2026年陕西九年级数学下册二次函数专项训练模拟题合集

2025-2026学年九年级数学下册二次函数专项训练模拟题 1.如图①是某校的拱形大门，其拱形部分可近似看作抛物线，图②是该拱门的正面示意图，已知拱门跨度 AB 为 12 米，拱门最高点 O 与地面 AB 的高度差为 4 米，为迎接校庆，需在拱门上方悬挂灯带，如图②、以过点 O 与 AB 平行的直线 CD 为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系. (1) 求拱形部分所在抛物线的函数表达式； (2) 如图③，为迎接校庆，计划在拱门两端和顶部的上方设计 3 根竖直支柱 AE，OF，BG，相邻两根支柱之间悬挂装饰灯带，已知 AE=BG=6 米，OF=2 米，装饰灯带的形状呈抛物线型，且左右两条灯带关于 y 轴对称，灯带最低点到 CD 的距离为 1 米。若要悬挂横幅，要求横幅的左、右端点分别固定在左、右两条灯带的最低点 (横幅宽度不计)，求横幅的长度. 2.已知抛物线 L：y=-x²+bx+c 过点 (-3,3) 和 (1,-5)，与 x 轴的交点为 A，B (点 A 在点 B 的左侧). (1) 求抛物线 L 的表达式； (2) 若点 P 在抛物线 L 上，点 E、F 在抛物线 L 的对称轴上，D 是抛物线 L 的顶点，要使△PEF∽△DAB (P 的对应点是 D)，且 PE:DA=1:4，求满足条件的点 P 的坐标. 3.某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部 L₁，左、右门洞 L₂， L₃均呈抛物线型，水平横梁 AC=16m，L₁的最高点 B 到 AC 的距离 BO=4m， L₂，L₃关于 BO 所在直线对称.MN，MP，NQ 为框架，点 M，N 在 L₁上，点 P，Q 分别在 L₂，L₃上，MN//AC，MP⊥AC，NQ⊥AC. 以 O 为原点，以 AC 所在直线为 x 轴，以 BO 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系. (1) 求抛物线 L₁的函数表达式； (2) 已知抛物线 L₂的函数表达式为 y=（X－4）²,NQ=m，求MN的长 4.野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分. (1) 某只野兔跳跃的最远水平距离为 3m，最大高度为 1.2m，以其起跳点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的表达式；(无需写出取值范围) (2) 若该野兔在起跳时受到惊吓，导致跳跃的最大高度降低为原来的 75%，但最远水平距离不变，求此时抛物线的表达式，并判断野兔能否成功越过距离起跳点 1m 处、高度为 0.75m 的障碍物. 5.一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥、桥梁的缆索 L₁与缆索 L₂均呈抛物线型，桥塔 AO 与桥塔 BC 均垂直于桥面、如图所示，以 O 为原点，以直线 FF' 为 x 轴，以桥塔 AO 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系。已知：缆索 L₁所在抛物线与缆索 L₂所在抛物线关于 y 轴对称，桥塔 AO 与桥塔 BC 之间的距离 OC=100 m，AO=BC=17 m. 缆索 L₁的最低点 P 到 FF' 的距离 PD=2m (桥塔的粗细忽略不计) (1) 求缆索 L₁所在抛物线的函数表达式； (2) 点 E 在缆索 L₁上，EF⊥FF'，且 EF=2.6m，FO<OD，求 FO 的长. 6.某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的。每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型，当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水。如图所示，点 A 和点 B 是一个柱形喷泉装置 OB 上的两个喷头，A 喷头喷出的水流的落地点为 C. 以 O 为原点，以 OC 所在直线为 x 轴，OB 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系.(柱形喷泉装置的粗细忽略不计) 已知：OA=1m，OB=2m，OC=3m，从 A 喷头和 B 喷头各喷出的水流的高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之间的关系式分别是; y=x²+bx+c和 y=x²+bx+c' (1) 求 A 喷头喷出的水流的最大高度； (2) 一名游人站在点 D 处，OD=4m. 当围观游人喊声较大时，B 喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点 D 处？ 7.如图①，是游乐园里过山车运行过程，其中一段可以近似看作抛物线的一部分，如图②所示，A 为其中一段路线的起点，以地面为 x 轴，垂直地面为 y 轴建立平面直角坐标系，其中点 A 在 y 轴上，且 OA=7 米，当距离起点 A 的水平距离为 4 米时，是该路线最低点，竖直高度为 3 米. (1) 求 y 与 x 之间的函数表达式； (2) 当车头 B 在最低点左侧距离地面 4 米时，车尾 C 在最低点右侧距离地面 8 米，求此时车头 B 与车尾 C 之间的水平距离. 8.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为 48m²，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素。设计部门按要求给出了两个设计方案。现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度 ON=12 m，拱高 PE=4m. 其中，点 N 在 x 轴上，PE⊥ON，OE=EN. 方案二，抛物线型拱门的跨度 ON'=8m，拱高 P'E'=6m. 其中，点 N' 在 x 轴上，P'E'⊥ON'，OE'=E'N'. 要在拱门中设置高为 3m 的矩形框架，其面积越大越好 (框架的粗细忽略不计). 方案一中，矩形框架 ABCD 的面积记为 S₁，点 A，D 在抛物线上，边 BC 在 ON 上；方案二中，矩形框架 A'B'C'D' 的面积记为 S₂，点 A'，D' 在抛物线上，边 B'C' 在 ON' 上. 现知，小华已正确求出方案二中，当 A'B'=3m 时，S₂=m² 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1) 求方案一中抛物线的函数表达式； (2) 在方案一中，当 AB=3m 时，求矩形框架 ABCD 的面积 S₁，并比较 S₁，S₂的大小. 9.某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度 OM=12 米，顶点 P 到底部 OM 的距离为 9 米。将该抛物线放入平面直角坐标系中，点 M 在 x 轴上。其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是 "川" 字形内部支架 (由线段 AB，PN，DC 构成)，点 B，N，C 在 OM 上，且 OB=BN=NC=CM、点 A、D 在抛物线上，AB，PN，DC 均垂直于 OM；方案二是 "H" 形内部支架 (由线段 A'B'、D'C'、EF 构成)、点 B'，C' 在 OM 上，且 OB'=B'C'=C'M，点 A'，D' 在抛物线上，A'B'，D'C' 均垂直于 OM，E、F 分别是 A'B'、D'C' 的中点. (1) 求该抛物线的函数表达式； (2) 该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由. 10.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段 OE 表示水平的路面，以 O 为坐标原点，以 OE 所在直线为 x 轴，以过点 O 垂直于 x 轴的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点 P 到 OE 的距离为 9m. (1) 求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2) 现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点 A，B 处分别安装照明灯。已知点 A、B 到 OE 的距离均为 6m，求点 A，B 的坐标. 11.已知抛物线 y=ax²+bx-4 经过点 A (-2,0)，B (4,0)，与 y 轴的交点为 C. (1) 求该抛物线的函数表达式； (2) 若点 P 是该抛物线上一点，且位于其对称轴 I 的右侧，过点 P 分别作 I，x 轴的垂线，垂足分别为 M、N，连接 MN. 若△PMN 和△OBC 相似，求点 P 的坐标. 12.已知抛物线 y=-x²+2x+8 与 x 轴交于点 A，B (点 A 在点 B 左侧)，与 y 轴交于点 C. (1) 求点 B、C 的坐标； (2) 设点 C' 与点 C 关于该抛物线的对称轴对称。在 y 轴上是否存在点 P，使△PCC' 与△POB 相似，且 PC 与 PO 是对应边？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 13.“水门礼” 是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘。如图 1 所示，在一次 “水门礼” 的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱可近似看作形状相同的抛物线的一部分。在如图 2 所示的直角坐标系中，当两辆消防车喷水口 A，B 的水平距离为 100m 时，两条水柱在抛物线的顶点 H 处相遇，此时相遇点 H 距地面 28 m，喷水口 A，B 到地面的距离均为 3m。 （1） 求水柱所在抛物线的表达式； （2） 若两辆消防车同时后退 20 m，两条水柱的形状及喷水口 A'，B' 到地面的距离均保持不变，求此时两条水柱相遇点 H' 到地面的距离 OH' 是多少？ 14.如图是篮球运动员甲在投篮时的截面示意图。当他原地投篮时，分别以水平地面为x轴，出手点竖直方向为y轴建立平面直角坐标系。篮球运行的路线可看成抛物线，甲投出的篮球在距原点水平距离 2.5 米处时，达到最大高度 3.5 米，且应声入网。已知篮筐的竖直高度为 3.05 米，离原点的水平距离为 4 米.（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若防守队员乙在原点右侧且距原点 1.5 米处竖直起跳，其最大能摸高 3.2 米，乙能否碰到篮球？并说明理由. 15.西安乐华城是集休闲、娱乐、观光于一体的大型主题乐园。立环过山车 "白龙飞天" 是其经典项目之一。过山车的一部分轨道，可以近似地看成两段抛物线，在平面直角坐标系中，其图象如图所示，其中轨道抛物线 C→A→D 的顶点A到 O 的距离OA=m 抛物线与 x 轴交于点 C，OC=m(轨道宽度忽略不计). (1) 求抛物线 C→A→D 的函数表达式； (2) 在轨道抛物线 C→A→D 距离地面 5m 处有两个点 B 和 D (点 B 在点 D 的左侧)，当过山车运动到点 D 处时，平行于地面向前运动了m，至点E,又进入下坡段 E 至最低点H, 已知轨道抛物线 E→H→F 的形状与抛物线 C→A→D 完全相同，求 OH 的长. 16.如图，某大型游乐场引入了一种水上娱乐项目，人从点A处沿水滑道下滑至点B处，然后腾空飞出落入水池。水滑道C1​和人腾空飞出后经过的路径C2​都近似看作是抛物线的一部分。现以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系。经过测量，水滑道C1​的最低点C到地面的距离为米，点B到地面的距离为2米，点C与点B的水平距离为3米，点O与水池边缘的距离OE为12米。 (1) 求水滑道所在抛物线C1​的表达式； (2) 经过前期模拟实验，当下降落水时，只要距离地面高度1米时，人与E点的水平距离大于4米，腾空落水都是安全的。若某人腾空后的路径C2​与抛物线C1​恰好关于点B中心对称，请通过计算说明此人腾空后落水是否安全？ 17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 C₁与 x 轴交于点 A (-6,0)，顶点 D 坐标为 (-2,-4)，抛物线 C₂与抛物线 C₁关于 y 轴对称，抛物线 C₂的对称轴为直线 I. (1) 求抛物线 C₁的函数表达式； (2) 抛物线 C₂的对称轴 I上是否存在一点 E，使得以 A，D，E 为顶点，AD 为直角边的三角形是直角三角形，若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由. 18. 某工厂生产并出售一种简易售卖亭，如图①是这种售卖亭的侧面示意图，是由矩形板材 ABCD 和拱形棚顶 AED 构成 (拱形 AED 可看作一条抛物线)，其中 AD 是一根长度为 4 米的横梁，拱形棚顶的最高点 E 到横梁的距离为 1 米。如图②，以 AD 所在直线为 x 轴，以 AD 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy. (1) 求抛物线 AED所对应的函数表达式； (2) 由于消费者反馈售卖亭在大风雨雪天气下不够稳固，如图②，该工厂计划在棚顶和横梁间加装 3 根支柱，OE 为其中一根，其余两根分别为 FG 和 HI，分别装在 OA 和 OD 的中点处，求支柱 FG 和 HI 的长度之和. 19. 排球运动是一项古老而又充满活力的体育项目，以其独特的魅力和丰富的健康价值，吸引了无数运动爱好者的参与。如图，在一次排球比赛中，运动员发球后，排球 (排球大小忽略不计) 的飞行轨迹可近似看作抛物线、以水平地面为 x 轴，排球网所在竖直直线为 y 轴建立平面直角坐标系，已知排球在排球网左侧距离排球网 5m 处达到最大高度 3.38m，排球落地位置距离排球网 8m. (1) 求抛物线的函数表达式； (2) 在排球网右侧距离排球网 1m 处有一名运动员，能摸到的最大高度为 2.7m，请问该运动员能否成功拦截到球？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学下册二次函数专项训练模拟题解析 1.如图①是某校的拱形大门，其拱形部分可近似看作抛物线，图②是该拱门的正面示意图，已知拱门跨度 AB 为 12 米，拱门最高点 O 与地面 AB 的高度差为 4 米，为迎接校庆，需在拱门上方悬挂灯带，如图②、以过点 O 与 AB 平行的直线 CD 为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系. (1) 求拱形部分所在抛物线的函数表达式； (2) 如图③，为迎接校庆，计划在拱门两端和顶部的上方设计 3 根竖直支柱 AE，OF，BG，相邻两根支柱之间悬挂装饰灯带，已知 AE=BG=6 米，OF=2 米，装饰灯带的形状呈抛物线型，且左右两条灯带关于 y 轴对称，灯带最低点到 CD 的距离为 1 米。若要悬挂横幅，要求横幅的左、右端点分别固定在左、右两条灯带的最低点 (横幅宽度不计)，求横幅的长度. (1) 求拱形部分所在抛物线的函数表达式 1. 确定坐标系与关键点: 由题意知，抛物线顶点在原点 O (0,0), 对称轴为 y 轴，开口向下。 拱门跨度 AB=12 米，高度差为 4 米，所以点 B 的坐标为 (6,-4)。 2. 设解析式并求解: 设抛物线解析式为。 将点 B (6,-4) 代入方程得: 答：拱形部分所在抛物线的函数表达式为。 (2) 求横幅的长度 1. 确定灯带端点坐标: ・已知 AE=6 米，点 A 纵坐标为 - 4, 则点 E 的纵坐标为 - 4+6=2。点 E 横坐标与 A 相同为 - 6, 故 E (-6,2)。 ・同理，点 G 的坐标为 (6,2)。 ・已知 OF=2 米，且 F 在 y 轴上，故 F (0,2)。 2. 确定灯带抛物线的性质: ・题目指出左右两条灯带关于 y 轴对称，且最低点到 CD (即 x 轴) 的距离为 1 米。 ・这意味着左右两条灯带的最低点 (顶点) 的纵坐标均为 1。 3. 计算右侧灯带最低点的横坐标: ・右侧灯带经过点 F (0,2) 和点 G (6,2)。 ・因为这两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性，其对称轴位于这两点的中点处。 对称轴。 ・所以，右侧灯带最低点的横坐标为 3, 坐标为 (3,1)。 4. 计算横幅长度: ・根据对称性，左侧灯带最低点的横坐标为 - 3, 坐标为 (-3,1)。 ・横幅连接左右两个最低点，其长度即为两点横坐标之差。 ・长度 = 3-(-3)=6 米。 答：横幅的长度为 6 米。 2.已知抛物线 L：y=-x²+bx+c 过点 (-3,3) 和 (1,-5)，与 x 轴的交点为 A，B (点 A 在点 B 的左侧). (1) 求抛物线 L 的表达式； (2) 若点 P 在抛物线 L 上，点 E、F 在抛物线 L 的对称轴上，D 是抛物线 L 的顶点，要使△PEF∽△DAB (P 的对应点是 D)，且 PE:DA=1:4，求满足条件的点 P 的坐标. (1) 求抛物线 L 的表达式 将点 (-3,3) 和 (1,-5) 代入中，得方程组: 化简为: 解得。 答：抛物线 L 的表达式为。 (2) 求满足条件的点 P 的坐标 1. 确定关键点坐标: ・令, 解, 得或。因为点 A 在点 B 左侧，所以 A (-4,0),B (0,0)。线段 AB 的长度为 4。 ・抛物线, 其顶点 D 的坐标为 (-2,4)。 ・抛物线的对称轴为直线。 2. 分析相似三角形条件: ・题目要求, 且 P 的对应点是 D。 ・的底边 AB 在 x 轴上，高为顶点 D 到 x 轴的距离，即。 的边 EF 在对称轴上，因此其高为点 P 到直线的距离。设点 P 的坐标为, 则高为。 3. 利用相似比求解: ・相似三角形的对应边之比等于对应高之比。已知相似比为。 因此，。 代入高:。 解得, 所以或。 解得或。 4. 求点 P 的纵坐标: 当时，。点 P 为 (-1,3)。 当时，。点 P 为 (-3,3)。 答：满足条件的点 P 的坐标为 (-1,3) 或 (-3,3)。 3.某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部 L₁，左、右门洞 L₂， L₃均呈抛物线型，水平横梁 AC=16m，L₁的最高点 B 到 AC 的距离 BO=4m， L₂，L₃关于 BO 所在直线对称.MN，MP，NQ 为框架，点 M，N 在 L₁上，点 P，Q 分别在 L₂，L₃上，MN//AC，MP⊥AC，NQ⊥AC. 以 O 为原点，以 AC 所在直线为 x 轴，以 BO 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系. (1) 求抛物线 L₁的函数表达式； (2) 已知抛物线 L₂的函数表达式为 y=（X－4）²,NQ=m，求MN的长 (1) 求抛物线 的函数表达式 由题意知，抛物线 L 的顶点为 B (0,4), 且过点 C (8,0)(因为 AC=16, 对称轴为 y 轴)。 设 的表达式为。 将点 C (8,0) 代入得: 答：抛物线 L 的函数表达式为。 (2) 求 MN 的长 1. 确定点 N 和点 Q 的关系： 点 N 在 上，点 Q 在 上。 因为 ，所以点 N 和点 Q 的横坐标相同。设这个横坐标为 。 线段 的长度等于点 N 的纵坐标减去点 Q 的纵坐标（因为 N 在 Q 上方）。 2. 列方程求解横坐标： 点 N 的纵坐标 。 点 Q 的纵坐标 。 已知 ，则： 两边同乘 16 消去分母： 解得 。 3. 计算 的长： 点 的横坐标为 6。 因为 ，且 、 都在关于 轴对称的抛物线 上，所以 、 关于 轴对称。 因此， 的长度是点 横坐标的 2 倍。 答： 的长为 12 m。 4.野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分. (1) 某只野兔跳跃的最远水平距离为 3m，最大高度为 1.2m，以其起跳点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求满足条件的抛物线的表达式；(无需写出取值范围) (2) 若该野兔在起跳时受到惊吓，导致跳跃的最大高度降低为原来的 75%，但最远水平距离不变，求此时抛物线的表达式，并判断野兔能否成功越过距离起跳点 1m 处、高度为 0.75m 的障碍物. (1) 求满足条件的抛物线的表达式 由题意可知，抛物线过原点 (0,0), 最远水平距离为 3m, 说明与 x 轴的另一个交点为 (3,0)。 最大高度为 1.2m, 说明顶点坐标为 (1.5,1.2)。 设抛物线表达式为。 将点 (0,0) 代入得: 答：抛物线的表达式为。 (2) 求此时抛物线的表达式，并判断野兔能否越过障碍物 1. 求新抛物线表达式: ・最大高度降低为%=0.9米。 ・最远水平距离不变，顶点横坐标仍为 1.5。 新顶点坐标为 (1.5,0.9)。 设新抛物线表达式为。 将点 (0,0) 代入得: 所以，此时抛物线的表达式为。 2. 判断能否越过障碍物: 障碍物距离起跳点 1m, 即。高度为 0.75m。 将代入新抛物线表达式: 因为, 所以野兔能越过障碍物。 5.一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥、桥梁的缆索 L₁与缆索 L₂均呈抛物线型，桥塔 AO 与桥塔 BC 均垂直于桥面、如图所示，以 O 为原点，以直线 FF' 为 x 轴，以桥塔 AO 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系。已知：缆索 L₁所在抛物线与缆索 L₂所在抛物线关于 y 轴对称，桥塔 AO 与桥塔 BC 之间的距离 OC=100 m，AO=BC=17 m. 缆索 L₁的最低点 P 到 FF' 的距离 PD=2m (桥塔的粗细忽略不计) (1) 求缆索 L₁所在抛物线的函数表达式； (2) 点 E 在缆索 L₁上，EF⊥FF'，且 EF=2.6m，FO<OD，求 FO 的长. (1) 求缆索 所在抛物线的函数表达式 由题意，缆索 的抛物线顶点为 。 因为 ，抛物线对称轴为 。 又因为最低点 到 的距离 ，所以顶点 的坐标为 。 抛物线过点 。 设 的表达式为 。 将点 代入得： 答：缆索 所在抛物线的函数表达式为 。 (2) 求 FO 的长 1. 求的函数表达式: 因为与关于 y 轴对称，所以的表达式为: 2. 求解 FO 的长: 点 E 在上，且 EF=2.6, 即点 E 的纵坐标。 代入的表达式: 解得。 FO 的长即为点 E 横坐标的绝对值。 因为 FO<OD, 且 OD=50, 所以 FO 必须小于 50。 因此，FO=|-40|=40。 答：FO 的长为 40m。 6.某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的。每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型，当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水。如图所示，点 A 和点 B 是一个柱形喷泉装置 OB 上的两个喷头，A 喷头喷出的水流的落地点为 C. 以 O 为原点，以 OC 所在直线为 x 轴，OB 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系.(柱形喷泉装置的粗细忽略不计) 已知：OA=1m，OB=2m，OC=3m，从 A 喷头和 B 喷头各喷出的水流的高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之间的关系式分别是; y=x²+bx+c和 y=x²+bx+c' (1) 求 A 喷头喷出的水流的最大高度； (2) 一名游人站在点 D 处，OD=4m. 当围观游人喊声较大时，B 喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点 D 处？ (1) 求 A 喷头喷出的水流的最大高度 由题意可知，抛物线经过点 A (0,1) 和 C (3,0)。 将这两点坐标代入解析式: 1. 由点 A (0,1) 可得:。 2. 将点 C (3,0) 和代入方程: 所以，A 喷头的函数表达式为:。 配方求最大值: 答：A 喷头喷出的水流的最大高度为。 (2) 判断 B 喷头喷出的水流是否会落在点 D 处 2. 确定 B 喷头的函数表达式： 题目已知 B 喷头的表达式为 ，且 与 A 喷头相同，故 。 B 喷头位于点 ，代入表达式得 。 所以，B 喷头的函数表达式为：。 3. 判断落点位置： 游人站在点 ，，即 。计算当 时，水流的高度 。 因为当 时，，说明水流在到达 之前就已经落地。 答：B 喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点 处。 7.如图①，是游乐园里过山车运行过程，其中一段可以近似看作抛物线的一部分，如图②所示，A 为其中一段路线的起点，以地面为 x 轴，垂直地面为 y 轴建立平面直角坐标系，其中点 A 在 y 轴上，且 OA=7 米，当距离起点 A 的水平距离为 4 米时，是该路线最低点，竖直高度为 3 米. (1) 求 y 与 x 之间的函数表达式； (2) 当车头 B 在最低点左侧距离地面 4 米时，车尾 C 在最低点右侧距离地面 8 米，求此时车头 B 与车尾 C 之间的水平距离. (1) 求函数表达式 ・设定顶点式：由题意，抛物线最低点为 (4,3), 故设函数为: ・代入已知点求参数：点 A (0,7) 在抛物线上，代入得: ・最终表达式: 或展开为一般式: (2) 求车头 B 与车尾 C 的水平距离 ・求车头 B 的横坐标 (在最低点左侧，): （） 故 B 点横坐标为 2。 ・求车尾 C 的横坐标 (在最低点右侧，): （取） 故 C 点横坐标为。 ・计算水平距离: 最终结果: 函数表达式:或 车头与车尾水平距离:米 8.某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为 48m²，还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素。设计部门按要求给出了两个设计方案。现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度 ON=12 m，拱高 PE=4m. 其中，点 N 在 x 轴上，PE⊥ON，OE=EN. 方案二，抛物线型拱门的跨度 ON'=8m，拱高 P'E'=6m. 其中，点 N' 在 x 轴上，P'E'⊥ON'，OE'=E'N'. 要在拱门中设置高为 3m 的矩形框架，其面积越大越好 (框架的粗细忽略不计). 方案一中，矩形框架 ABCD 的面积记为 S₁，点 A，D 在抛物线上，边 BC 在 ON 上；方案二中，矩形框架 A'B'C'D' 的面积记为 S₂，点 A'，D' 在抛物线上，边 B'C' 在 ON' 上. 现知，小华已正确求出方案二中，当 A'B'=3m 时，S₂=m² 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1) 求方案一中抛物线的函数表达式； (2) 在方案一中，当 AB=3m 时，求矩形框架 ABCD 的面积 S₁，并比较 S₁，S₂的大小. (1) 求方案一中抛物线的函数表达式 由题意，方案一中抛物线的顶点为 P。 因为跨度 ON=12m, 拱高 PE=4m, 且 E 为 ON 中点， 所以顶点 P 的坐标为 (6,4)。 抛物线过原点 O (0,0)。 设抛物线表达式为。 将点 O (0,0) 代入得: 答：方案一中抛物线的函数表达式为。 (2) 求并比较与的大小 1. 求: 已知矩形高 AB=3m, 即点 A 的纵坐标。 代入抛物线方程: 解得。 矩形的宽 BC=9-3=6m。 所以面积。 2. 比较大小: 已知。 ,。 因为, 所以。 答:的面积为, 且。 9.某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度 OM=12 米，顶点 P 到底部 OM 的距离为 9 米。将该抛物线放入平面直角坐标系中，点 M 在 x 轴上。其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是 "川" 字形内部支架 (由线段 AB，PN，DC 构成)，点 B，N，C 在 OM 上，且 OB=BN=NC=CM、点 A、D 在抛物线上，AB，PN，DC 均垂直于 OM；方案二是 "H" 形内部支架 (由线段 A'B'、D'C'、EF 构成)、点 B'，C' 在 OM 上，且 OB'=B'C'=C'M，点 A'，D' 在抛物线上，A'B'，D'C' 均垂直于 OM，E、F 分别是 A'B'、D'C' 的中点. (1) 求该抛物线的函数表达式； (2) 该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由. (1) 求该抛物线的函数表达式 由题意，抛物线顶点 P 的坐标为 (6,9), 且过原点 O (0,0)。 设抛物线表达式为。 将 (0,0) 代入得: 答：该抛物线的函数表达式为。 (2) 比较哪个方案更节省材料 1. 计算方案一的总长度: 由 OB=BN=NC=CM 且 OM=12, 得 B,N,C 的横坐标分别为 3,6,9。 ・PN 为顶点高度，长度为 9。 当时，, 即。 ・由对称性，。 方案一总长(米)。 2. 计算方案二的总长度 由且 OM=12, 得的横坐标分别为 4,8。 ・当时，, 即。 ・由对称性，。 ・E,F 为中点，故 EF 的高度为的一半，即。 ・EF 为水平线段，其长度为。 方案二总长(米)。 3. 比较: 因为米，米，所以 答：方案二的内部支架更节省材料。 10.现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段 OE 表示水平的路面，以 O 为坐标原点，以 OE 所在直线为 x 轴，以过点 O 垂直于 x 轴的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点 P 到 OE 的距离为 9m. (1) 求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2) 现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点 A，B 处分别安装照明灯。已知点 A、B 到 OE 的距离均为 6m，求点 A，B 的坐标. 解: (1) 求满足设计要求的抛物线的函数表达式 由题意，抛物线顶点 的横坐标为 的中点，即 。 顶点 到 的距离为 9，即顶点纵坐标为 9。 所以顶点 的坐标为 。 抛物线经过原点 。 设抛物线表达式为顶点式：。 将点 代入得： 答：满足设计要求的抛物线的函数表达式为 。 (2) 求点 A,B 的坐标 点 A,B 到 OE (即 x 轴) 的距离均为 6m, 这意味着点 A 和点 B 的纵坐标。 将代入抛物线表达式: = = 解得两个 x 的值: 由图可知，点 A 在左侧，点 B 在右侧。 所以点 A 的横坐标为, 点 B 的横坐标为。 答：点 A 的坐标为, 点 B 的坐标为。 11.已知抛物线 y=ax²+bx-4 经过点 A (-2,0)，B (4,0)，与 y 轴的交点为 C. (1) 求该抛物线的函数表达式； (2) 若点 P 是该抛物线上一点，且位于其对称轴 I 的右侧，过点 P 分别作 I，x 轴的垂线，垂足分别为 M、N，连接 MN. 若△PMN 和△OBC 相似，求点 P 的坐标. (1) 求该抛物线的函数表达式 抛物线经过点 A (-2,0) 和 B (4,0)。 将这两点坐标代入方程得: 化简得: 解得 答：该抛物线的函数表达式为。 (2) 求点 P 的坐标 1. 分析的性质: 令, 得, 即 C (0,-4)。 因为 B (4,0), 所以,。 又因为, 所以是等腰直角三角形。 2. 分析的性质: 由可知对称轴为直线。 设点 P 的坐标为。因为 P 在对称轴右侧，所以。 ・PM 是点 P 到对称轴的距离，所以。 ・PN 是点 P 到 x 轴的距离，所以。 ・因为, 所以是直角三角形。 3. 利用相似求解: 若和相似，由于是等腰直角三角形，则也必须是等腰直角三角形。 即直角边相等:。 所以:, 即。 分两种情况讨论: 情况一：点 P 在 x 轴上方 () 整理得: 解得: 因为, 所以取。 此时。 即点。 情况二：点 P 在 x 轴下方 () 整理得: 解得: 因为, 所以取。 此时。 即点。 答：点 P 的坐标为或。 12.已知抛物线 y=-x²+2x+8 与 x 轴交于点 A，B (点 A 在点 B 左侧)，与 y 轴交于点 C. (1) 求点 B、C 的坐标； (2) 设点 C' 与点 C 关于该抛物线的对称轴对称。在 y 轴上是否存在点 P，使△PCC' 与△POB 相似，且 PC 与 PO 是对应边？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. (1) 求点 B、C 的坐标 ・求 C 点坐标: 抛物线与 y 轴交点 C 的横坐标, 代入, 得, 故 C (0,8)。 ・求 B 点坐标: 抛物线与 x 轴交点满足, 解方程, 即, 因式分解得, 解得。 因 A 在 B 左侧，故 B (4,0)。 (2) 判断 y 轴上是否存在点 P 使(PC 与 PO 为对应边) ・步骤 1: 确定坐标及线段长度 抛物线对称轴为。 C (0,8) 关于的对称点的横坐标为 2, 纵坐标不变，故,,(B (4,0))。 ・步骤 2: 分析相似条件 设,与均为直角三角形 ()。 由 "PC 与 PO 为对应边", 相似比满足。 ・步骤 3: 分情况讨论 P 的位置 ・当时:,, 由, 解得, 故。 ・当时:,, 由, 解得, 故。 ・当时:(y 为负，),, 此时, 与矛盾，故无解。 最终结论 (1) B (4,0),C (0,8); (2) 存在，P 的坐标为或。 13.“水门礼” 是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘。如图 1 所示，在一次 “水门礼” 的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱可近似看作形状相同的抛物线的一部分。在如图 2 所示的直角坐标系中，当两辆消防车喷水口 A，B 的水平距离为 100m 时，两条水柱在抛物线的顶点 H 处相遇，此时相遇点 H 距地面 28 m，喷水口 A，B 到地面的距离均为 3m。 （1） 求水柱所在抛物线的表达式； （2） 若两辆消防车同时后退 20 m，两条水柱的形状及喷水口 A'，B' 到地面的距离均保持不变，求此时两条水柱相遇点 H' 到地面的距离 OH' 是多少？ (1) 求水柱所在抛物线的表达式 已知抛物线顶点 H (0,28), 设其表达式为。 喷水口 B 坐标为 (50,3), 代入得: , 即, 解得。 故抛物线表达式为。 (2) 求后退后相遇点到地面的距离 两车后退 20m, 抛物线左右平移 20m。右侧抛物线 (原 B 侧) 的表达式为: 。 求的纵坐标 (时的 y 值): 。 故。 14.如图是篮球运动员甲在投篮时的截面示意图。当他原地投篮时，分别以水平地面为x轴，出手点竖直方向为y轴建立平面直角坐标系。篮球运行的路线可看成抛物线，甲投出的篮球在距原点水平距离 2.5 米处时，达到最大高度 3.5 米，且应声入网。已知篮筐的竖直高度为 3.05 米，离原点的水平距离为 4 米.（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若防守队员乙在原点右侧且距原点 1.5 米处竖直起跳，其最大能摸高 3.2 米，乙能否碰到篮球？并说明理由. (1) 求抛物线表达式 已知抛物线顶点为 (2.5,3.5), 设其表达式为。 抛物线过篮筐点 (4,3.05), 代入得: , 即, 解得。 故抛物线表达式为。 (2) 判断乙能否碰到篮球 当时，代入抛物线表达式: 。 乙的最大摸高为 3.2 米，而, 因此乙不能碰到篮球。 15.西安乐华城是集休闲、娱乐、观光于一体的大型主题乐园。立环过山车 "白龙飞天" 是其经典项目之一。过山车的一部分轨道，可以近似地看成两段抛物线，在平面直角坐标系中，其图象如图所示，其中轨道抛物线 C→A→D 的顶点A到 O 的距离OA=m 抛物线与 x 轴交于点 C，OC=m(轨道宽度忽略不计). (1) 求抛物线 C→A→D 的函数表达式； (2) 在轨道抛物线 C→A→D 距离地面 5m 处有两个点 B 和 D (点 B 在点 D 的左侧)，当过山车运动到点 D 处时，平行于地面向前运动了m，至点E,又进入下坡段 E 至最低点H, 已知轨道抛物线 E→H→F 的形状与抛物线 C→A→D 完全相同，求 OH 的长. (1) 求抛物线的函数表达式 已知抛物线顶点, 设其表达式为。 抛物线过点, 代入得: , 即, 解得。 故抛物线表达式为。 (2) 求 OH 的长 当时，代入抛物线表达式: , 解得, 故。 由, 且抛物线与形状相同，可知是向右平移(即) 个单位得到。 抛物线的表达式为。 令, 得, 故。 16.如图，某大型游乐场引入了一种水上娱乐项目，人从点A处沿水滑道下滑至点B处，然后腾空飞出落入水池。水滑道C1​和人腾空飞出后经过的路径C2​都近似看作是抛物线的一部分。现以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系。经过测量，水滑道C1​的最低点C到地面的距离为米，点B到地面的距离为2米，点C与点B的水平距离为3米，点O与水池边缘的距离OE为12米。 (1) 求水滑道所在抛物线C1​的表达式； (2) 经过前期模拟实验，当下降落水时，只要距离地面高度1米时，人与E点的水平距离大于4米，腾空落水都是安全的。若某人腾空后的路径C2​与抛物线C1​恰好关于点B中心对称，请通过计算说明此人腾空后落水是否安全？ (1) 求水滑道所在抛物线的表达式 已知抛物线的顶点为, 设其表达式为。 抛物线过点 B (0,2), 代入得: , 即, 解得。 故抛物线的表达式为。 (2) 判断腾空后落水是否安全 抛物线与关于点 B (0,2) 中心对称: 顶点关于 B 的对称点为, 且开口向下，故的表达式为。 当时，代入的表达式: , 解得(舍去负根)。 落水点横坐标为, 与 E (12,0) 的水平距离为: 。 因, 故此人腾空后落水安全。 17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 C₁与 x 轴交于点 A (-6,0)，顶点 D 坐标为 (-2,-4)，抛物线 C₂与抛物线 C₁关于 y 轴对称，抛物线 C₂的对称轴为直线 I. (1) 求抛物线 C₁的函数表达式； (2) 抛物线 C₂的对称轴 I上是否存在一点 E，使得以 A，D，E 为顶点，AD 为直角边的三角形是直角三角形，若存在，请求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由. (1) 抛物线的函数表达式: ・已知顶点 D (-2,-4), 设其顶点式为: ・代入点 A (-6,0) 解得: 故函数表达式为: 或展开为 (2) 判断对称轴 I上是否存在点 E, 使以 AD 为直角边: 抛物线与关于 y 轴对称→对称轴 l: ・设 E (2,m), 已知 A (-6,0),D (-2,-4) 分两种情况讨论直角位置: ■情况一: →向量, →点积为零: →得点 (2,8) 情况二: →向量, →点积为零: →得点 (2,0) 综上，存在满足条件的点 E, 其坐标为 (2,8) 或 (2,0)。 18. 某工厂生产并出售一种简易售卖亭，如图①是这种售卖亭的侧面示意图，是由矩形板材 ABCD 和拱形棚顶 AED 构成 (拱形 AED 可看作一条抛物线)，其中 AD 是一根长度为 4 米的横梁，拱形棚顶的最高点 E 到横梁的距离为 1 米。如图②，以 AD 所在直线为 x 轴，以 AD 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy. (1) 求抛物线 AED所对应的函数表达式； (2) 由于消费者反馈售卖亭在大风雨雪天气下不够稳固，如图②，该工厂计划在棚顶和横梁间加装 3 根支柱，OE 为其中一根，其余两根分别为 FG 和 HI，分别装在 OA 和 OD 的中点处，求支柱 FG 和 HI 的长度之和. (1) 抛物线 AED 的函数表达式 坐标系设定：以 AD 为 x 轴，AD 中垂线为 y 轴，建立直角坐标系。 ・关键点坐标: ・A (-2,0),D (2,0)(因 AD=4 米) ・E (0,1)(最高点，距横梁 1 米) ・设抛物线方程：顶点在 (0,1), 故设为 ・代入点 D 求参数: ・最终表达式: (2) 支柱 FG 与 HI 的长度之和 位置确定: ・F 为 OA 中点→横坐标 ・H 为 OD 中点→横坐标 求对应高度 (即支柱长度): ・代入抛物线方程: 故米 ・长度之和: 米 19. 排球运动是一项古老而又充满活力的体育项目，以其独特的魅力和丰富的健康价值，吸引了无数运动爱好者的参与。如图，在一次排球比赛中，运动员发球后，排球 (排球大小忽略不计) 的飞行轨迹可近似看作抛物线、以水平地面为 x 轴，排球网所在竖直直线为 y 轴建立平面直角坐标系，已知排球在排球网左侧距离排球网 5m 处达到最大高度 3.38m，排球落地位置距离排球网 8m. (1) 求抛物线的函数表达式； (2) 在排球网右侧距离排球网 1m 处有一名运动员，能摸到的最大高度为 2.7m，请问该运动员能否成功拦截到球？ (1) 求抛物线函数表达式: ・根据题意，排球轨迹为抛物线，顶点位于 (-5,3.38), 且过落地点 (8,0)。 ・设顶点式: ・代入点 (8,0) 解得: ・得到函数表达式: 或展开为一般式: (2) 判断能否拦截: ・运动员位于排球网右侧 1 米处，即 ・代入抛物线方程得高度:米 ・运动员最大摸高为 2.7 米，因, 故能成功拦截。 结论: ・抛物线表达式为(或等价一般式) ・运动员能成功拦截到球 学科网（北京）股份有限公司 $