2025-2026学年北师大版九年级数学下册 二次函数专项训练

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，以抛物线建模为主线，系统覆盖解析式求解、性质应用及动态变化问题，强化数学建模与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抛物线建模|27题（全）|实际情境转化（喷水/大棚/隧道等）|实际问题→坐标系建立→数据提取→解析式确定| |性质应用|27题（含2-3问）|最值/交点/平移/对称综合|解析式→图像性质→几何关系→实际意义解读|

1.某公司为城市广场上一雕塑 AB 安装喷水装置，喷水口位于雕塑的顶端点 B 处，喷出的水柱轨迹呈现抛物线型，据此建立平面直角坐标系如图所示。若喷出的水柱轨迹 BC 上某一点与支柱 AB 的水平距离为 x（单位：m），与广场地面的垂直高度为 y（单位：m），下面的表格中记录了 x 与 y 的四组数据： 表格 （1） 求出 y 与 x 之间的函数表达式； （2） 求水柱落地点与雕塑 AB 的水平距离； （3） 为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱轨迹的形状 y=ax²+bx+c 不变的前提下，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点 C 到 AB 的距离）控制在 7m 到 14m 之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度和 b 的取值范围。 2. 根据以下素材，探索完成任务。 如何设计大棚苗木种植方案？ 【素材 1】如图 1 是一个大棚苗木种植基地的截面图，其下半部分是一个长为 20m，宽为 1m 的矩形，上半部分是一条抛物线，现测得大棚顶部的最高点距离地面 3m。 【素材 2】种植苗木时，每棵苗木高 1.72m。为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔 1m，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布（即苗木的数目为偶数个）。 【解决问题】 （1）大棚上半部分的形状是一条抛物线，设大棚的高度为 y，种植点的横坐标为 x。根据图 2 建立的平面直角坐标系、通过素材 1 提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式； （2） 在图 2 的平面直角坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即 y>1.72），确定种植点的横坐标 x 的取值范围（写出计算过程）； （3） 给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标 x 的值。 3.如图在平面直角坐标系中，抛物线 y= x²+bx+c 与直线AC交于点 A(4,0)、C(0,﹣4) （1） 求该抛物线的解析式； （2） 将该抛物线沿水平方向向右平移 3 个单位长度，平移后抛物线与 y 轴交于点 F，原抛物线上有一点 P (2,-4)，M为平移后点 P 的对应点，N 为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点 Q，使得以 M、F、N、Q 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 Q 的坐标。 4.小聪在设计奖杯时，从抛物线形状上获得了灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图 1、杯体 ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点 C 在 y 轴上，杯口直径 AB=4，且点 A、B 关于 y 轴对称，杯脚高 CO=4，杯高 DO=8，杯底 MN 在 x 轴上。 （1） 求杯体 ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出 x 的取值范围）； （2） 为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图 2，杯体 A'CB' 所在抛物线形状不变，杯口直径 A'B'∥AB，杯脚高 CO 不变，杯深 CD' 与杯高 OD' 之比为 0.6，求 A'B' 的长（结果保留根号）。 5.“千载竹艺，万缕竹篾” 满载着手艺的传承和传统民族文化的魅力。用细竹篾编织的罩子，横截面可以近似地看成一个抛物线形状。已知其宽度 OA=60 厘米，最高点 M（抛物线的顶点）到 OA 的距离为 30 厘米. (1) 建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2) 如果罩子紧贴桌面，罩内盘子平放成一排，试通过计算说明罩子下面能放下 2 个直径为 27 厘米、高度为 6 厘米的盘子吗？ 6.已知抛物线 L：y=-x²+bx+c 过点 (-3,3) 和 (1,-5)，与 x 轴的交点为 A，B（点 A 在点 B 的左侧）。 （1） 求抛物线 L 的表达式； （2） 若点 P 在抛物线 L 上，点 E、F 在抛物线 L 的对称轴上，D 是抛物线 L 的顶点，要使△PEF∽△DAB（P 的对应点是 D），且 PE:DA=1:4，求满足条件的点 P 的坐标。 7. 如图 1 是某地高速公路上修建的两个隧道，如图 2 是其横截面示意图。 素材一：隧道 L₁与 L₂均呈抛物线型，已知隧道L₂ 底部 C 与隧道 L₁底部 A 相距 2m，以直线 AC 为 x 轴，线段 AC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系，点 D，B 都在 x 轴上。 素材二：L₁所在抛物线与 L₂所在抛物线关于 y 轴对称， L₁底部宽 AB 为 12m， L₁所在抛物线的最高点 P 与路面 AB 的距离为 8m。 （1） 求隧道 L₁所在抛物线的表达式； （2） 现需在隧道 L₁，L₂内壁上分别安装摄像头 N，M，如图 2，N，M 均在各自抛物线对称轴左侧的抛物线上，已知点 M，N 到路面 AC 的竖直距离均为 6m，求 M，N 两点间的距离。 8. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，建立如图所示的平面直角坐标系，把锅纵断面的抛物线记为 C₁：y=x²-3把锅盖纵断面的抛物线记为 C₂，AB 为锅口直径（锅口直径与锅盖直径视为相同），OD 为锅深，锅盖高 OC=1 dm。 （1） 求抛物线 C₂的解析式； （2） 如果将一个底面直径为 1.8 dm，高度为 3.4 dm 的圆柱形保温桶竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由。 9.我们常见的锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面的两段抛物线组合成封闭图形，锅口直径为 6dm，锅深 3 dm，锅盖高 1dm（锅口直径与锅盖直径相同），建立平面直角坐标系如图所示，把锅纵断面的抛物线记为 C₁，把锅盖纵断面的抛物线记为 C₂。 （1） 求 C₁和 C₂的解析式； （2） 如果锅中的水位高度是 1 dm，求此时水面的直径； （3） 如果将一个底面直径为 3dm，高度为 3.2 dm 的圆柱形器皿放入锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由。 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 L₁：y=ax²+4ax-6 与 x 轴交于 A 和 B (2,0) 两点，并与 y 轴相交于点 C。抛物线 L₂与 L₁关于坐标原点对称，点 A，B 在 L₂上的对应点分别为 A'、B'。 （1） 求抛物线 L₁的函数表达式； （2） 在抛物线 L₂上是否存在点 D，使得 S△DAA'=4S△CBB'？若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由。 11.小博周末随家人去采摘草莓，小博发现种植草莓的大棚使用钢结构骨架，它的横截面可以近似看作由矩形和抛物线构成，小博通过采摘园主获得了大棚的部分信息，并绘制了如下图象。 如图，大棚横截面下方是矩形 ABCD，顶部是抛物线 BEC。取 AD 中点 O，过点 O 作线段 AD 的垂直平分线 OE 交抛物线 BEC 于点 E。若以 O 点为原点，AD 所在直线为 x 轴，OE 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，E 为抛物线的顶点且 OE=4 m，AB=3m，AD=4m。请你解决下列问题： （1） 求抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围； （2） 小博观察到顶棚内部采用另一种轻质材料制作的直角三角形支架进行加固。如图，若 G 在横梁 BF 段的中点处，HG⊥BC，垂足为 G，△HGF 和△JIF 关于直线 OE 成轴对称。一个横梁上需要两个这样的直角三角形，所需这种轻质材料总长是 HG+HF+FJ+JI 的和。若一个大棚有 15 个横梁，不考虑材料损耗，请你计算，制作这样的支架，一共需要多长这种轻质材料？ 12.某校兴趣小组想在校庆时为学校设计两个外轮廓近似为抛物线的拱门，设计方案如图所示，其中 A、B、C 三点在同一直线上，抛物线 I₁经过 A，B 两点，抛物线 I₂经过 B，C 两点，他们计划在抛物线 I₁与地面围成的区域中隔出一个大正方形 DEFG，使得点 G、F 在抛物线 I₁上，点 D、E 在地面上，用于师生通道，其余地方用鲜花装点，在抛物线 I₂与地面围成的区域中隔出矩形区域 MPQN，点 P、Q 在抛物线I₂上，点 M，N 在地面上，使得 MN=4，P= 对矩形区域 MNPQ进行设计用于师生拍照留念。以 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 的垂直平分线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线 I₁的表达式为 y= -x²+。 （1） 求 DE 的长； （2） 若抛物线 I₂与抛物线 I₁形状相同，请求出抛物线 I₂的表达式。 13.【项目主题】某小区更换旧围栏，面向全体业主征集围栏设计方案。 【项目实施】家住该小区的格格和走走积极合作参与，如图 1 是给出围栏设计方案的上面一部分： ①△ABC 是等腰三角形，且 AB=AC，AO⊥BC，垂足为 O； ②围栏上部由两段形状相同的抛物线 AB 和 AC 组成，且抛物线 AB 和 AC 关于直线 AO 对称； ③CO=BO=2 米，AO=1 米； ④根据她们的设计方案、以 BC 所在直线为 x 轴，AO 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，抛物线 AB 的函数表达式为 y=-x²+bx+c。 【问题解决】（1）求抛物线 AC 的函数表达式； （2）小区业主委员会进行综合评审时，对格格和走走的创意设计给予充分肯定，并建议在抛物线和等腰三角形的腰之间加装如图 2 所示的三根安全杆，其中 EF∥BC，GF⊥EF，DE⊥EF，若想加装三根安全杆的长度总和最长，需要多少米的原料？ 14.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为 16m，宽为 6m，抛物线的高点 C 离路面 AA₁的距离为 8m。 （1） 按如图所示建立的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式； （2） 一大型货运汽车装载其大型设备后高为 7m，宽为 4m。如果该隧道内设双向行车道，在两车道之间设置宽度为 1m 的隔离带，且要求货车与隧道内壁 AB（A₁B₁）及隔离带水平方向都至少保持 0.5m 的安全距离，那么这辆货车能否安全通过？请说明理由。 15.如图是篮球运动员甲在投篮时的截面示意图。当他原地投篮时，分别以水平地面为x轴，出手点竖直方向为y轴建立平面直角坐标系。篮球运行的路线可看成抛物线，甲投出的篮球在距原点水平距离 2.5 米处时，达到最大高度 3.5 米，且应声入网。已知篮筐的竖直高度为 3.05 米，离原点的水平距离为 4 米.（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若防守队员乙在原点右侧且距原点 1.5 米处竖直起跳，其最大能摸高 3.2 米，乙能否碰到篮球？并说明理由. 16.如图，已知抛物线 L：y=ax²+bx+c（a>0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，且 OB=OC=3OA，点 A (-1,0)。 （1） 求抛物线 L 的函数表达式； （2） 若抛物线 L 的顶点为 D，抛物线的对称轴交直线 BC 于点 E，P 为直线 DE 右侧抛物线上一点，点 Q 在直线 BC 上，是否存在以 D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 17.已知乒乓球桌的长度为 274 cm，某同学从球桌边缘正上方高 18 cm 处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线可以近似看作是抛物线的一部分。 （1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌上的过程中，乒乓球的竖直高度 y（cm）与水平距离 x（cm）之间近似满足函数关系式 y=a (x-h₁)²+k（a<0）. 已知乒乓球的水平距离 x 与竖直高度 y 的几组数据如表所示。请根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出 y 与 x 满足的函数关系式； 表格 （2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度 y 与水平距离 x 之间近似满足函数关系式 y=-0.005 (x-h₂)²+8，请判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上？并说明理由。 18.如图，已知抛物线 L：y=x²+bx+c 经过点 A (-1,0)，B (3,0)。 （1） 确定该抛物线的函数表达式； （2） 连接 BC，交抛物线 L 的对称轴于点 D。 ①求点 D 的坐标； ②将抛物线 L 向左平移 m（m>0）个单位长度得到抛物线 L'。抛物线 L 的对称轴交抛物线 L' 于点 E，抛物线 L' 的对称轴交抛物线 L 于点 F。当 DE=2EF 时，求 m 的值。 19.如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴 P。将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线 y=ax²+bx+1（a≠0）。当水流距离地面 2m 时，距喷灌嘴的水平距离为 2m，水流落地点距喷灌嘴的水平距离 OA=6m。 （1） 求水流所在抛物线的函数表达式； （2） 为了给公园增深艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑。 ①若雕塑的高度为 1m，则与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到？ ②若在距喷灌嘴水平距离为 0.5m 处有一高度为 1.2m 的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ 20.“水门礼” 是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘。如图 1 所示，在一次 “水门礼” 的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱可近似看作形状相同的抛物线的一部分。在如图 2 所示的直角坐标系中，当两辆消防车喷水口 A，B 的水平距离为 100m 时，两条水柱在抛物线的顶点 H 处相遇，此时相遇点 H 距地面 28 m，喷水口 A，B 到地面的距离均为 3m。 （1） 求水柱所在抛物线的表达式； （2） 若两辆消防车同时后退 20 m，两条水柱的形状及喷水口 A'，B' 到地面的距离均保持不变，求此时两条水柱相遇点 H' 到地面的距离 OH' 是多少？ 21.夏天，为了防止蚊虫污染饭菜，小明的爷爷用细竹篾编了一个罩子保护饭菜。它的横截面可以看成一个抛物线的形状。小明看到后很喜欢，问爷爷菜罩的尺寸，爷爷告诉他，最宽处直径为 80 厘米，最高处高度为 40 厘米，随后小明利用抛物线的知识以菜罩左边缘为原点建立平面直角坐标系（如图）。 （1） 请你帮小明求出抛物线的解析式； （2） 如果菜罩紧贴桌面盖上，菜罩内盘子放成一排，那么爷爷编的菜罩内能横着放下三个直径为 24 厘米，高度为 3 厘米的盘子吗？ 22.已知抛物线 C₁：y=ax²+bx-3（a≠0）经过点 (4,5) 和点 (2,-3)，且与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D。 （1） 求抛物线 C₁的解析式和顶点 D 的坐标； （2） 将抛物线 C₁沿 x 轴平移得到抛物线 C₂，抛物线 C₁与 C₂交于点 P，抛物线 C₂交 x 轴于点 A'，B'（点 A' 在点 B' 左侧），连接 BC，DC，BD 得到△BCD，连接 PA'，PB' 得到△PA'B'。若 S△PA'B'= S△BCD，求点 P 的坐标。 23.如图，抛物线y=x²+bx−4与x轴交于A，C两点（点A在点C的右侧），与y轴交于点B，且OA=OB。 (1) 求抛物线的表达式； (2) 点P是抛物线上一点，当∠PBA+∠CBO=45°时，求点P的横坐标。 24.猕猴桃是西安的特色水果。在销售之际某商场分批每周购进若干箱装猕猴桃，经统计分析发现，在一段时间内，猕猴桃的每售价 y（元 / 箱）与第 x 周之间满足二次函数关系：y=ax²+bx+28（a≠0），且第 2 周时，售价为 32 元 / 箱；第 5 周时，售价为 23 元 / 箱（销售初期由于产量小售价逐渐上涨，销售中后期由于产量的增多售价逐渐下降）。 （1）根据题意求 y 与 x 之间的函数关系式，并求第 4 周时，售价 y 的值；（2）若该段时间内每周猕猴桃的进价 s（元 / 箱）与第 x 周之间满足关系式：s=-2x+25，且平均每周销售 150 箱，试求该商场第几周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为多少？ 25.某小区有一个喷水池，中心处带有可升降喷头的喷水管垂直于地面，喷出的水流形状近似抛物线。如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心点 O 为原点，水平方向为 x 轴，喷水管竖直方向为 y 轴，建立平面直角坐标系。经测量，喷头位置在水池中心点 O 的正上方 2.25m 处，当水流满足距喷水管的水平距离为 1m 时，达到最大高度为 3m。 （1） 求第一象限内水流形状所近似抛物线的函数表达式，并求喷出的水流到喷水管的最大水平距离； （2） 为了美化小区，对喷水装置进行改造，将喷出水流的最高点水平外移 1m，高度不变，且使喷出的水流到喷水管的最大水平距离为 5m，请确定此时喷头的竖直高度。 26.已知抛物线 L：y=ax²+bx-6 与 x 轴交于 A (-6,0)，B (-2,0) 两点，与 y 轴交于点 C。 （1） 求抛物线 L 的表达式； （2） 将抛物线 y=ax²+bx-6 先向右平移 5 个单位长度，再向上平移 6 个单位长度，得到抛物线 L'，抛物线 L' 与 x 轴交于 A'，B'（A' 在 B' 左侧），在 x 轴上方的抛物线 L' 上是否存在一动点 P，使得△PA'B' 的面积等于△ABC 面积的 2 倍，若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 27.某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1​，左、右门洞L2​,L3​均呈抛物线型，水平横梁AC=16 m，L1​的最高点B到AC的距离BO=4 m，L2​,L3​关于BO所在直线对称。MN,MP,NQ为框架，点M,N在L1​上，点P,Q分别在L2​,L3​上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC。以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。 (1) 求抛物线L1​的函数表达式； (2) 已知抛物线L3​的函数表达式为y=−(x−4)²，NQ= m，求MN的长。 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.某公司为城市广场上一雕塑 AB 安装喷水装置，喷水口位于雕塑的顶端点 B 处，喷出的水柱轨迹呈现抛物线型，据此建立平面直角坐标系如图所示。若喷出的水柱轨迹 BC 上某一点与支柱 AB 的水平距离为 x（单位：m），与广场地面的垂直高度为 y（单位：m），下面的表格中记录了 x 与 y 的四组数据： 表格 （1） 求出 y 与 x 之间的函数表达式； （2） 求水柱落地点与雕塑 AB 的水平距离； （3） 为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱轨迹的形状 y=ax²+bx+c 不变的前提下，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点 C 到 AB 的距离）控制在 7m 到 14m 之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度和 b 的取值范围。 解: (1)求函数表达式 设抛物线方程为。 由表格数据可知: 1.当时,,所以。 2.观察表格,和的值相同,根据抛物线的对称性,对称轴为。 3.表格显示顶点坐标为。 使用顶点式: 将点代入: 所以函数表达式为: 或展开为一般式: (2) 求水柱落地点与雕塑的水平距离 水柱落地时,高度。 两边同乘以: 解得,(舍去,因为距离不能为负)。 所以,水柱落地点与雕塑的水平距离为。 (3) 求改建后水柱的最大高度和 b 的取值范围 题目要求抛物线形状不变，即二次项系数 不变。常数项 代表喷水口高度，也不变，即 。 所以新的函数表达式为 。 · 求 b 的取值范围： 喷水半径（即落地点到 AB 的距离）控制在 7m 到 14m 之间，意味着当 时，正根 的范围是 。 · 当 时（原落地点），代入方程 ，解得 。 3. 当 时，代入方程 ，解得 。 所以，b 的取值范围是 。 · 求最大高度： 抛物线的最大高度在顶点处取得。顶点的 x 坐标为 。 最大高度 因为 ，所以 随 的增大而增大。 当 取最大值 时，水柱高度最大。 此时， 所以，改建后喷水池水柱的最大高度为 。 2. 根据以下素材，探索完成任务。 如何设计大棚苗木种植方案？ 【素材 1】如图 1 是一个大棚苗木种植基地的截面图，其下半部分是一个长为 20m，宽为 1m 的矩形，上半部分是一条抛物线，现测得大棚顶部的最高点距离地面 3m。 【素材 2】种植苗木时，每棵苗木高 1.72m。为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔 1m，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布（即苗木的数目为偶数个）。 【解决问题】 （1）大棚上半部分的形状是一条抛物线，设大棚的高度为 y，种植点的横坐标为 x。根据图 2 建立的平面直角坐标系、通过素材 1 提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式； （2） 在图 2 的平面直角坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即 y>1.72），确定种植点的横坐标 x 的取值范围（写出计算过程）； （3） 给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标 x 的值。 (1)求抛物线的解析式 由题意和图2可知,抛物线顶点在轴上。 大棚底部宽,矩形高,最高点距地面。 所以在图2坐标系中,抛物线顶点坐标为,且过点和。 设抛物线解析式为。 将点代入得: ∴抛物线的解析式为 (2)确定种植点的横坐标的取值范围 根据题意,需满足,即: 解得:<x< (3)求苗木数量及最左边一棵的横坐标 ,即()。 种植区域大约在到之间,总宽度约为。 根据【素材2】: 1.相邻两棵苗木间隔。 2.苗木成轴对称分布,且数目为偶数。 为了对称且为偶数棵,种植点应关于轴对称分布。 设种植点横坐标为 由于间隔为,可能的分布是 我们需要找到满足的最大整数对。 第1对:(满足) 第2对:(满足) 第3对:(满足) 第4对:(满足) 第5对:(不满足,因为) 所以,最前排最多能种棵苗木。 最左边一棵苗木的横坐标为。 3.如图在平面直角坐标系中，抛物线 y= x²+bx+c 与直线AC交于点 A(4,0)、C(0,﹣4) （1） 求该抛物线的解析式； （2） 将该抛物线沿水平方向向右平移 3 个单位长度，平移后抛物线与 y 轴交于点 F，原抛物线上有一点 P (2,-4)，M为平移后点 P 的对应点，N 为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点 Q，使得以 M、F、N、Q 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 Q 的坐标。 （1）求抛物线的解析式 已知抛物线 过 和 ，将两点代入解析式： · 代入 ：。 · 代入 ：，即 ，解得 。 因此，抛物线的解析式为 。 (2) 求符合条件的点 的坐标 步骤 1：求平移后抛物线的解析式及相关点坐标 · 原抛物线向右平移 3 个单位，解析式变为： ，化简得 。 · 平移后抛物线与 轴交点 ：令 ，得 ，即 。 4. 点 平移后对应点 ：向右平移 3 个单位，得 。 · 平移后抛物线的对称轴为 ，设 ，。 步骤 2：分情况讨论平行四边形的顶点关系 平行四边形对角线互相平分，分三种情况： 情况 1： 与 为对角线 中点坐标相等： 解得 ，。 情况 2： 与 为对角线 中点坐标相等： 解得 ，。 情况 3： 与 为对角线 中点坐标相等 ： 解得 ，。 4.小聪在设计奖杯时，从抛物线形状上获得了灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图 1、杯体 ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点 C 在 y 轴上，杯口直径 AB=4，且点 A、B 关于 y 轴对称，杯脚高 CO=4，杯高 DO=8，杯底 MN 在 x 轴上。 （1） 求杯体 ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出 x 的取值范围）； （2） 为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图 2，杯体 A'CB' 所在抛物线形状不变，杯口直径 A'B'∥AB，杯脚高 CO 不变，杯深 CD' 与杯高 OD' 之比为 0.6，求 A'B' 的长（结果保留根号）。 1）求抛物线的函数表达式 由题意可知，抛物线顶点 在 轴上，且 ，故顶点坐标为 。 设抛物线解析式为 。 又因为杯高 ，杯口直径 ，且 关于 轴对称， 所以点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即点 。 将点 代入 中，得： ∴ 抛物线的函数表达式为 。 （2）求 的长 由题意可知： · 杯脚高 不变，即 。 · 杯深 与杯高 之比为 ，即 。 5. 由图可知 ，即 。 代入比例关系求解 ： ∴ 新的杯高 。 这意味着点 的纵坐标为 。 又因为杯体 所在抛物线形状不变，即 且顶点 不变，解析式仍为 。 令 求 ： ∴ 点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 。 ∴ 的长为 。 答： 的长为 。 5.“千载竹艺，万缕竹篾” 满载着手艺的传承和传统民族文化的魅力。用细竹篾编织的罩子，横截面可以近似地看成一个抛物线形状。已知其宽度 OA=60 厘米，最高点 M（抛物线的顶点）到 OA 的距离为 30 厘米. (1) 建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2) 如果罩子紧贴桌面，罩内盘子平放成一排，试通过计算说明罩子下面能放下 2 个直径为 27 厘米、高度为 6 厘米的盘子吗？ (1)求抛物线的解析式 由题意可知,抛物线过原点和点,顶点的坐标为。 设抛物线的顶点式为。 将点代入解析式,得: 解得。 抛物线的解析式为。 (2)判断能否放下个盘子 两个直径为厘米的盘子并排,总宽度为厘米。 当盘子高度为厘米时,令,代入解析式得: 此时,罩子在高度为厘米处的宽度为: ,而, 。 答:罩子下面不能放下个直径为厘米、高度为厘米的盘子。 6.已知抛物线 L：y=-x²+bx+c 过点 (-3,3) 和 (1,-5)，与 x 轴的交点为 A，B（点 A 在点 B 的左侧）。 （1） 求抛物线 L 的表达式； （2） 若点 P 在抛物线 L 上，点 E、F 在抛物线 L 的对称轴上，D 是抛物线 L 的顶点，要使△PEF∽△DAB（P 的对应点是 D），且 PE:DA=1:4，求满足条件的点 P 的坐标。 (1) 求抛物线的表达式 将点和代入,得方程组: 3=－9－3b+c －5=－1+b+c 解得,。 故抛物线的表达式为。 (2)求点的坐标 步骤1:确定关键点坐标 令,由得或,故,。 抛物线顶点的横坐标为,代入解析式得,对称轴为。 步骤2:利用相似三角形性质 且,则点到对称轴的距离与点到轴的距离(即)之比为,故点到对称轴的距离为。 步骤3:分情况求的坐标 设,对称轴为,则,即或。 当时,,故; 当时,,故。 综上,满足条件的点的坐标为或。 7. 如图 1 是某地高速公路上修建的两个隧道，如图 2 是其横截面示意图。 素材一：隧道 L₁与 L₂均呈抛物线型，已知隧道L₂ 底部 C 与隧道 L₁底部 A 相距 2m，以直线 AC 为 x 轴，线段 AC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系，点 D，B 都在 x 轴上。 素材二：L₁所在抛物线与 L₂所在抛物线关于 y 轴对称， L₁底部宽 AB 为 12m， L₁所在抛物线的最高点 P 与路面 AB 的距离为 8m。 （1） 求隧道 L₁所在抛物线的表达式； （2） 现需在隧道 L₁，L₂内壁上分别安装摄像头 N，M，如图 2，N，M 均在各自抛物线对称轴左侧的抛物线上，已知点 M，N 到路面 AC 的竖直距离均为 6m，求 M，N 两点间的距离。 (1) 求隧道 所在抛物线的表达式 由题意可知： · 线段 ， 轴是 的中垂线，故 ，。 · 隧道 底部宽 ，则 点横坐标为 ，即 。 6. 的顶点 纵坐标为 ，对称轴为 ，故 。 设 的表达式为 ，将 代入得： 解得 ，即 。 因为 与 关于 轴对称，将 中 换为 ，得 的表达式： (2) 求 两点间的距离 · 求 点坐标： 点 在 上，，代入 的表达式： 化简得 ，解得 （ 在对称轴右侧，舍去），故 。 · 求 点坐标： 点 在 上，，代入 的表达式： 化简得 ，解得 （ 在对称轴右侧，舍去），故 。 · 计算距离： 纵坐标相同，距离为横坐标差的绝对值： 8. 我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，建立如图所示的平面直角坐标系，把锅纵断面的抛物线记为 C₁：y=x²-3把锅盖纵断面的抛物线记为 C₂，AB 为锅口直径（锅口直径与锅盖直径视为相同），OD 为锅深，锅盖高 OC=1 dm。 （1） 求抛物线 C₂的解析式； （2） 如果将一个底面直径为 1.8 dm，高度为 3.4 dm 的圆柱形保温桶竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由。 (1) 求抛物线 的解析式 · 确定 、 点坐标： 对于抛物线 ，令 ，则 ，解得 。 所以 ，，锅口直径 。 · 设 的解析式： 设 的解析式为 （顶点在 轴上）。 已知 （锅盖高 ），且 过 ，代入得： 解得 ，。 结论：抛物线 的解析式为 。 (2) 判断锅盖能否正常盖上 7. 分析圆柱形保温桶的位置： 保温桶底面直径 ，则其横截面的水平范围为 （以 轴为对称轴）。 · 计算 时， 和 的纵坐标： · 对于 ，当 时： · 对于 ，当 时： 3. 计算竖直方向的总高度： 保温桶在 处的竖直高度为 ： 比较高度： 保温桶高度为 ，而 ，因此锅盖能正常盖上。 9.我们常见的锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面的两段抛物线组合成封闭图形，锅口直径为 6dm，锅深 3 dm，锅盖高 1dm（锅口直径与锅盖直径相同），建立平面直角坐标系如图所示，把锅纵断面的抛物线记为 C₁，把锅盖纵断面的抛物线记为 C₂。 （1） 求 C₁和 C₂的解析式； （2） 如果锅中的水位高度是 1 dm，求此时水面的直径； （3） 如果将一个底面直径为 3dm，高度为 3.2 dm 的圆柱形器皿放入锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由。 (1)求和的解析式 求的解析式: 抛物线的顶点为,且过点。 设的解析式为。 将代入得:,解得。 所以,的解析式为。 求的解析式: 抛物线的顶点为,且过点。 设的解析式为。 将代入得:,解得。 所以,的解析式为。 (2)求水位高度为时水面的直径 锅底的纵坐标为。当水位高度为时,水面所在的直线为。 将代入的解析式: 解得。 所以,此时水面的直径为。 (3)判断锅盖能否正常盖上 圆柱形器皿底面直径为,则其半径为。 当时,计算锅在该位置的高度: 器皿底部在锅内的高度(代入):。 锅盖在器皿上方的高度(代入):。 此时,锅在器皿上方的可用空间高度为。 因为器皿的高度为,大于可用空间高度()。 所以,锅盖不能正常盖上。 10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 L₁：y=ax²+4ax-6 与 x 轴交于 A 和 B (2,0) 两点，并与 y 轴相交于点 C。抛物线 L₂与 L₁关于坐标原点对称，点 A，B 在 L₂上的对应点分别为 A'、B'。 （1） 求抛物线 L₁的函数表达式； （2） 在抛物线 L₂上是否存在点 D，使得 S△DAA'=4S△CBB'？若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由。 (1)求抛物线的函数表达式 已知抛物线过点,将代入解析式: 因此,抛物线的函数表达式为: (2)判断抛物线上是否存在点,使得 步骤1:确定关键点坐标 对,令,解方程,得,,故,。 令,得,故。 抛物线与关于原点对称,因此: 关于原点的对称点,关于原点的对称点。 的顶点为顶点关于原点的对称点,故的解析式为(或展开为6)。 步骤2:计算三角形面积关系 ,,(到轴的距离)。 设在上,则,。 由,得: 化简得,即。 步骤3:求点的坐标 将和代入的解析式: 当时,,解得,故。 当时,,解得,故或。 结论:存在点,其坐标为或或。 11.小博周末随家人去采摘草莓，小博发现种植草莓的大棚使用钢结构骨架，它的横截面可以近似看作由矩形和抛物线构成，小博通过采摘园主获得了大棚的部分信息，并绘制了如下图象。 如图，大棚横截面下方是矩形 ABCD，顶部是抛物线 BEC。取 AD 中点 O，过点 O 作线段 AD 的垂直平分线 OE 交抛物线 BEC 于点 E。若以 O 点为原点，AD 所在直线为 x 轴，OE 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，E 为抛物线的顶点且 OE=4 m，AB=3m，AD=4m。请你解决下列问题： （1） 求抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围； （2） 小博观察到顶棚内部采用另一种轻质材料制作的直角三角形支架进行加固。如图，若 G 在横梁 BF 段的中点处，HG⊥BC，垂足为 G，△HGF 和△JIF 关于直线 OE 成轴对称。一个横梁上需要两个这样的直角三角形，所需这种轻质材料总长是 HG+HF+FJ+JI 的和。若一个大棚有 15 个横梁，不考虑材料损耗，请你计算，制作这样的支架，一共需要多长这种轻质材料？ (1)求抛物线的表达式及自变量取值范围 已知抛物线顶点,设抛物线表达式为。 由,为中点,得;又,矩形中点坐标为。 将代入抛物线表达式: 因此,抛物线表达式为,自变量取值范围为(对应到的水平范围)。 (2)计算轻质材料总长度 分析对称关系:为中点,与关于(轴)对称,故(,中点到距离为)。 求长度:当时,抛物线,故。 求斜边长度:由勾股定理,。 单个横梁材料长度:。 总长度:个横梁,总长度为米。 答案: (1)抛物线表达式为,自变量范围; (2)共需轻质材料米。 12.某校兴趣小组想在校庆时为学校设计两个外轮廓近似为抛物线的拱门，设计方案如图所示，其中 A、B、C 三点在同一直线上，抛物线 I₁经过 A，B 两点，抛物线 I₂经过 B，C 两点，他们计划在抛物线 I₁与地面围成的区域中隔出一个大正方形 DEFG，使得点 G、F 在抛物线 I₁上，点 D、E 在地面上，用于师生通道，其余地方用鲜花装点，在抛物线 I₂与地面围成的区域中隔出矩形区域 MPQN，点 P、Q 在抛物线I₂上，点 M，N 在地面上，使得 MN=4，P= 对矩形区域 MNPQ进行设计用于师生拍照留念。以 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 的垂直平分线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线 I₁的表达式为 y= -x²+。 （1） 求 DE 的长； （2） 若抛物线 I₂与抛物线 I₁形状相同，请求出抛物线 I₂的表达式。 (1)求的长 设点坐标为(),因正方形关于轴对称,故,则,且,即。 将代入抛物线的表达式,得: 两边同乘化简: 因式分解得,解得(舍去)。 因此,。 (2)求抛物线的表达式 步骤1:确定点坐标 对,令,解得,故。 步骤2:分析的形状与顶点 因与形状相同,故的二次项系数为。 矩形中,,,且过和(与关于对称轴对称)。 步骤3:设的表达式并求解 设的顶点为,因与形状相同,且(对应水平宽度),结合(垂直高度),可得的顶点纵坐标(通过几何关系推导,或直接利用对称性)。 设的表达式为,将代入: 解得(舍去,因在右侧)。 因此,的表达式为: =－X²+X－ 13.【项目主题】某小区更换旧围栏，面向全体业主征集围栏设计方案。 【项目实施】家住该小区的格格和走走积极合作参与，如图 1 是给出围栏设计方案的上面一部分： ①△ABC 是等腰三角形，且 AB=AC，AO⊥BC，垂足为 O； ②围栏上部由两段形状相同的抛物线 AB 和 AC 组成，且抛物线 AB 和 AC 关于直线 AO 对称； ③CO=BO=2 米，AO=1 米； ④根据她们的设计方案、以 BC 所在直线为 x 轴，AO 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，抛物线 AB 的函数表达式为 y=-x²+bx+c。 【问题解决】（1）求抛物线 AC 的函数表达式； （2）小区业主委员会进行综合评审时，对格格和走走的创意设计给予充分肯定，并建议在抛物线和等腰三角形的腰之间加装如图 2 所示的三根安全杆，其中 EF∥BC，GF⊥EF，DE⊥EF，若想加装三根安全杆的长度总和最长，需要多少米的原料？ (1)求抛物线的函数表达式 思路: 利用对称性。先求出抛物线的解析式,再根据关于轴对称的性质求出的解析式。 1.确定关键点坐标: 由题意知,,。 所以点,点。 2.求抛物线的解析式: 设抛物线为。 将点代入,得。 将点代入,得,解得。 所以抛物线为。 3.求抛物线的解析式: 因为抛物线与关于轴对称,只需将换成即可。 化简得:。 答案:抛物线的函数表达式为。 (2)求三根安全杆长度总和的最大值 思路: 设点的横坐标为变量,用含的代数式表示出三根杆的长度,构建关于的二次函数,求其最大值。 1.分析图形特征: 由对称性可知,点和点关于轴对称,点和点关于轴对称。 设点的横坐标为( 3.构建总长度函数并求最值: 设三根安全杆总长为。 这是一个开口向下的二次函数,当时,取得最大值。 最大值(米)。 答案:需要米的原料。 14.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为 16m，宽为 6m，抛物线的高点 C 离路面 AA₁的距离为 8m。 （1） 按如图所示建立的平面直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式； （2） 一大型货运汽车装载其大型设备后高为 7m，宽为 4m。如果该隧道内设双向行车道，在两车道之间设置宽度为 1m 的隔离带，且要求货车与隧道内壁 AB（A₁B₁）及隔离带水平方向都至少保持 0.5m 的安全距离，那么这辆货车能否安全通过？请说明理由。 (1)求抛物线的函数表达式 已知抛物线顶点为,设其表达式为。 长方形的长为,故点的横坐标为,纵坐标为(长方形的宽)。 将代入表达式: 解得。 因此,抛物线的函数表达式为: (2)判断货车能否安全通过 货车宽,隔离带宽,安全距离。 隔离带在中间(宽),货车在单侧车道,需保持与隔离带()和内壁()各安全距离。 因此,货车的水平范围为到,即货车最外侧在处。 将代入抛物线表达式: 货车高度为,,因此货车能安全通过。 答案: (1)抛物线的函数表达式为; (2)这辆货车能安全通过,理由:当时,隧道高度约为,大于货车高度。 15.如图是篮球运动员甲在投篮时的截面示意图。当他原地投篮时，分别以水平地面为x轴，出手点竖直方向为y轴建立平面直角坐标系。篮球运行的路线可看成抛物线，甲投出的篮球在距原点水平距离 2.5 米处时，达到最大高度 3.5 米，且应声入网。已知篮筐的竖直高度为 3.05 米，离原点的水平距离为 4 米.（本题中统一将篮球看成点，篮筐大小忽略不计） (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若防守队员乙在原点右侧且距原点 1.5 米处竖直起跳，其最大能摸高 3.2 米，乙能否碰到篮球？并说明理由. (1)求抛物线的解析式 已知抛物线顶点为,设其表达式为。 抛物线过篮筐点,代入得: 解得。 因此,抛物线的解析式为: (2)判断乙能否碰到篮球 防守队员乙在处起跳,将代入抛物线解析式: 米 乙的最大摸高为米,,因此乙不能碰到篮球。 答案: (1)抛物线的解析式为; (2)乙不能碰到篮球,理由:时篮球高度为米,大于乙的最大摸高米。 16.如图，已知抛物线 L：y=ax²+bx+c（a>0）与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，且 OB=OC=3OA，点 A (-1,0)。 （1） 求抛物线 L 的函数表达式； （2） 若抛物线 L 的顶点为 D，抛物线的对称轴交直线 BC 于点 E，P 为直线 DE 右侧抛物线上一点，点 Q 在直线 BC 上，是否存在以 D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 1）求抛物线 的函数表达式 已知 ，则 。由 ，得 ，。 结合图形， 在 轴正半轴， 在 轴负半轴，故 ，。 将 、、代入 ，得： 解得 ，，。 因此，抛物线的函数表达式为： （2）判断是否存在以 为顶点的平行四边形 · 求关键点坐标： 抛物线顶点 ：，故 。 直线 ：过 、，斜率 ，方程为 。 点 ：对称轴 与 交点，代入 得 ，故 。 · 设点坐标： 设 （在 上），（在抛物线右侧，）。 8. 分情况讨论平行四边形： 平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式分析： · 为边： · 四边形 ： 与 平行且相等。 向量为 ，故 ，。 由 长度为 2，得 ，解得 （ 舍去），对应 。 · 四边形 ：同理，，，解得 ，对应 。 4. 为对角线： 中点为 ，则 中点也为 。 由中点公式 ，，解得 ，对应 （与 重合）。 17.已知乒乓球桌的长度为 274 cm，某同学从球桌边缘正上方高 18 cm 处将乒乓球向正前方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线可以近似看作是抛物线的一部分。 （1）建立如图所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌上的过程中，乒乓球的竖直高度 y（cm）与水平距离 x（cm）之间近似满足函数关系式 y=a (x-h₁)²+k（a<0）. 已知乒乓球的水平距离 x 与竖直高度 y 的几组数据如表所示。请根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最大值，并求出 y 与 x 满足的函数关系式； 表格 （2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度 y 与水平距离 x 之间近似满足函数关系式 y=-0.005 (x-h₂)²+8，请判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上？并说明理由。 (1)求最大值及函数关系式 由表格数据,抛物线对称轴为,故竖直高度最大值为。 设,代入得: 因此,函数关系式为:。 (2)判断乒乓球是否落在球桌上 求第一次落地点:令,则,解得(舍去负根),即第一次落地点为。 求弹起后函数参数:将代入,得: (舍去) 弹起后函数为。 求再次落地位置:令,解得(舍去)。 比较球桌长度:球桌长,,故乒乓球再次落下时仍落在球桌上。 答案: (1)最大值为,函数关系式为; (2)乒乓球再次落下时仍落在球桌上,理由:再次落地时水平距离为,小于球桌长度。 18.如图，已知抛物线 L：y=x²+bx+c 经过点 A (-1,0)，B (3,0)。 （1） 确定该抛物线的函数表达式； （2） 连接 BC，交抛物线 L 的对称轴于点 D。 ①求点 D 的坐标； ②将抛物线 L 向左平移 m（m>0）个单位长度得到抛物线 L'。抛物线 L 的对称轴交抛物线 L' 于点 E，抛物线 L' 的对称轴交抛物线 L 于点 F。当 DE=2EF 时，求 m 的值。 (1)确定抛物线的函数表达式 将点、代入,得: 1－b+c=0 9+3b+c=0 解得,。 因此,抛物线的函数表达式为:。 (3) 求点的坐标及的值 ①求点的坐标: 抛物线的对称轴为直线。 点为抛物线与轴交点,令,得,即。 设直线的解析式为,代入、,得: 3k+n=0 n=－3 解得,,故直线的解析式为。 将代入,得,因此。 ②求的值: 抛物线向左平移()个单位后,解析式为,其对称轴为。 点:抛物线的对称轴与的交点,代入得,故。 点:抛物线的对称轴与的交点,代入得,故。 由,分两种情况讨论: 1.,,则,解得(舍去)。 2.,,则,解得(舍去)。 因此,的值为或。 答案: (1)抛物线的函数表达式为; (2)①的坐标为;②的值为或。 19.如图，公园的花坛正中间有一个喷灌嘴 P。将开关开至最大时，喷出的水流形状接近于抛物线 y=ax²+bx+1（a≠0）。当水流距离地面 2m 时，距喷灌嘴的水平距离为 2m，水流落地点距喷灌嘴的水平距离 OA=6m。 （1） 求水流所在抛物线的函数表达式； （2） 为了给公园增深艺术氛围，园林部门计划在水流下方放置一些雕塑。 ①若雕塑的高度为 1m，则与喷灌嘴的水平距离在多大范围内时，雕塑不会被水流直接喷到？ ②若在距喷灌嘴水平距离为 0.5m 处有一高度为 1.2m 的雕塑，请判断该雕塑是否会被水流直接喷到？ (1) 求水流所在抛物线的函数表达式 已知抛物线过点和,代入得: 4a+2b+1=2 36a+6b+1=0 解得,。 因此,水流所在抛物线的函数表达式为:()。 (2) 雕塑相关问题 ①高度为的雕塑: 令,则,化简得,解得,。 因为抛物线开口向下(),所以当 20.“水门礼” 是民航最高级别的礼仪，寓意接风洗尘。如图 1 所示，在一次 “水门礼” 的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱可近似看作形状相同的抛物线的一部分。在如图 2 所示的直角坐标系中，当两辆消防车喷水口 A，B 的水平距离为 100m 时，两条水柱在抛物线的顶点 H 处相遇，此时相遇点 H 距地面 28 m，喷水口 A，B 到地面的距离均为 3m。 （1） 求水柱所在抛物线的表达式； （2） 若两辆消防车同时后退 20 m，两条水柱的形状及喷水口 A'，B' 到地面的距离均保持不变，求此时两条水柱相遇点 H' 到地面的距离 OH' 是多少？ (1)求水柱所在抛物线的表达式 由题意,抛物线顶点为,设表达式为。 喷水口坐标为,代入得: 解得。 因此,水柱所在抛物线的表达式为:。 (2)求相遇点到地面的距离 两辆消防车同时后退,右侧水柱的抛物线向右平移,表达式变为。 求(时)的纵坐标: 因此,相遇点到地面的距离为。 21.夏天，为了防止蚊虫污染饭菜，小明的爷爷用细竹篾编了一个罩子保护饭菜。它的横截面可以看成一个抛物线的形状。小明看到后很喜欢，问爷爷菜罩的尺寸，爷爷告诉他，最宽处直径为 80 厘米，最高处高度为 40 厘米，随后小明利用抛物线的知识以菜罩左边缘为原点建立平面直角坐标系（如图）。 （1） 请你帮小明求出抛物线的解析式； （2） 如果菜罩紧贴桌面盖上，菜罩内盘子放成一排，那么爷爷编的菜罩内能横着放下三个直径为 24 厘米，高度为 3 厘米的盘子吗？ (1)求抛物线的解析式 由题意,抛物线顶点为,设解析式为。 将点代入得:,解得。 因此,抛物线解析式为:(或展开为)。 (2)判断能否放下三个盘子 三个盘子总宽度:。 盘子摆放后,左右两侧剩余的水平距离为:,即盘子最外侧的坐标为或。 将代入抛物线解析式: 因为(盘子高度),所以能放下三个盘子。 答案: (1)抛物线解析式为(或); (2)能放下三个盘子。 22.已知抛物线 C₁：y=ax²+bx-3（a≠0）经过点 (4,5) 和点 (2,-3)，且与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D。 （1） 求抛物线 C₁的解析式和顶点 D 的坐标； （2） 将抛物线 C₁沿 x 轴平移得到抛物线 C₂，抛物线 C₁与 C₂交于点 P，抛物线 C₂交 x 轴于点 A'，B'（点 A' 在点 B' 左侧），连接 BC，DC，BD 得到△BCD，连接 PA'，PB' 得到△PA'B'。若 S△PA'B'= S△BCD，求点 P 的坐标。 (1) 求抛物线的解析式和顶点的坐标 将点和代入抛物线,得方程组: 16a+4b－3=5 4a+2b－3=－3 化简为: 4a+b=2 2a+b=0 解得,。 因此,抛物线的解析式为。 配方得,顶点的坐标为。 (2) 求点的坐标 步骤1:计算的面积 抛物线与轴交点:令,解得()或(),故。 与轴交点,顶点。 利用坐标法求面积: 步骤2:根据面积关系求的纵坐标 已知。 抛物线平移后与轴交点间距为(与相同),故: 即或。 步骤 3：分情况求 的横坐标 · 当 时，代入 的解析式： 解得 ，故 或 。 · 当 时，代入得 （即顶点 ），此时 与 重合（平移量为 0），不符合 “沿 轴平移” 的题意，舍去。 最终答案 (1) 抛物线 的解析式为 ，顶点 的坐标为 ； (2) 点 的坐标为 或 。 23.如图，抛物线y=x²+bx−4与x轴交于A，C两点（点A在点C的右侧），与y轴交于点B，且OA=OB。 (1) 求抛物线的表达式； (2) 点P是抛物线上一点，当∠PBA+∠CBO=45°时，求点P的横坐标。 (1) 求抛物线的表达式 确定点的坐标: 令,代入,得,所以,则。 确定点的坐标: 因为,且在轴正半轴,所以。 求的值: 将代入,得,即0=,化简得,解得。 所以抛物线的表达式为。 （2）求点 的横坐标 推理过程： 已知抛物线表达式为 。 令 ，求抛物线与 轴的交点： 解得 ，。 因为点 在点 的右侧，所以 ，。 已知点 ，。 在 中，，，，所以 是等腰直角三角形，。 在 中，，，。 题目要求点 在抛物线上，且满足 。 我们需要分两种情况来讨论点 的位置： 情况一:点在直线的下方(即射线在内部) 因为,即。 已知条件为。 比较两式可得:。 这意味着直线和直线关于轴对称。 点的坐标是,关于轴的对称点设为,则的坐标为。 直线经过点和点。 设直线的解析式为。 代入点:,解得。 所以直线的解析式为。 点是直线与抛物线的交点,联立方程: 解得(此时为点,舍去)或。 所以,此时点的横坐标为。 情况二:点在直线的上方(即射线在外部) 已知。若,且点在上方,则实际上是(假设在第一象限偏上)。 更直观地,我们可以利用角度关系: 因为,所以。 条件可以变形。 注意到。 如果,那么。 这意味着 即。 直线经过点和。 直线的斜率=－。 因为,所以直线的斜率。 直线经过点,其解析式为。 点是直线与抛物线的交点,联立方程: －x=0 －x=0 两边同乘: 解得(此时为点,舍去)或。 所以,此时点的横坐标为。 结论: 综上所述,点的横坐标为或。 24.猕猴桃是西安的特色水果。在销售之际某商场分批每周购进若干箱装猕猴桃，经统计分析发现，在一段时间内，猕猴桃的每售价 y（元 / 箱）与第 x 周之间满足二次函数关系：y=ax²+bx+28（a≠0），且第 2 周时，售价为 32 元 / 箱；第 5 周时，售价为 23 元 / 箱（销售初期由于产量小售价逐渐上涨，销售中后期由于产量的增多售价逐渐下降）。 （1）根据题意求 y 与 x 之间的函数关系式，并求第 4 周时，售价 y 的值；（2）若该段时间内每周猕猴桃的进价 s（元 / 箱）与第 x 周之间满足关系式：s=-2x+25，且平均每周销售 150 箱，试求该商场第几周销售猕猴桃获得的利润最大，最大利润为多少？ (1)求与的函数关系式及第周售价 根据题意,将和代入中,得方程组: 4a+2b+28=32 25a+5b+28=23 化简得: 2a+b=2 5a+b=－1 解得: a=－1 b=4 所以函数关系式为: 当时: 答:函数关系式为,第周时售价为元。 (2) 求最大利润及对应的周数 设该商场第周获得的利润为元。 利润(售价进价)销量 这是一个开口向下的二次函数,当时,利润取得最大值。 当时,最大利润为: 答:该商场第周销售猕猴桃获得的利润最大,最大利润为元。 25.某小区有一个喷水池，中心处带有可升降喷头的喷水管垂直于地面，喷出的水流形状近似抛物线。如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心点 O 为原点，水平方向为 x 轴，喷水管竖直方向为 y 轴，建立平面直角坐标系。经测量，喷头位置在水池中心点 O 的正上方 2.25m 处，当水流满足距喷水管的水平距离为 1m 时，达到最大高度为 3m。 （1） 求第一象限内水流形状所近似抛物线的函数表达式，并求喷出的水流到喷水管的最大水平距离； （2） 为了美化小区，对喷水装置进行改造，将喷出水流的最高点水平外移 1m，高度不变，且使喷出的水流到喷水管的最大水平距离为 5m，请确定此时喷头的竖直高度。 (1) 求抛物线函数表达式及最大水平距离 解: 由题意可知,抛物线的顶点坐标为,且经过点。 设抛物线的解析式为顶点式: 将点 代入上式: 解得: 所以,抛物线的函数表达式为: 求最大水平距离,即求当时的值: 令,得: 解得,(舍去,因为是求第一象限内的距离)。 答:函数表达式为,喷出的水流到喷水管的最大水平距离为。 (2)求此时喷头的竖直高度 解: 根据题意,改造后的抛物线顶点高度不变,仍为,但水平外移了。 原顶点横坐标为,外移后,新顶点的横坐标为。 所以,新抛物线的顶点坐标为。 设新抛物线的解析式为: 题目要求喷出的水流到喷水管的最大水平距离为,意味着新抛物线经过点。 将点代入新解析式: 所以,新抛物线的解析式为: 此时喷头的竖直高度,即当时的值: 答:此时喷头的竖直高度为(或约)。 26.已知抛物线 L：y=ax²+bx-6 与 x 轴交于 A (-6,0)，B (-2,0) 两点，与 y 轴交于点 C。 （1） 求抛物线 L 的表达式； （2） 将抛物线 y=ax²+bx-6 先向右平移 5 个单位长度，再向上平移 6 个单位长度，得到抛物线 L'，抛物线 L' 与 x 轴交于 A'，B'（A' 在 B' 左侧），在 x 轴上方的抛物线 L' 上是否存在一动点 P，使得△PA'B' 的面积等于△ABC 面积的 2 倍，若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。 (1) 求抛物线的表达式 将点,代入得: 36a－6b－6=0 4a－2b－6=0 解得 a=－ b=－4 答:抛物线的表达式为。 (2)是否存在点 1.求的面积 令,得,即。 ,。 2.求抛物线的解析式及,坐标 原抛物线顶点式:。 平移后的解析式为: 令,得,解得,。 因在左侧,故,,则。 3.求点的坐标 设点的纵坐标为。由题意。 将代入的解析式: 解得,。 答:存在满足条件的点,其坐标为或。 27.某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1​，左、右门洞L2​,L3​均呈抛物线型，水平横梁AC=16 m，L1​的最高点B到AC的距离BO=4 m，L2​,L3​关于BO所在直线对称。MN,MP,NQ为框架，点M,N在L1​上，点P,Q分别在L2​,L3​上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC。以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。 (1) 求抛物线L1​的函数表达式； (2) 已知抛物线L3​的函数表达式为y=−(x−4)²，NQ= m，求MN的长。 （1）求抛物线 的函数表达式 由题意可知，抛物线 的顶点为 ，且经过点 （因为 ，关于 轴对称）。 设 的解析式为： 将点 代入： 答：抛物线 的函数表达式为 。 （2）求 的长 设点 的横坐标为 。 因为 ，点 在 上，点 在 上，所以 与 的横坐标相同，均为 。 则点 的纵坐标为 ，点 的纵坐标为 。 已知 ，即 （因为 在 上方）： 整理方程： 两边同乘 8： 解得 。 因为 且关于 轴对称，点 的横坐标为 6，则点 的横坐标为 。 所以 的长为： 答： 的长为 12 m。 学科网（北京）股份有限公司 $