由如下：  连接，    点是的中点，，  ，  ，  ，  ，即  点是的中点，，  ，  ，  是等腰直角三角形，  ，  即，  ． 先说明是等边三角形，可得，再根据旋转的性质求出，然后根据得出答案；  连接，由题意得，，再说明，根据“边角边”说明≌，可得，进而得出，然后证明，接下来根据“边角边”证明≌，即可得出答案；  连接，根据直角三角形的性质得，再说明，然后根据直角三角形的性质得，即可得出是等腰直角三角形，最后根据勾股定理得出答案． 本题主要考查了，掌握其相关知识点是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $